Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем.djvu), страница 94

Согласно лемме Больцмана [Л,л„] = — / И,[Лм] [Л„[вй»дрор, = [Л„,Л ] и [Л„, Л„] > О. Умножим теперь «скалярио» линеарнзованное уравнение Больцмана на Л слева и справа, тогда получим и„(л, л„) = [л, л„], откуда, во-первых, для всех и«следует уже полученное в $6 неравенстио [Л«. Л«1 — >О (л„, л„) и, во-вторых (и,„— и„)(л, Л„) и О, т.е. свойство ортогональности собственных функций (Л, Л,) = ««(гп — «)(Лв, Л ).

Используем теперь клею квантовомеханнческого метода Ритца лля оценки минимального собственного значения во Пусть Л вЂ” некоторая «пробная» функция, которую мы можем представить в виде разяожения л»е) сл Используя свойство ортогональности функций Л, имеем (л,л)=~ с с„(л„,л„) =~ с'(л„,л ), [л,л]=Сс„с„[л,л„[=~~~ и с„'(л„,л ). «« 1 Пусть ьт — минимальное из всех ненулевых значений и .

Тогда [Л,л]>н,~ С„'(Л„,Л„) [л, л[ ьт ~(— (Л, Л) Это и есть основная формула вариационного принципа для оценки веяичины и„в котором вериациониыми параметрами являются коэффициенты рвгыожения пробной функции по системе функций (Л ). Таким образом, основная проблема сводится к отысканию удобной системы функций (Л ), Так как оператор столкновений изотропен в простренстве импульсов, то зги функции 424 Задачи и дополнительные вопросы л главе 5 можно представить как произведение функций, зависящих от модуля импульса (т. е. от р ), 2 на сферические функции Да(р) = Д.(р')3'"(Е* р) (т.

е. уровни и„по крайней мере 21 + 1 кратно вы рождены) и исследовать проблему уже по отношению к функциям Д,(р~). В нашем дальнейшем рассмотрении мы вообще пренебрежем несфернчностью функций (т.е. рассмотрим случай 1 = 0). Но и в атом случае отыскание системы функций (Л„(р )) оказывается очень непростым делом. Математики обнаружили, что если сила взаимодействия частиц друг с другом ведем себя как 1/Л' (так называемая максвеллаяская модель), то уравнение для й(р~) имеет точное решение в вице присоединенных палиномов Лягерра полуцелаго индекса (в кинетической теории они обычно называются полиномамн Сонина). Несмотря на то что взаимодействие типа !/Л' в физических задачах не встречается, построенную на его основе полную систему функций (д„(р )) можно использовать в вариационной технике для оценок величин в задачах с реалистическим взаимодействием частиц друг с другом.

Полиномы Лягерра (или Сонина) достаточна хорошо изучены: в математических справочниках можно найти не талька их самих в различных вариантах, но и необходимые дяя проведения оценок уже сосчитанные свертки (Я„, Я„) и [Я„, Я [. Так что с помощью математического справочника вариационная оценка превращается уже в чисто техническую операцию по свертке нормировочных коэффициентов и обозначений. Ь Задача 48, С понощью варнацноннога принципа, введенного в предыдущей задаче, оценить минимальное собственное значение и! лниеарнзованного уравнения Больцнанэ, если частицы взаиноденствуют как упругие твердые сферы заданного радиуса. Решение. Рассмотрим случай 1 = 0 и д = п(рз). Введем безразмерные импульсы, такие, что р'г'(2нъд) = ггг, Ир = (2пгд) зтз ет).

Тогда вместо Р(р) у нас будет просто гауссово распределение ! тг ~(О) 3/2 Выпишем значения гвуссовых интегралов (т. е. средних по максвелловскому распределению), которые нам будугнужны; 1 -(1, 1) = 1 = 1, 2 (1г7)=г7 = и ' 2' 1 ь — „135 !5 и ' и ' 2з 4' 1 , ч — 1 3 5 7 105 и ' 2з 8' 1 х в з 1 3 5 7 9 945 Построим теперь систему ортонормнрованных полнномов по степеням г(~. Полагая Яс = а, нз условия (Яе Яе) = ! имеем Яз=! полагая далее Я, = а+ вгр~, из условий (Ян Яе) = О, (Я,, Я,) = 1 определим константы а и ь. Получим с помощью приведенных выше значений гвуссовых ннтегрзлов, что ~2(3 ~) 8 7. Прийлакение деучасшичнык езаимодейопеий Поступая совершенно аналогично, получим /8 715 5 2 1 4~ Пб/35 35 2 7 „1 о>=4[( ~ — — Ч+ Ч 1 оз=)(' Ч+ Ч 0 >>15ч8 2 2 )' >>35~16 8 4 6 ) Для построения пробной функции Ь, которая в состоянии дать оценку величины и, (нвд ие = 0), надо начинать с тех степеней из, которые соответсшувзт ненулевому решению дяя и, т.е.

т = 2, 3,... (т = 0 и гп = 1 соответствуют функции Л ра А+ Вбг, собственное значение которой ир - -О). Итак, полагая в низшем приближении (только пз = 2) й = Сгдг(О ), получаем ззз (~ из = 2 = [ог Яг) <з> С>[82,821 т.е. козффициент Сг КаК ВарнацноинЫй ПаРаметр вообще сократился. В следующем прибли,'кенин (гп = 2, пз 3) д = Сг(йг(О ) + Сйз(О )1, и> 1 [ог ог[+2С[ог аз[+С [оз оз) из ( и, и 1+С С' где коэффициент с = сз/сг является уже вариационным параметром.

