Galitskii-1992 (Галицкий В.М. Задачи по квантовой механике), страница 6

Найти следующие коммутаторы: а) [1ь гз], [1„р'], [1ь (рг)], [1„(рг)а], б) [1ь (рг) р,], [1ь (рг)хь], [)ь (а2, +Ьрь)], а) [[ь .8.-т ], [)ь рьр ], [1о ~ьр ] (а, Ь вЂ” постоянные величины). Обратить внимание на одинаковую структуру коммутаторов для операторов, входящих в одну и ту же группу. С чем связана такая универсальность коммутационных соотношений? 3.6. Найти нормированные соответствующим образом волновые функции Ч',л, описывающие состояния частицы, находящейся на расстоянии г, от начала координат, имеющей момент 1 и его проекцию т на ось г. 3.7. Найти общие собственные функции операторов проекций на ось г импульса и момента импульса частицы.

88 3.8. Показать, что средние значения векторов Е, г, р в состоянии частицы с волновой функцией Ч' = ехр(1рзг/Д)<р(г), где рз — вещественный вектор, а ср (г) — вещественная функция, связаны классиче- ским соотношением 1. = (г р). 3.9. Найти собственные функции операторов 1' и 1, в импульсном представлении. Показать, что в состояниях с определенными значениями 1, т сред- ний импульс частицы р = О. 3.10. Показать, что функции, получающиеся в ре- зультате действия операторов (~ = 1„ ~ 11„ на собст- венные функции Ч' оператора 1„, также являются собственными функциями 1„отвечающими уже соб- ственным значениям т -~- 1.

Показать также, что в состоянии с волновой функ- цией Чт„, а) 1„=1„=0, б) 1„=1юг в) Ца+1,/„= — О. З.П. В состоянии % с определеннымп значе- ниями момента 1 ~~ его проекции т на ось а найти 2 2 средние значения 1,, 1„, а также среднее значение и флуктуацию проекции момента на ось г, состав- ляющую угол сс с осью г. 3.12, Доказать соотношение ! Уь„(0, ср) /'-' = (21+ 1)/4п. т 3.13. Указать вид волновой функции Ч'ь и з(п) состояния частицы с моментом 1 и его проекцией й~ = 0 на ось 2, направление которой в пространстве определяется единичным вектором и,. В рассматриваемом состоянии найти вероятности различных значений проекции момента на ось а, 3.14.

Обозначим через ш, (т,; т... а) вероятность значения тз проекции момента на ось з, составляющую угол х с осью г, в состоянии частицы с определенными значениями момента 1 и его проекции т, иа ось в. Доказать равенство сю(ти ~п„а) = = пп(тз, щь а) (воспользоваться результатом задачи П43). 3.15. Найти проекционные операторы Р(М), проектирующие на состояния с заданным значением М проекции момента на ось г (искомые операторы действуют в пространстве векторов состояний, отвечающих определенному значению С момента). 3.16.

Используя коммутационные соотношения для операторов компонент момента, найти Яр1ь где 1;— матрица 1-й компоненты момента 1. 3.17. Найти шпуры следующих матриц: а) Хь б) 1,Км в) 7ЯЯь г) Е;1,ьЕ~Е,„, где матрица 1-й компоненты момента Е. 5 2. Момент 1=1 3.18. В случае момента частицы 1=! найти волновую функцшо 'Рм ~(9, ~р) состояния с определенной проекцией момента гй = О на ось г, направление которой в пространстве определяется полярным а и азимутальным р углами. 3.10. Найти волновые функции Ч'~, (О, <р) и Ч',„(9, Ч~) состояний частицы с моментом 1= 1 и определенным значением проекции момента на оси х и у соответственно. Воспользоваться известным видом шаровых функций У, (О,~р), см. (П1.7). 3.20.

Частица находится в состоянии с моментом ! = ! и его проекцией т (т = О, +.1) на ось з. Найти вероятности ш(лт', т) различных значений проекции момента ш' на ось г', составляющую угол а с осью г. Задачу предлагается решить одним из следующих способов: а) используя результат задачи 3.11; б) путем нахождения коэффициентов разложения с(гп',т) заданной волновой фувкции в ряд по собственным функциям оператора 1,. 3.21.

Показать, что в случае момента частицы 1= ! три функции Ч'~„..~(0, <р), Ч'с ~(9, ~р), Ч'... (О, <р), описывающие состояния частицы с равной нулю проекцией момента на оси х, у, г соответственно, образуют полную систему функций. Какой смысл имеют коэффициенты разложения волновой функции произвольного состояния с ! = 1 по этим функциям? 3.22. Указать в 1,-представлении яввый вид операторов компонент момента, а также повышающе- го 1~ и понижающего 1 операторов Д~ =1„~ 11„) для момента 1= 1.

Найти из решения уравнения на собственные функции волновую функцию в 1,-представлении состояния частицы с 1, = О. 3.23. В состоянии частицы с моментом 1= ! и его проекцией гн на ось а найти следующие средние: 1"„, 1ц (п — целое) . 3.24. Найти явный вид оператора Д(сра) =ехр(лро !) поворота системы координат на угол ~р,, действуюшсго в пространстве векторов состояний, отвечающих моменту 1= !. С помощью зтого оператора получить из шаровой функции У„волновую функцию 'Р-.0(6, ~р) состояния частицы с моментом 1= 1 н его проекцией т = О на ось 2, направление которой определяется полярным и и азимутальным р угламп.

