Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем.djvu), страница 95

е. поправки к первому вариационному приближению составляют менее 3 %. получаем опенку времени релаксапии т' к максвеллоаскому распределению и системе из твердых сфер: 1 1,1 15 Ъ = т = ввв,пр = 1,875144.пр и(! 1 428 Зодочи и дополнительныв вопросы н алове 5 5 8. Гидродинамическое приближение Задача 49.

Исходя из уравнения Больциана получить систему пяти уравнений гидродинаиикн для величин и(г, г), п(г, г) и д(1, г). Решение. Исходные моменты рассмотрении: уравнение Больцмана ( о дважд ветре ан (по ы чаюшемуся индексу — суммирование) ВР(С, г, г) ВР Вс! ! ВР /ВР'! — еа + ' + де дг аг, игар, ~ ВГ / следствие леммы Больцмана , РВР'! Ыт(а+)Зт+те')~ — ~ =О.

~в!~„ Величины, для которых будут составляться уравнения, — плотность числа частиц и(г, г) (массовая плотность р = ги и) и(г,г) = / Р(е,г,т)~Ь, гю!родинамическая скорость е(д г) 1 Г иь(е, Г) = — Е,Р(Д Г, т) дт = (Еь), и з' локальная температура д(Г, г) ! гп Г 2/швз~ д(Д г) = — ° — ( (еа нь)(юь иа)Р дт = ( / и 3 ) 3~ 2 /' где мы ввели угловые скобки для обозначения среднего по скоростям и положили еь = иь(Д г) + в„, (вь) = О. В уравнения войдут еше величины: тензор напряжений (или давлений) Р,е — — ити(в, ве), плотность потока тепла О,=и( — в,/, тензор скорости деформаций Напишем сначала обшее уравнение переноса лля гмличины Ф = о(1, г) +,6(1, г)т+ у(Д г)е', ву увФ ~ вР Подставляя сюда уравнение Больцмана, учитывая лемму н беря по частя грал м инте с дР/деь, получаем д гдФ РдФ д Г !дУ /дФ ) ™+/ ~а™ / ~а™ а / а ™.

вг / в! у! аг. ' ать/ наг./ е.™' !. Положим Ф = 1. Из выписанного выше уравнения переноса сразу следует уравнение непрерывности ви ви — = — — (иеч) или — +б!т(ие) = О, д! дг вг 429 5 8. Пэйродиномическое пройлижение 2. Положим Ф = еэ/в. Учитывая, что ВФ 1 ВФ 1 Вп ВФ 1 Вп — = — э2( — Р), Ве, п Вэ вэ Вт ' Вг„вэ Вг, ' получаем, вводя вектор м„и перестраивая слагаемые, три урввненив Эйлера Виэ Вил 1 В 1 8(! — +и,— ы — — — Р,э — — ° —, 81 'Вг, тв Вг ' т Вгэ 3. Положим Ф = э Эмэмэ.

Подставляя производные этой величины по 1, г и э„ в обшее уравнение переноса. после несложной перестановки слагаемых с учетом определений величин о„р,э и Р э получаем пятое уравнение гидродинамики в виде уравнения лля локальной темперлэурм: ВВ ВВ 2 !~Во„ вЂ” + и,— ы -- — ( — "+ Р~эр э).

81 'Вг. = 3'в~йг. Задача 50. Полагая функцир Р локальным распределением Иаксвелла Р = Р = в — ехр получить уравнения гидродинамикн идеальной жидкости — уравнения Эйлера (!.. си(ег, 1755). Решение. Вследствие симметрии распределения Р по и, / эвм' 1 Ее — — В( — Ме) = О Р Э = ээ(а — Р) -тп(М,М,) = СЭ(а — Р)ПВ. Вводя давление идеального пэээ р = пВ, получаем искомую систему уравнений в виде Вв  — + — (пи,) = О, ВЗ Вг„ Вил Вид 1 В ! МУ вЂ” +и 81 'Вг, тв Вгэ т Вгэ' ВВ ВВ 2 Вие — +и,— = -- ° — В.

Вт Вг.= 3'Вг. ' Учитывая, что энтропию идеального газа можно выразить через В и в (см. т. 2, гл, 1, 5 6-ж)) Вьч(1 э(д г) =!и (сапе! — ), в(с,г) ) последнее уравнение можно записать, привлекая уравнение непрерывности, в вице усвоена постоянспм энтропии вдоль линий тока ( .) В В т — + и, — ) э(д г) = О. 81 Вг,) Задача 51. Решить уравнение с релаксационным членом вместо интеграла столкнове- ний «методом Чепмена — Зискога» (см. З б-д) этой главы). Решеное. Полагая Р = Р (1+!э) в первом порядке по Ээ, имеем (...)= 8 В 1 ВП В~» 1 — + и — — — — — Р = — — Рр.

