Galitskii-1992 (Галицкий В.М. Задачи по квантовой механике), страница 14

ф. Ч"„о'„где а = 1, 2, ..., з, то правильные с. ф. нулевого приближения Ч'„= ~ с~Ч'яс", и соотв ветствующие сдвиги уровней Е'„'~ определяются решением системы уравнений Х ((па ) )т! пй) — Е~в~бов) 4~ = О. (Ъ'Ш. 4) Условие совместности ее приводит к сепулярному уравнению ) (па ~ )7 ) иф — Еп'б, ( = О. (у111. 5) Корни его Е„(их число равно з) определяют раси) щепление уровня невозмущениого гамильтониана, а их последовательная подстановка в (Ч111.4) позволяет найти волновые функции соответствующих подуровней (в нулевом приближении). При зависящем от времени возмущении )т(г) для в. ф. Ч'(с) = х„ая(Г)ехр( — 1Ех Г)1)) Ч"д (с)) (17Ш. 6) из уравнения Шредингера И дЧт)дг' = (Йо+ )т (Г)) Ч' следует ') 16 — и., =,)'„)т ь(1)ехР(сох ьт)ахо (УП1,7) где 1l „, (Г) = ~ Ч'Й * (д) )7Ч''ь ' (д) с(т„св ь = (ЕД вЂ” Е~~'))й. Решение уравнения (У1П.

7) последовательными итерациями а (г) =а~,'~(Г)+а~'>(Г)+ ... прежде всего дает а~~(Г)=сопзй Далее, считая, что Р(г)- О при à — — оо и что при этом (т. е. до включения возмущения) система находилась в п-м состоянии дискретного спектра Ч' (у) и поэтому аь(1 — ь — оо) — ьбчь <о> выбираем а~~>=— а<~„'=бьь (вместо аь(() теперь пи- з) Подчеркнем, что временная зависимость матричных элементов тх (О определяется только оператором Р(Г) (миовсители ехр ( — сЕ~~Ча) выдечены отдельно). щем ак„(1) в соответствии с рассматриваемой постановкой задачи). Для поправки первого приближения из (Ч111.7) с учетом условия аЯ(т= — оо) =0 имеем ю аф(1)= — — „' ~ Ч „(Г)е'"а' й.

(Ч111.8) Если при 1 — +со возмущение Р(1) исчезает, то а~'~ (Г =+ со) определяет вероятность перехода системы из начального и-го в конечное А-е (Й Ф и) состояние под влиянием возмущения за все время его действия %'~'(и- я) = —,, ~ Ка„(()е'"ь ~Ж . (ЧП1.9) 5 1.

Стационарная теория возмущений (дискретный спектр) 8Л. Показать, что поправка первого порядка Е~ ~ (и к энергетическим уровням частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме для достаточно произвольного возмущения Ч(х) при больших значениях и не зависит от и. 8.2. Для заряженного линейного осциллятора найти сдвиги энергетических уровней в однородном электрическом поле (направленном вдоль оси колебаний) в первых двух порядках теории возмущений, а также поляризуемосги состояний. Сравнить с точным результатом. 8.3.

То же, что и в предыдущей задаче, для заряженной частицы, находящейся в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме в основном состоянии. 8.4. Для плоского изотропного осциллятора найти в первом неисчезающем приближении теории возмущений сдвиг основного уровня под действием возмущения Ч = аху. Указать условия применимости полученного результата и сравнить его с точным, см. 2.49. 8.5. В условиях предыдущей задачи найти расщепление: а) первого возбужденного, б) второго возбужденного уровней осциллятора. Указать пра- вильные собственные функции нулевого приближения. 8.6.

