Galitskii-1992 (Галицкий В.М. Задачи по квантовой механике), страница 11

При не зависящем от времени гамильтониане для функции Грина имеем 6((1, 1; в', 1') = Х е в" ( ~1'Ч'е„(в) Ч'в„(д'). (Л. 6) В частности, для свободной частицы, Й=рз(2гн, временная функция Грина имеет вид ьт (г — г')з ( йнૠ— Г') ) ~дрЬ йа(à — Г') 1 (туз. 7) В гейзенберговском представлении, наоборот, от времени ие зависит волновая функция системы, а временная зависимость операторов динамических переменных определяется уравнениями ') — Д (1) = †„ (Й, ф (1)), — )йг (1) = †„ (Й, Д (1)), (Ъ'1.

8) причем гамильтониан Й(д(1), 1)(1), 1) выражается уже через гейзенберговские операторы )(1), р(1), удовлетворяющие каноническому коммутационному соотношению (р<(1), дь(1)) = — 1йо;ь. Теперь соотношение з) Чтобы различать используемое представление, у операторов динамических переменных в гейзенберговском представлении указывается на их временную зависимость: г(т), р(т). Обозначения г, р сохраняются для операторов в шредингеровском представлении. Обычно связь зтих представлений вводится таким образом, что при Г = 0 соответствующие операторы н волновые функпии состояний совпадают, сравнить с (т'1.

9). з 67 (У1. 4) является уже не определением 1, а непосредственным следствием (И.8). Шредингеровское и гейзенберговское представления для описания временной эволюции системы связаны унитарным преобразованием: Ч'(а,1) = = (/(1) Ч'о(а). Если гамильтониан не зависит явно от времени, то (/(1) = ехр( — 1Й1/й) и соотношение между операторамн в этих представлениях имеет вид ~г (1) = е'Щще 'нпь.

(Ч1. 9) $1. Представление Шредингера. Движение волновых пакетов 6.1. Для указанных ниже систем и их волновых функций тР, в начальный момент времени (1= 0): 1) частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины а н Ч'о(х)=Аз!и'(пх/а) при 0< <х< а, 2) плоского ротатора и тРо(ф) =А з!паф, 3) сферического ротатора и Чо(6, ф) = А соз'6 найти волновые функции в произвольный момент времени. Показать, что через некоторое время Т рассматриваемые системы возвращаются в исходное состояние. 6.2. Состояние свободной частицы при 1= 0 описывается волновой функцией Ч'а (х) = А ехр ( — х'/2а'+ ~р,х/а).

Найти изменение состояния во времени и следующие средние: хЯ, р(г), (Лх(1))', (Ьр(1))' (см. также 6.21). Показать„что ширина волнового пакета (Лх(1))' независимо от значений параметров, определяющих волновую функцию Ч'о(х), не может быть произвольно малой. 6.3. Рассмотрим при 1 = 0 нормированный волновой пакет Ч' (х, т = 0) = ~ с (Е) Ч'е (х) ~(Е, ~ ~ Ч" 1 дх = 1» составленный из собственных функций гамильтониана, отвечающих непрерывной части энергетического спектра. Показать, что плотность вероятности нахож- 66 денна частицы в любой точке при 1-о оо стремится к нулю. Почему это обстоятельство не противоречит сохранению нормировки волновой функции? 6.4.

Состояние частицы в поле 6-ямы (см. 2.7) при / = 0 описывается волновой функцией Ч'о(х) = =А ехр( — р(х7), р ) О. Какова вероятность )р'(х)о(х обнаружить частицу на отрезке (х,х+о(х) при / — э— оо? Найти значение интеграла ~ ЯГ(х)о(х и сравнить его с первоначальным значением. Объяснить полученный результат. 6.5. При / = 0 состояние свободной частицы определяется нормированной на 1 волновой функцией Ооо(р) в импульсном представлении. Найти асимптотическое при 1- оо поведение ее волновой функции Ч" (х, /). Убедиться в сохранении нормировки.

Для иллюстрации результата рассмотреть волновой пакет из 6.2. 6.6. Рассмотреть отражение волнового пакета от непроницаемой стенки, т. е. для потенциала (/= оо при х ) 0 и (/= 0 при х ( О. В начальный момент времени Ч' (х, / = 0) = А ехр (/рох)а — (х + хоЯ2а'7, причем ро) О, хо 0 и предполагается хо >> а, так ~то можно считать Ч'(х, 0) = 0 при х - О.

Указание. Предварительно найти временнуюфункцию Грина 6(х, /; х', г') для рассматриваемого потенциала. 6.7. Рассмотреть отражение волнового пакета от потенциальной ступеньки вида (/(х) = (/, = 0 при х ) 0 и (/(х) = 0 при х ( 0 (ряс. 8), считая, что падающий слева на барьер пакет включает с одинаковой амплитудой импульсы из интервала ро~Лр с Лр «ро и Ео ~ (/о Найти время задержки в процессе отражения от барьера по сравнению со случаем классической частицы. 6.8. Рассмотреть процесс отражения частицы потенциалом (/(х). Состояние движущейся в область действия потенциала частицы описывается нормированным на единицу волновым пакетом. Считая для определенности, что в этом пакете с одинаковой амплитудой представлены импульсы частицы из интервала ро~ Лр, выяснить, при каких ограничениях на Лр значения коэффициентов отражения и прохожде- 69 ния не зависят от его величины и определяются обычными выражениями стационарной теории, см.

