Galitskii-1992 (1185113), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Коммутатор операторов А и В двух физи- ческих величин имеет вид 1А, В) =(С, где С вЂ” эрми- тов оператор. Доказать (при некоторых ограничениях на волновые функции) справедливость соотношения неопределенности (А — А)' ( — В)' -> (С)-'/4, где все средние значения относятся к одному и тому же состоянию системы. Рассмотреть, в частности, операторы Х н р и найти для них явный вид волновых функций состояний, в которых произведение неопределенностей принимает минимальное значение.
Обсудить также случай операторов~я и ф, Г..-" -; ' 17 5 3. Проекцнонные операторы 1.31. Проекционным называют эрмнтов оператор Р, удовлетворяющий соотношению а) Рэ=Р. Показать, что оператор РЦ;), действие которого на собственные функции оператора физической величины 1 состоит в следующем '): является проекционным (так как система с. ф. Чгуа является полной, то приведенные соотношення определяют н результат воздействия РЦ;) на пронзвольную функцию Ч'). На какие состояния проектирует этот оператор? Какой физический смысл имеет среднее значение РЦ,) в произвольном состоянии, описываемом волновой функцией Ч'? Как выражается через РЦ;) проекционный оператор Р(Щ), проектнрующнй на состояния, в которых физическая величина 1 принимает какое-либо значенне нз некоторой совокупности с.
з. (1) = =(1;,, )!н ..., )1,)? Убеднться, что прн этом Рз(Я) = = Ф(И) Какой внд имеет проекционный оператор РЦь да, ..., П), проектнрующий на состояния с опре- «) У такого оператора с.з. равны О и 1. С его помощью нее пространство векторов (Ч') может быть «разбито» на два взаимно ортогональных подпространства; Р Ч") и (1 — Р) (Ч'). При этом под действием Р составлнюшан (проекцин) любого вектора в первом из них ие изменнетсн, а во втором обращается в нуль, что и определяет название его как проекционного. При этом оператор Р' = 1 — Р также является проекционным и просити)эует на второе из указанных подпространств.
) Приведенное ныше соотношение относитсн к дискретной части спектра с.з. Обобщение на непрерывную часть спектра состоит в проектировании на некоторый конечный интервал (й 1+ Ь() с. з. согласно соотношению Р(й А5Ч( Г ( о, Г ( й К > ) + й). При этом Р (й Л() определает вероятность того, что значение 1 заключено в рассматриваемом интервале, см. 1.82. 18 деленными значениями /ь ды ..., 6 физических величин, входящих в полный набор (т. е.
как он связан с операторами Р(/,), Р(д„), ...)г 1.32. Указать вид оператора, проектирующего на состояния, в которых значения координаты частицы удовлетворяют условию хз =в а. 1.33. Найти проекционные операторы Р, проектирующие на четные Р+ и нечетные Р относительно инверсии координат состояния частицы (выразить их через оператор отражения /). 1.34. Показать, что эрмитов оператор Р, рассмотренный в задаче 1.19, может быть превращен в проекционный оператор Р = сР умножением на некоторую постоянную величину с. На какое состояние проектирует этот оператор? !.35.
Зрмитов оператор / имеет лишь Х различных собственных значений, Найти вид проекционного оператора Р(/,) для состояний с заданным значением /, величины /. 5 4. Элементы теории представлений. Унитарные преобразования 1.36. Указать нормированные соответствующим образом собственные функции радиуса-вектора Ч'„, и импульса Ч', в г- и в р-представлениях. 1.37. Найти в импульсном представлении волновую функцию состояния частицы, рассмотренного в задаче 1.!3. 1.38.
По заданной волновой функции Ч'(х, у, г) вычислить вероятность нахождения частицы в интервалах значений г от г, до г, и р„— от р~ до рь 1.39. Найти явный вид в импульсном представлении операторов, рассмотренных в задаче 1.1. !.40. Найти в одномерном случае вид оператора 1/р в х-представлении и оператора 1/х в р-представлении. 1.41. Установить соотношение между ядрами Л(г, г') и Ь(р, р') одного и того же оператора Е в г- и р-представлениях (см. задачу 1,11).
1.42. Найти вид операторов 1/г и 1/гз в импульсном представлении. !9 1.43. Даны два эрмитовых оператора А и В. Указать связь между собственными функциями оператора А в В-представлении и собственными функциями оператора В в А-представлении. Привести примеры, иллюстрирующие полученный результат. 1.44. Какие из операторов, рассмотренных в !.1, являются унитарными? 1.45. Унитарный оператор удовлетворяет уравне. нию 0'=б. Каков его явный вид? 1.46. Оператор 0 унитарный.
В каком случае оператор 0' = сб, где с — некоторое число, также является унитарным? 1.47. Показать, что произведение (7,(7, двух унитарных операторов также является унитарным оператором. 1.48. Может ли унитарный оператор (матрица) являться одновременно и эрмитовым? Привести примеры. 1.49. Показать, что эрмитова и аитиэрмнтова части произвольного унитарного оператора коммутируют друг с другом, так что унитарный оператор может быть диагонализован.
Каким свойством обладают его собственные значения (сравнить с 1,50)? 1.50. Показать, что оператор вида 0 = ехр((Р) является унитарным, если Р— эрмнтов оператор. Записать в таком виде унитарные операторы 7, Т„М, из 1.1, !.51. Квадратные матрицы А и А' одного ранга связаны унитарным преобразованием А' = 0А О+. Показать, что шпуры и детерминанты этих матриц одинаковы. 1.52. Доказать соотношение де!)! ехр А !! = ехр (Яр А), где А — эрмитова матрица.