На двухуровневую систему (уровни невырожденные, их энергии в~ и е,) накладывается возмущение, характеризуемое матричными элементами г'ц, 1 як ~''ы = Уя между исходными невозмущенными состояниями 1 и 2. Найти сдвиги уровней в первых двух порядках теории возмущений, указать условия применимости полученных результатов и сравнить их с точными. 8.7. Гамнльтониан системы зависит от некоторого параметра Х так, что Й(Х) = й+ ? 1Г, где й и йг от Х уже не зависят. Доказать соотношение г)зЕа(?.)(о?з< (6, где Ео() ) — основной уровень этого гамильтониана.

Проиллюстрировать полученный результат на примере осциллятора и частицы в кулоновском потенциале. 8.8. Плоский ротатор с моментом инерции! и электрическим дипольным моментом б помещен в однородное электрическое поле Ж, лежащее в плоскости вращения. Рассматривая действие поля как возмущение, найти поляризуемость основного состояния ротатора.

8,9. В условиях предыдущей задачи найти в первых двух порядках теории возмущений сдвиги и расщепления энергетических уровней возбужденных состояний ротатора и их поляризуемости. Указать правильные собственные функции нулевого приближения. Обратить внимание на выделенность свойств первого возбужденного уровня. 8ЛО. Пространственный ротатор с моментом инерции 7 и дппольным моментом д, направленным вдоль оси ротатора, помещен в однородное электрическое поле, рассматриваемое как возмущение.

Найти поляризуемость основного состояния ротатора. 8.11. В условиях предыдущей задачи рассчитать в первом неисчезающем порядке теории возмущений сдвиги энергетических уровней возбужденных состояний ротатора. Каков при этом характер снятия вырождения уровней? Происходит ли в более высоких порядках теории возмущений дальнейшее снятие вырождения? 8.12. Найти сдвиг в слабом электрическом поле н поляризуемость основного уровня заряженной частицы в одномерном б-потенциале 11 = — иб(х).

36 8.13. Найти приближенный вид волновых функций стационарных состояний и энергетические уровни нижней части спектра плоского ротатора, имеющего дипольный момент й, в сильном электрическом поле Ж таком, что ~Я' >> йэ/У, 8.14. То же, что и в предыдущей задаче, но для сферического ротатора, см. 8.10. 8.15. Частица находится в центральном потенциале вида а) (/ = — (Ц(е' — 1), б) У = — У0аа-'~%, причем (/, » й'/та~. В первом порядке теории возмущений найти отличие энергетических уровней нижней части спектра от уровней в кулоновском поле (/ = †У/г.

Обратить внимание на снятие случайного кулоновского вырождения уровней. 8.16. Для частицы в центральном потенциале У = — а/г', причем 0 ( т ( 2, найти энергетические уровни Е„~ с большим значением момента 1>>1 и с не слишком большим радиальным квантовым числом и,. В случае кулоновского потенциала, т = 1, сравнить полученный результат с точным.

8.17. То же, что и в предыдущей задаче, но для потенциала (/ = кс с к, т ) 0 (теперь Е„р > О). В случае сферического осциллятора, т = 2, сравнить полученный результат с точным. 8.18. Частица находится внутри непроницаемого эллипсоида вращения, так что потенциал имеет вид О, (к'+ у')/а'+ г'/Ь' < 1, ао, (хэ + уэ)/а'+ г'/Ьт ) 1, причем ) а — Ь~(( а. Найти в нервом порядке теории возмущений сдвиг основного энергетического уровня по отношению к уровню в сферической яме такого же объема. 8.19. Обобщить результат предыдущей задачи на случай возбужденных состояний частицы. Обсудить вопрос о характере снятия вырождения по проекциям момента в первом и более высоких порядках теории возмущений.

8.20. Используя теорию возмущений, получить правило квантования квадрата орбитального момента и найти вид шаровых функций в случае 1ж ~т~ >> 1. вт Указание. Свести уравнение для с. ф. н с. з.' оператора !' к уравнению Шредингера для линейного осциллятора. $2. Вариационный метод 8.21. Найти вариационным методом энергию основного уровня частицы в потенциале из задачи 2.8: У = Рех для х ) 0 и У = оо для х ( О, используя пробные функции вида а) Ч'=Ахехр( — ах), б) Ч'=Вхехр( — ахи) при х ~ О.

