Galitskii-1992 (Галицкий В.М. Задачи по квантовой механике), страница 7

В частных случаях 1 = 1 н 1 = 2 указать значения компонент соответствующего тензора, е, (ьт) и есь(пе), при выборе которых рассматриваемая волновая .функция совпадает с шаровой функцией Уы,. 3.42. Согласно предыдущей задаче наиболее общая зависимость от углов волновой функции состояния частицы с моментом 1 = 1 имеет вид %=~ ††=(еп), где е — произвольный комплексный вектор.

Найти: а) какому условию должен удовлетворять вектор е, чтобы волновая функция была нормирована на единицу; б) средние значения компонент тензора чщь, в) средние значения компонент векторамомента1; г) какому условию должен удовлетворять вектор е, чтобы для рассматриваемого состояния можно было указать такую ось г в пространстве, проекция момента на которую имела бы определенное значение, равное т = О; т = .+1. 3.43. В условиях предыдущей задачи найти вероятности ю(гй) различных значений проекции момента йь на ось г, направление которой определяется единичным вектором пс. Показать, что для произ- ") Не путать с антпспмметрпчпмм теньером емя вольного состояния с моментом 1 = 1 существует такое направление в пространстве, вероятность проекции момента т = О на которое равна нулю.

3.44. Согласно 3.41 угловая зависимость волновой функции произвольного состояния частицы с моментом 1 = 1 имеет вид %=~ = (ап), т. е, полностью определяется комплексным вектором а. Поэтому при рассмотрении состояний с 1= 1 можно перейти к представлению (назовем его векторным), в котором волновой функцией является совокупность компонент вектора а, т. е, Чт(А) — = а, (А = 1, 2, 3).

Найти явный вид операторов компонент момента в векторном представлении. Установить соответствие между векторным и 1,-представлениями. 3.45. Для системы из двух частиц, имеющих моменты 1~ = 1~ — — 1, найти: а) наиболее общий вид угловой зависимости волновой функции; б) наиболее общий вид угловой зависимости волновых функций Ч'ы описывающих состояния системы с определенными значениями У. (У. = О, 1, 2) суммарного момента; в) угловую зависимость волновых функций Ч"ьм, описывающих состояния системы с определенным значением У. суммарного момента и его проекции М на ось а.

При решении использовать результат задачи 3.41. 3.46. Для системы.нз двух частиц, одна из которых имеет момент 1~ —— 1, найти угловую зависимость волновых функций Ч"ы х состояний системы, отвечаю- 2 щих определенным значениям ее суммарного момента У = О и 1, его проекции У, на ось г и проекции момента Л на направление радиуса-вектора второй частицы (при этом ограничиться случаем Л = О).

Каковы четности рассматриваемых состояний? Каковы возможные значения момента 1~ второй частицы в таких состояниях? Обобщить результат на случай произвольных значений 1ь У, У, (по-прежнему Л = О). 3.47. Показать, что в системе из трех частиц состояния с суммарным орбитальным моментом У. = О (в с, ц. и.) имеют определенную, причем положительную четность.

45 Глава 4 двнжинни в цинтрдльном поли Решение уравнения Шредингера для центрального потенциала ~ — —,"' Л+и(.)]Ч,()=ЕЧ,(г) (П».1) с учетом взаимной коммутативности операторов Н, (а, 1, можно искать в виде тип — Ч»„,1 (г) = =)с„,г(») уг„(п), где Уг„— шаровая функция. При этом (1Ч. 1) сводится к одномерному радиальному у.

Шл Чг и з + а«(Елгг — У(»))]На«1(») =О. (1Ч. 2) Граничное условие при г — ьО имеет вид ') )т«„,е(0) = =сопз1< оо для 1=0 и )с„,г(0)=0 для 1~0. Для частицы в кулоновском потенциале притяжения, У = — к/», уровни энергии и радиальные функции для состояний дискретного спектра имеют вид Е„= — тост»2йтиа и (1Ч, 3) где и = и, + 1 + 1 — главное квантовое число, а = = ит)пга (для атома водорода а определяет радиус Бора), 1~(г) — обобщенный полипом Лагерра, выражающийся через гнпергеометрическую функцию Е„(а) =( — 1), „, Е(А — и, А+ 1, а).

') При этом имеются в виду регулярные потенциалы, для которых »Ч/ — ь О прп г О. Для них два независимых решения на малых расстояниях имеют вид )1, со г~ и г«з се г ~ ~. Исключение из рассмотрения возрастающего решения для 1 Ф 0 естественно и связано с его ненормируемостью. При 1 = 0 для растущего решения, )1« со 1/г, имеем ЛЯ« со б(г), так что оно ие удовлетворяет уравнению (11». 1) при г-«-О.