1,53. Чем примечателен детерминант унитарной матрицы? Найти его для матрицы вида б=ехр(!Р), где Р— эрмитова матрица. Показать, что преобразованием вида б'= сб унитарную матрицу можно сделать унимодулярной, т. е. такой, что де! 0' = !. 1.54. Сколько имеется независимых квадратных матриц ранга Ж, которые являются: а) эрмитовыми; б) унитарными? Каково число унимодулярных унитарных матриц ранга У? !.55.
Показать, что при унитарных преобразованиях операторов А' = бАО+ алгебраические соотношения между операторами вида Р(А;) = — са+ 2 с,А; + ~~' с~аА,Аа+ ... = О сохраняют свой вид, т, е. Р(А,'.) =О. 1.56. Найти закон преобразования операторов х и р при унитарных преобразованиях, осуществляемых операторами: а) отражения 7; б) сдвига Т;, в) изменения масштаба М,. Операторы 1, Т„ М, введены в 1.1. 1.57. Совокупность операторов У(а), зависящих от непрерывного вещественного параметра а, обладает свойствами 0(0) =1 и б(аа) = У(а,)б(аа), если аа = а1+ аь Показать, что ~/ имеет вид 0(а) = = ехр(1аР), где Р (так называемый инфинитезималаный оператор) определяет вид У(ба) при бесконечно малом ба согласно формуле б(ба) = 1+ 1Р ба.
В качестве иллюстрации рассмотреть связь операторов Т, и М, (см. 1.1) с операторами соответствующих бесконечно малых преобразований. Глава 2 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ Стационарное уравнение Шредингера йЧ,=~- — "' — „'„',, +и(х)1Ч,(х)=ЕЧ,(х) (И.1) с соответствующими граничными условиями (ограниченность волновой фуикцни, обращение ее в нуль на непроницаемых потенциальных стенках и др.) определяет энергетический спектр частицы в потенциале 0(х) и волновые функции стационарных состояний. Спектр Е„в области энергий ппп У(х) < Е„( ( У(~со) (в которой согласно классической механике частица может совершать только финитное дви- жение), является дискретным ').
Эти уровни Е„являются невырожденными, а соответствующие собственные функции Ч',(х) — квадратично интегрируемыми (т. е. они описывают локализованные состояния частицы в согласии с финитным характером движения в классической теории). Для линейного осциллятора У(х) = йх'/2, ю = = ~%/щ решение уравнения Шредингера дает спектр Е„= Ью(п + 1/2) и с.
ф. где а = т/й/та, Н„(г) — полиномы Эрмита; так Н,(г) = 1, Н1(г) = 2г, Нз(г) = 4г' — 2 и т. д. Приведем также для осциллятора матричные элементы координаты *. „„— .„.— чт чтт2, (п.з) остальные равны нулю; матричные элементы опера- тора импульса связаны с ними соотношением р,л = = стсо ьх ю причем ю ь =-~а для п =)с~ 1, В области Е ) ппп У(~со) спектр является нс- прерывным. Значения энергии Е ) шах У(~оз) (для которых в классической механике возможно инфинит- ное движение в обоих направлениях: как при х- -ь. †, так и х- +оо) являются двукратно вырож- денными.
При этом в качестве независимых решений у.Ш.(П.1) обычно рассматриваются такие, которые связаны с физической задачей об отражении частиц потенциалом и однозначно определяются видом асим- птотики в. ф. при к- .+ос; так, в случае частиц, па- дающих на силовой центр слева') В (Е) еы"=", з еи х+ А (Е) и — 'а» х ь оо Ч'<+~ (х) - ". (11. 4) х — э'+ со, где й, з= ч/2т(Š— У(ч- оо))/йх Амплитуды А(Е), ~) Мы используем такую нумерацию уровней д.
с. Е, и с.ф. Ч', при которой основному состоянию отвечает значение и = О. При атом и совпадает с числом нулей с. ф. Ч' (л), ие считая нулей при х- ~со (или на непроницаемых потенциальных стенках). Аналогичный смысл имеет радиальное квантовое число и, состояний д.с, частицы в центральном потенциале. з) Физически реализуемая ситуация описывается волновыми пакетами из таких с, фл см. в связи с этим задачи 6.7, 6.8. 22 В(Е) определяют коэффициенты прохождения Р(Е) = =(йя/й~) )В(а н отражения й(Е) = )А)Я частиц.
Этн коэффициенты обладают следующими свойствами: Р(Е)+Я(Е)=1; Р+(Е)=Р (Е); Р(Е) — 1 прн Е- оо; Р(Е) — ьО прн Š— ьгпах(7(.+ со). (11. 5) Второе нз ннх, Р+(Е) = Р (Е), выражает независимость значения коэффициента прохождения прн заданной энергии Е от направления падения частиц, слева илн справа, на силовой центр; о последнем нз свойств см. задачи 2.37 н 2.39. Своеобразными свойствами а) обладает энергетический спектр частицы в пространственно периодическом потенциале; некоторые из ннх рассмотрены в задачах нз 5 4.
5 1. Стационарные состояния дискретного спектра 2.1. Найти энергетические уровни н нормированные волновые функции стационарных состояний частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины а (т. е. в потенциале (7(х) = О прн О < х < а ~ (/(к) = со прн х < О н к ) а). Определить в таких состояниях средние значения н флуктуации координаты и импульса частицы. В состоянии, описываемом волновой функцией Ч" = Ах(х — а) (прн О < х < а), найти распределение вероятностей различных значений энергии частицы н ее среднее значение. 2.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