Сравнить с точным значением. 8.22. То же, что и в предыдущей задаче, для а) б-ямы, см. 2.7, с пробной функцией Ч' = = А(а+)х)) — ', б) линейного осциллятора и Ч' = А(а'+ л')- т', т — целое, в) кулоновского потенциала и Ч' = А (а + г) — ', а, т — вариациопные параметры. 8,23. Найти энергию: а) основного, б) первого возбужденного уровней частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме, аппроксимируя собственные функции гамильтониана простейшими полиномами, удовлетворяющими требуемым условиям.

8.24. Для двух частиц одинаковой массы т, находящихся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме и взаимодействующих друг с другом как непроницаемые точки, найти энергию основного уровня, аппроксимируя волновую функцию основного состояния простейшим полиномом, удовлетворяющим требуемым условиям. Сравнить с точным результатом, см. 2.51.

8.25. Найти вариационным методом энергию нижнего р-уровня частицы в бесконечно глубокой сферической потенциальной яме радиуса а, воспользовавшись пробной радиальной функцией вида )г'(г) = = Аг(а' — г') при г ( а, где т — вариационный параметр (Ч'~=ь (г) = )г'(г) У~,„(п) ).

Сравнить с точным значением. 8.26. Для основного состояния частицы в одномерной б-яме, Уе(х)= †(х), найти вариационным методом сдвиг уровня под действием слабого однородного поля, т, е. за счет возмущения )г= — Р,х, воспользовавшись пробной функцией Чу» СЧг!е)( )(1+ и — т!"!) Ч!(О! / -но!"! где Ч'! ! — волновая функция невозмущенного состояния, см. 2.7, а е и 7 — вариационные параметры. Сравнить с точным результатом из В.!2. Данная задача иллюстрирует возможность вычисления членов ряда теории возмущений для гамильтониана Й= Й, + Ч вариационным способом.

В связи с этим отметим, что использование в качестве пробной функции невозмущенной собственной функции воспроизводит поправку первого порядка для сдвига уровня. 8.27. Исходя из вариационного принципа и иапользуя пробную функцию вида Ч'(г) = Се-"', где н ) О— вариационный параметр, получить достаточное условие существования в центральном потенциале У(г) (причем У(г)- О при г- со) связанного состояния частицы. Применить полученное условие к потенциалам, рассмотренным в 4.8, и сравнить с точными результатами и с необходимым условием существования связанного состояния из 4.21.

8.28. Пусть Ч', с а = О, 1, ..., Ж вЂ” 1 представляет некоторую систему из У взаимно ортогональиых, нормированных иа единицу волновых функций, а Е, — среднее значение гамильтониана Й в таких состояниях. Показать, что где Е'„— точные энергетические уровни для указано! ного гамильтониана, и суммирование по ним проводится с учетом кратности их вырождения. 5 3. Стационарная теория возмущений (непрерывный спектр) 8.29. Основываясь на результате задачи 2.42, получить выражения для амплитуды отраженной волны в потенциале 0(х) (0(х)- О при х — ~-~со) в первых двух порядках теории возмущений. Обсудить условия применимости теории возмущений для вычисления коэффициента отражения частицы.

Рас- 89' смотреть приложения полученных результатов к конкретным потенциалам: а) (7=ай(х), (7се- 1и пРн х) О, б) и= 0 прн х(0, в) (7= (7,сЬ (х/а), г) (/=(/е "чи', и сравнить с точными решениями. 8.30. Найти коэффициент отражения Е(Е) для быстрых частиц в случае потенциала (/(х), имеющего скачок в точке х = 0 (рис. 20). Обобщить полученный результат на случай, когда потенциал имеет во'А Рис. 20 Рис.