Такое решение, квадратично интегрируемое на малых расстояниях, используется при моделировании короткодействуюшего центра потенциалом нулевого радиуса, см, задачу 4.10. ))ля сингулярного потенциала притяжения возникает «падение на центр» и вопрос о выборе граничного условия при г-ь 0 требует дополннтельвого исследования, см.

в связи с этим 9.14. 46 В частности, для нескольких нижних состояний Я о= 2а-о('е-а" (основное, 1е-состояние), Д, = (2аз) но (1 — г)2а)е '" (2е-состояние), (1Ч. 4) Щ = (24а') н ге и ' (2р-состояние). Для решения уравнения (1Ч.2) часто оказывается удобным перейти к новой функции Х„ы=гй„,ь для которой [ —,о д,, + 2,, +0(г)1К., =Е„,а„м (1Ч.б) ао ео ао( ((+ 1) н т,„,, (0) = 0; это уравнение по форме совпадает с обычным уравнением Шредингера в одномерном случае.

Часто используется также подстановка и„,~ = = Чгг Я„м, тогда УРавнение пРинимает вид (( ( Оа)о (1Ч. 6) а граничное условие в нуле а„,,(0) =О. $ !. Состояния дискретного спектра в центральных полях 4.1. Указать связь энергетических уровней Е„,о и нормированных волновых функций Ч'„г, (г) стационарных з-состояний дискретного спектра частицы в центральном потенциале 0(г) с уровнями Е„ и нормированными функциями Ч" (х) в одномерном потенциале 0(х) вида 0(х) = 0(х) при х ) О, 0(х) = = со при х ( 0 (см.

также задачу 2.5), Используя установленное соответствие, найти: а) спектр з-уровней в бесконечно глубокой сферической потенциальной яме, т. е. 0(г) = 0 при г ( а и 0 = оо при г ) а; б) условие существования связанных состояний частицы в потенциале: 0 = — 0„при г ( а и 0 = 0 при г) а. 4.2. Как изменяются значения Е„,, энергетических уровней частицы дискретного спектра а) при фиксированном значении ( с увеличением п„ 47 б) при фиксированном значении п, с увеличе- нием 1"г 4.3. Пусть У вЂ” номер уровня в центральном по- тенциале в порядке возрастания энергии (основному уровню отвечает М = 1).

Каковы для У-го уровня а) максимально возможное значение момента б) максимально возможная кратность вырожде- ния уровня, в) максимально ьозможная кратность вырожде- ния уровня при условии, что он имеет определенную четность? 4.4. Найти уровни энергии и нормированные вол- новые функции сферического осциллятора, У = = А,"'/2, используя при решении уравнения Шредин- гера разделение переменных в декартовых коорди- натах. Определить кратность вырождения уровней и произвести их классификацию по значениям кванто- вых чисел и„ 1 и четности.

Связать «случайное» вы- рождение уровней с коммутативностью операторов Т,» = 1),р»/т+ йхЛ» с гамильтонианом осциллятора 4.5. Рассмотреть стационарные состояния сфери- ческого осциллятора (см. предыдущую задачу), ис- пользуя при решении уравнения Шредингера сфери. ческие координаты. 4.6. В основном состоянии атома водорода найти: а) г" для электрона, и — целое; б) среднюю кинетическую и потенциальную энер- гию электрона; в) распределение по импульсам электрона; г) эффективный (средний) потенциал р(г), созда- ваемый атомом. 4.7.

Найти среднее электрическое поле в,(г) и его флуктуацию (флуктуацию компонент поля) на боль- ших расстояниях от атома водорода, находящегося в основном состоянии. Обратить внимание на характер убывания найденных величин с увеличением рас- стояния. 4.8. Найти з-уровни в потенциалах: а) У= — аб(г — а); б) У= — Уае-'"', в) У = — У,/(есм — 1). 4.9.

Найти уровни с произвольным моментом 1 в потенциалах: а) У= — аб(г — а); б) У=О при т <а и У=оо при г> а. 48 4.10. Потенциал нулевого радиуса (трехмерный аналог одномерного б-потенциала, см. 2.7) задается наложением на волновую функцию граничного условия вида ') (гчг (г))г((гхр (г)) †» — по при г - О, 'х аг+ + ''') Обсудить вопрос о возможности существования (в зависимости от знака ае) в таком потенциале связанных состояний частицы. Найти волновую функцию связанного состояния в импульсном представлении.