81 Вг, т Вг„Ве„ / т' 430 Зодочо о дополншлельные вопроса л главе 5 Конечно, это уже решение, однако в левой части мы должны еше учесть, что зависимость Р ат 1 асушествшется через зависимость Р от и, и и В. Учитывая, что ВР 1- ВР швя- ВР пгв,— ВР ~тш 3 11- Ви и ' ВЕ В ' В. В * ВВ ~2В7 г В) ' получим после несложных алгебраических преобразований ответ для Рр в виде Р77 г ~ ' ма~ ) + Вал~вава баяв ДР. Это решение лолжно удовлетворать следствию леммы бальцмана, приведенному в задаче 49. Непосредственная подстановка его в этот интеграл убеждает нас в том, что вследствие симметрии функции Р РР Вт = / веРр Вт = / в Р1е ат ш О, и вся схема полученных ранее уравнений гищюдинамики остается прежней несмотря на то, что вместо уравнения Больцмана использовался упрошенный его вариант, Задача 52.

Рассчитать с поиощью полученного решения коэффициенты теплопроводности н вязкого трения. Решение. Так как распределение Р симметрично по компонентам вектора и, то в выражение для потока тепла 9, войдет только первая часть функции Ргр, в которой останется лишь слагаемое с а = х: Учитывая, чта вз = 3 — вх = 15 — вь = 105 — и т. д., и! и! ~ гп) получим 5 Виг' и=- 2 гп Этот результат мы уже получали в задаче 16. Длв тензора нвтязкений в нулевом порядке (Р = Р) имеем Р„в б,лПГ ) В' Р 7!И = б,а ИВ = бадр, где р = и — давление идеального газа.

Для расчета первого приближения нужна только вторая часть формулы для Руо (г! ф ги / 1 Р' =-ггл ° — Вгв вв~в вг — -бзвз) ° и. ед В е ( 7 3 7 Направим вектор в вдоль оси х, т.е. в = (и„О, 0). Топи ги —,, Ви, Ви, РО! = -т'ш — В 2вгвг ° и = -г'ибгВ, = -т'и — = -Ч вЂ”, В *' *' * Вх Вз' где коэффициент внутреннего трения 9=тир (этот Результат был получен в задаче 17), а также гп / 1 ~, 4Ви 4 Ви РГ ! =-тгп — В,в вз- -вг и= -тп — — =--Ч вЂ”.

В * *~* 3 ) ЗВх 3 Вх 431 б 8. Гидродиномическое приближение В гилродинамике помимо вязкости г! вводят так называемую вторую вязкость («сбъемную» вязкость) по формуле ! РŠ— Рб«Л 29 (В«Л б«зхгтт) гЛР««б р. 3 В нашем случае это дает ди, /4 ~ ди„ откуда следует, что наша грубая модель с релаксационным членом вместо интеграла спзлкно- вений второй вязкости не имеет. Задача 53. С помощью полученного в задаче 51 решения кинетического уравнения получить уравнения гидродннамики вязкой жидкости Навье — Стокса (С. Маеег, 1822; 5. Ро!эзоп, 1829; 6.

51о(гез, 1845). Решение. В правых частях уравнений для и, и д, полученных в задаче 49, в членах, содер- жащих коэффициенты н и г1, удержим только линейные члены по компонентам скорости и. Лля этого в уравнении для и, достаточно вывести за знак производной по г, коэффициент вязкости г!: 1 д — — ° — Рл = то дг« В 1 — Р+— дг,г тп а ч Р + ага 2 1 /де«х 2 н да 2/Ви«'! 3 и 'хдг„'л " / 3 и дг„дг, 3 ~дг;) и мы получаем после этого уравнения Навье-Стокса: вп а — + — (пи,) = О, а! аг. дие диг 1 В »Г В'и 1 гз д /ди, т ! ВСГ +и» = ' Р+ + д! дг тп дгд тп Вг, В»„3 тп дг,г ~дг / т дг'л ад дд и д~д 1 /ди '! а! Вг„(3/2)п дг„дг 3/2 х дг, / Заметим, что в случае и, = О из последнего уравнения автоматически следует уравнение теплопроводности дд н В — и — — = Ктт~д, ВС (3/2)п дг„дг„ где К вЂ” коэффициент температуропроводности газа плотности и с теплоемкостью сгз - -3/2.