Сравнить с 3.18. 3.25. В пространстве векторов состояний, отвечающих моменту 1 = 1, найти проекционные операторы Р(т) для состояний с определенной проекцией момента т на ось г. Обобщить результат на случай произвольно направленной оси г, С помощью оператора Р(т) найти в 1,- и в координатном представлениях волновую функцию Ч"- а состояния частицы с моментом 1= 1 и его проекцией и = О ва ось г. Сравнить с 3.!8 и 3.24. 5 3. Сложение моментов 3.26.

Записать оператор момента системы нз двух частиц в виде суммы двух слагаемых, соответствующих моменту частиц в с. ц. и. (т. е. моменту относительного движения) и моменту поступательного движения системы как целого. 3.27. Моменты 1, и 1з двух слабо взаимодействующих систем складываются в результирующий момент величины Е. Показать, что в таких состояниях (с определенвым 1.) скалярные произведения !,!м 1,1., 1,!.

также имеют определенные значения. 3.28. Найти следующие коммутаторы: а) [Еь (1,1,)], [Еь (г,рз)], [К,, (г,г",)]; б) [Хь Ум], [Хь ~~] с й=Щ~]; в) У-и ~тйм). (Еь ~мйм), где (ь !э — операторы моментов двух частиц, !. = = ), + 1, — оператор их суммарного момента. Обратить внимание на универсальную структуру (внутри каждой группы) коммутаторов. Сравнить с 3.5. 3.29. Имеются две слабо взаимодействующие системы ! и 2, состояния которых характеризуются квантовыми числами (1ь т~) и (1м птэ) момента и его проекции на ось г. Указать возможные значения полного момента Е совокупной системы (! + 2) и вычислить средние значения Е и Ез в рассматриваемом состоянии.

Для частного случая т~ = 1ь тз — — 1э — ! найти вероятности различных значений суммарного момента. З.ЗО. Показать, что при сложении днух одинаковых по величине моментов (1~ = 1, = 1) в результирующий момент Е волновая функция Ч'~(ть из) в 1,,1„-представлении имеет определенную симметрию по отношению к взаимной перестановке т~ н т,. Как зависит характер симметрии от значения Е? 3.31, Показать, что в состоянии системы из двух одинаковых по величине моментов (1~ = 1х), отвечающем определенным значениям суммарного момента Е и его проекции М на ось г, вероятности значений проекций складываемых моментов лг~ ал = гп и тнм = М вЂ” т равны. 3.32. Две подсистемы, имеющие одинаковые моменты 1, = 1з = ), находятся в состояниях с определенными значениями проекций момента т~ и ьча.

Найти вероятности различных значений суммарного момента Е в таких состояниях. При решении задачи воспользоваться результатом 3.29 для значения Р и учесть характер симметрии волновой функции состояния с определенным значением Е, установленный в 3.30 (отметнм, что прн произвольных значениях 1,, и ть з искомая вероятность тю(Е) = ~ СьД',~, '~, где Сь',ь„, — коэффициенты Клебша — Горлана; см.

3.38) . З.ЗЗ. Проиллюстрировать связь, установленную в задаче !.43, и ее вероятностный смысл на примере сложения моментов 1ь 1. двух слабовзаимодействующих подсистем в результирующий момент Е. 42 3.34. Дляснстемы из двух одинаковых по величине моментов 1~ = 1д = 1 найти в 1ы(з,-представлении волновую функцию состояния с суммарным моментом 1=0 (воспользоваться операторами Ее). Указать также ее вид в координатном представлении. 3.35. Моменты двух частиц равны 1~ = 1~ — — 1, Построить волновые функции Ч'»я состояний с определенными значениями Е суммарного момента и его проекции М на ось з (при решении использовать результаты задач 3.30 и 3.34).

3.36. Используя технику проекционных операторов, для системы из двух моментов 1~ = 1, = 1 найти волновую функцию Чт»=, состояния с суммарным моментом 1. = О. Сравнить с 3.34. 3.3?. Произвести классификацию независимых состояний системы, состоящей из трех слабовзаимодействующих подсистем с моментами 1~ = 1а = 1 и 1з =1 по значениям суммарного момента Ь системы. 3.38. Как известно, проблема сложения моментов двух систем 1~ и 1, в результирующий момент 1. решается в общем виде следующим соотношением: см и1 сп Ч'ьм = ~. С»' .,»~,.%»,»'Р»., М = т~ + т,, где С»,„»„, — коэффициенты Клебша — 1 ордана. Исьм пользуя технику повышающих (понижающих) операторов Ес, найти коэффициенты Клебша — Гордана в случае 1.

= й + 1а 3.39. То же, что н в предыдущей задаче, но в случае 1~ = 1а, Т. = О. 3.40. В случае двух слабовзаимодействуюших систем с моментами 1, и 1, усреднить следующие операторы: а) 13 пы, б) 1н1',„— 1ы1м; в) !н)ы+1ы)м; г) 1и)ы+ +1ы1н, по состоЯнию с заданным значением ? момента совокупной системы, не конкретизируя завпсимости волновой функции состояния от ?,. Получить выражение для оператора магнитного момента системы ц = д,1, + п21, в состоянии с определенным значением 7 полного момента (здесь д»з— гиромагнитные множители для подсистем, связывающие их магнитные и механические моменты). 43 $4, Тензорный формализм в теории момента 3.41. Показать, что функция вида Ч"~(п)=ам „папе ... и„, где и = г/г, а ем„,— симметричный по любой паре индексов тензор ') ранга 1 с равным нулю следом, е;и „= О, является собственной функцией оператора квадрата момента частицы, отвечающей значенпю момента, равному й р!оказать далее, что число независимых компонент у указанного тензора равно 21+1, как и число шаровых функций У; (и) (тем самым будет доказано, что приведенная угловая зависимость волновой функпии является наиболее общей для состояний частицы с моментом!).