Определяя его из условия ди, /ОС = О, получим, выделяя в и, основную часть, соответствующую первому !2> (2> приближению (поправка оказывается, как мы покажем, действительно малой), и> [йг, йг[' [йг 821 [о о 1 [о й 1 + ''' Остается рассчитать средние, обозначенные квадратными скобками. Введем масштабную единицу лля и (см. задачу 7) /в й = — рр 4пгг)/ —, 44. РР Грр.

Пр Еги где е' = ейг, 4! = 2ге. Тогда 1 1 1 Г 1 >Г2ее -[йи. Вр) = — — / узузз[йч) [бр[и зйрзгрйрз = — — (йи 84). и ' и 47 грр рр 16 где г зйзг (Я, Я„) = — / е з [О - Оз[[Я„,[ [о„[ — 427 ог>з. Учтем, что [11=[021=0, [я,[ра ~~- -[О'1, [л,1=~~~-[О'1--[01), 15 2 ' 35~4 6 тогда 4 4 Фг йг[ ' (О О ) и грр рр 120 1 1 зг'я г'7 4 4 1 -[йг Юз[= — — ~-(О О)- — (О.О)). и ' т,„„р з/2! ~8 ' 12 ' )' 1 1 з/2ее(49 4 4 7 4 4 1 4 2 г .рр 35 ~16 12 36 -Фз, йз) = — — ( — (О', О ) - — (О О ) + — (О О )) 42б Эодочп и дополнительные лолросы л гдове 5 Расчет фигурных скобок удобнее выполнить, перейдя, как и е задаче 7, к относительным координатам в пространстве (21, г)1): 1 1 23 = С вЂ” -б, г) = С+-б* 2 ' 2 при этом а также С'=С, (О, ) )=(3',О'), [4[=[4'[.

Этот, по существу, арифметический пересчет дает [2)~! = 2((Д) — (Д ) ), [О'[=б[,С +4()((СО' — (С~) 3[,С +4()[О'[. откуда (О,О)= — ~'ехр~~-2( --С ~ [О[(д~дС вЂ”, 4 4 1 1 2 42 ,з/ 2 ) о' (О,з) ) = — 21 ехрс — 2С вЂ” -с з. З~С +-с ) [11 ) б<Ц4!С вЂ”, 4 б 1 2 ! 2 2 ! 2 4 2 нз / и 1 (д, О ) = — Эз ехр1 — 2С вЂ” -б )1 9~( + -С ) [21 [ С оС дС вЂ”. б б ! 2 ! 1 2 ! 2 42 нз / о = --е э!пф 414РдФ. 1 4 При интегрировании па а в пределах О < а < И угол рассеянна уменьшается, я > 4Р > О.

Договоримся интегрировать по ф от 4Р = О до 2Р = я (т. е. переворачивать интеграл по бр), тогда, опуская знак минус и обозначая о = яо~, имеем Иы = — нп ф И4Р ИФ. 4а Схема расположения в пространстве векторов [с[' ' [с[' ' Ф на единичной сфере представлена на рис.254. Соотношение между углами д, Р' и 4Р определяется одной из основных формул тригонометрии на сфере: соя д = созбР сбн и+э!пбР $1пдссэф. Рис.

233. Схема рассеяния двух одинаковых твердых сфер е плоскости рассеяния (марисоеам момент удара) Таким образом, во все три интеграла входит один и тот же интеграл по угловым переменным. Рассчитаем его для модели столкновения твердых сфер. Сделаем пояснения к рис. 253, на котором изображен момент столкновения и все векторные величины, фигурируюшие в этой задаче двух тел: С вЂ” центр инерции и точка столкновения сфер, д = 2гб радиус взаимодействия, а = 4! Соз (зр/2) — прицельное расстояние, Ф вЂ” азимутальный угол, фиксируюший плоскость рассеяния (вращение вокруг вертикальной оси б). Имеем 1.Р Р зхс = а На ИФ = -4!2- з1п — соз — 41р 4!Ф = 2 2 2 427 $7.

Приближение даулчасточимк взошеодедствод Она следует из рассмотрения прямоупзльных треугольников ОСА н ОВА с углами д и д при вершинах О, треугольника АВС с углом Ф при А и ОВС с углом дв при вершине О. Выражая теперь сов'д — совзд' через переменные интегрирования д, д и Ф, получаем после взятия элементарных интегралов и собирания слагаемь>х, что 1 2 2 1 32» (его д — сов дг) опдг(д др — в1п д г(д АФ = —, 4» 45 ' и мы получаем 1 1 ъгйвг 32» 1 -(22,22] = — — 4 — —, х и ' т„, 120 45 ггз вв вв х 4» / е г ! Аь / е г г'6 в(6 о р Рис.

254. Изображение углов между еекторамн 6, 6' и 6 на едмничной сфере Учитывая значения стандартных интегралов 22"+' !( 2' практически сошщдаюшей с той, которую мы слелали в б 6 довольно грубым способом. Чтобы получить слелуюшее варивпионное приближение, уже ничего вычислять не надо, только подставлять и складывать. Имеем 1 1 «г'» (1 7 1 49 о~ ( 4 4 В~ и ' т,„о 5«(21 !2 4 б 1 «г» 32» 41г г'7 1 '«! 4 — — — — з~ -24Хг — 2вХ1 — -24Хв) = —— твв.пр 5ч21 45 хз !«2 4 ) твв.пр 5иг422 1 1 чг2»»(74 147„! 1 чг2» »321г 4» У 1 49 1 7 «1 199 — 2шХ1+ 2вХп+ — 2,Х1+ 22Хв-72вХг — -24Хв в'вв пр 35 45 а"' ~ 16 4 2 4 ) т, пр 35' что приводит к результату второго приближения и(! = — — ~! — — ) ел 0,972 и, 1 В / 16'«<1 твв. пр 15 ~ 577) т — 1,921 1;, пр, 111 ш т.