с» Задача 54. С помощью уравнений Нввье — Стокса рассмотреть малые колебания вязкой среды и получить формулы для их частоты н затухания. В правой части уравнения для в по той же причине не будем дифференцировать коэффициент теплопровадности к, а в члене Р лР»д сохраним только линейные по и, члены, тогда 432 Задачи и дополнишельные вопросы н главе 5 Виа й!+и — йО, Вг, В 'и зС ВззЫ + — — +— Вп,  —— пзп Вгр ш Вгл пгп дг, Вг„Зпзп дг Вгл 2к дзв! 2 дн В, = †. — — - —. ЗП Вг, Вг, 3 Вг, Переходя к фурье-представлению ыз!.!ВГ ыз!-зм -ызззъй получаем однородную систему уравнений дяя и, (а4) и д: -зри+ пз(а4) = О, В, /, 4 и — Сз и — ~ы+ з — — й )(Щ+ — д = О, зпп ~ 3 пзп ) пз 3 / .

2 хлй з -В(С!4) — ~ы + з — — ) д = О. 2 з, 3 Приравнивая нулю детерминант этой системы и полапш ы = П- зГ, Г < П, получим, опустив член, пропорциональный нзза~, 5 В, /1 мйз 2 П з ! ВхМ' ~ О = П' — — ° — аз — С2ПГВС2П~- — + — — аз — — — ), 3 пз ~3 и 3 пзп 3 ппзйз)' откуда для частоты колебаний получаем характерный двя акустической волны результат С5 В П = з)/ ' ' Сз сзагз. уз зп Заметим, что 5/3 — этодля одноатомного газа ср/с, м у — показатель вдиабаты. Приравнивая нулю мнимую часть, получим после замены Сз ю Й/с,з выражение для затухания звука в вязкой среде Пз /2 зС 2 х'з злз ~3 зпп !5 и) нли, подставляя полученные ранее выражения для зз, х н с„, Гее -гй. 3 ! з 5 а 9.

Легкая компонента и электронный гаэ Задача 55. Рассчитать коэффициенты диффузии Р, термодиффузии Рг, теплопро- водности х и .диффузионного переноса тепла к„легкой компоненты, считая, что столкновения частиц можно аппроксимировать моделью упругих шаров заданного радиуса. Решение. Полагая п(С, г) = и+ п,(С,г); д(С,г) = В+ В,(С,г) (скорость ир является с самого начала величиной первого пораака), напишем линеаризованные уравнения Навес — Стокса: 433 $9. Легкая конпоненша и зяекшронный газ Реиюние, Рассчитмм сначвш вевичину транспортного сечения Е для модели упругих шаров (см.

рис. 255). Так как прицеяьное расстояние е = асов(Р/2), где Е = Ве+ ге, то Е = ~(1 — совр)оееор = = 2я / — (! — соз Ф) з!л р еф = яЕ~, 4 е О е Ее Л =Ее+~ т. е. эффективное сечение лля упругих сфер совпадает с тралиционным сечением а. Так как в рассматриваемом случае Е не зависит от е, то, вынося величину Л = 1/(п~Е) за знак среднего, получаем, по существу, результаты задачи 15 (в приближении Л = сопя!): Рнс.йбб. Схема рассеяния яа иеяодеюеной сфере 1 пЛ6 2 Р = -Лр, Ре — —, и„= -Лае, 3 ' ба' " 3 и = пЛе, ! У во Л= —, е= у —.

м,яЕз' Ч ягн' Задача 56. Оценить затухание одночастичного возбужденного состояния над запол- ненной сферой Ферми, считая, что релаксация происходит за счет взаимодействия электрона, находящегося первоначально над сферой Ферми, с другими электронами системы. Е =~~~ м(р,й; р — Фй+Е)пь(1 — и„+г)(1 — пг „). м Решение. Используя квантовомеханическую концепцию квазистационарных уровней р (1) ехр — -Е 1- -Г !)1 =ехр! — -(Š— !Г )! я Д' Лг) ( Л ' г1' имеющую свое теоретическое оправдание только в случае, когда затухание Гр значительно меньше энергии возбужденного состояния Ер, Г„/Ер < 1, имеем для квантовомеханической вероятности !!гг(!) =! и,(!)!' обнаружить систему в состоянии р в момент 1: 2Гр ) ай'г !Р (!) = !Рз(О) ехр — — г1~ нли — г = -Е Я', о! г Р гле Е = 2Гр/й имеет смысл вероятности перейти системе из состояния р в любое другое в течение секуцаы.

Зту вероятность ю, можно оценить, используя известную формулу временной теории возмущений. Рассмотрим электрон с импульсом !р( > рг, находящийся непосредственно нал сферой Ферми. Сфера заполнена электронными состояниями, поэтому взаимодействие электрона р с каким-либо й ()Ц < рг) должно привести к выходу последнего из сферы Ферми, т.е. (В + й( > рг при сохранении (р — й( > рг.