(П. 4). 6.9. На двухуровневую систему') (уровни невы- рожденные, их энергии в1О1 и в1З1) находящуюся в одном из стационарных состояний, при 1: О начинает действовать внешнее поле. Взаимодействие У системы с полем характеризуется матричными этементами Угь Укь У„= Уз между исходными невозмущенными состояниями )1) и )2), причем У,ь от времени не зависят (при 1) О). Найти волновую функцию системы при 1) О и вероятности нахождения ее в собственных состояниях невозмущенного гамильтониана Йо. 5 2. Изменение во времени физических величин.

Интегралы движения 6.10. Для заряженной бесспиновой частицы, находящейся в электромагнитном поле '), найти операторы скорости у и ускорения ьу. Сравнить с выражениями классической теории. 6.11. Для нейтральной частицы со спином з, имеющей собственный магнитный момент )хс и движущейся в электромагнитном поле'), найти операторы скорости у, ускорения мг и производной по времени вектора спина з. 6.12.

Показать, что среднее значение производной по времени физической величины, не зависящей явно от времени, в стационарном состоянии дискретного спектра равно нулю. Основываясь на этом результате '), усреднением оператора й(рг) /г(1 доказать з) двухуровневая система моделирует поведение системы, энергетический спектр которой имеет два близких уровня. Прн не слишком сильном воздействии па систему переходы между этими и другими ее состояниями малы. ') Гамнльтониан частицы — см, (тгП.1). ') Гамильтоиизн частицы — см. (Л1. 1).

') В ряде случаев для конкретного вида потенциала при подходяшем выборе оператора 1(г, р) ив условия (=ПДО(У, ~)=о можно получить соотношения между различными средними; см. в связи с этим (15, с. 61). 70 теорему вириала для частицы, движущейся в потен- циале (/ = агт. 6.13. Показать, что для системы из Н заряженных частиц, находящейся в и-м стационарном состоянии дискретяого спектра, справедливо равенство (так на- зываемое «правило сумм», см.

также 14.11) а11а Е(Е,а ЕаИ Ид „! =У (1=1 2 3) где (г1;) „— матричные элементы дипольного момен- та системы; суммирование проводится по всем неза- висимым стационарным состояниям системы, 1а и е— масса и заряд каждой частицы. 6.14. Показать, что если не зависящий явно от вре- мени унитарный оператор (/ оставляет гамильтоииан системы неизменным, так что БНБ =Н, то связан- ный с О = ехр(1Р) (см. 1.50) эрмитов оператор г" описывает сохраняющуюся величину — интеграл дви- жения. Выяснить физический смысл интегралов дви- жения системы из Н частиц, связанных с инвариант- ностью ее гамильтониана относительно преобразова- ний координат: а) сдвига г„- г„'=г„+а, б) поворота на угол фа=фанз, в) отражения г„- г' = — г„; а=1, 2, ..., л1.

6.15. Указать механические интегралы движения для системы из Л' бесспиновых частиц, находящейся в следующих полях: 1) при свободном движении, 2) в поле бесконечной однородной плоскости, 3) в поле однородного шара, 4) в поле двух точек, 5) в однородном поле, зависящем от времени, 6) в поле равномерно заряженного прямого про- вода, 7) в поле бесконечной однородной цилиндриче- ской винтовой линии, 6.16. Для частицы со спином з = 1/2, взаимодей- ствие которой с внешним полем имеет вид') а) 0 = (7а (г) + (7, (г) (а!), б) О = (/е (г) + (/, (г) (аг)/г, ') См. также задачу 12.5.

71 указать интегралы движения и спин-угловую зависимость волновых функций стационарных состояний. 6.17. Показать, что если ~, и ~, — интегралы движения некоторой системы, то ~~ =(Цд+ Я~) и Ь= =1(Ц, — Ц,) также являются интегралами движения. Для иллюстрации результата указать еще один механический интеграл движения для системы, у которой сохраняются а) Р, и У„б) У„и У„; объяснить полученный результат, исходя из свойств симметрии рассматриваемой системы. 6.18. Показать, что для частицы в однородном поле оператор 6 = р — г4 является оператором сохраняющейся величины (Го — сила, действующая на частицу). Сравнить с результатом классической механики, 5 3.

Унитарные преобразования, зависящие от времени. Гейзенберговское представлемне 6.19. Доказать соотношение е" Ве "= В+ — „(А, В)+ —,(А, 1А, ВЦ+... 6.20. Для указанных ниже систем: а) свободной частицы, б) частицы в однородном поле, (/ = — Рах, в) линейного гармонического осцилляторов найти гейзенберговские операторы координаты и им- пульса следующими способами: 1) используя уни- тарное преобразование, связывающее шредннгеров- ское и гейзенберговское представления и 2) непо- средственным решением уравнений движения для гейзенберговских операторов. 6.21. Используя гейзеиберговские операторы ко- ординаты и импульса, найти следующие средние: х(1), р~1), (Лх(1))', (Лр(1))' для указанных в пре- дыдущей задаче систем, находящихся в состоянии с волновой функцией Ч" (х) = А ехр (~р,х)М вЂ” (х — хаЯ2а').