Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем.djvu), страница 97

и»' Обозначая ~Ч,'! ш~Ч~ г!(Е'-Е„) =Г, а и вторую произволную Я' можно представить как сумму двух неотрицательных частей: ю„м„ ни Ф т. е. стремление функции А' к предельному значению ь(е-е„) ь(г -е„) ивляется не только монотонным,,Ф < О, но и с постоянным знаком кривизны (выпуклость книзу). В общем случае.й(п; и') те сонм второе утверждение не имеет места.

г> Задача 65. Решить упрощенное уравнение Паули, в котором ш(п; и') = в = сопя! (модель Саймона) с начальным условием шь=1, в„=О, пФЙ, и определить вреиенное поведение Функции РГ в случае, когда статистический вес Г ~ 1 (статистическая система) и Г = 2 (двухуровневая система). Решение. Ввиду того что все вероятности перехола из со- 1 стояния а в любое другое одинаковы, имеем, считая всюду Г и м а, систему только двух уравнений: вь = и ~ (ы„— ш„) = й(à — 1)(в„— ыь), я Ш„ = ы(шь - ы„) + ы Ч~г (ы„ — ы„) = й(ыь - ыя), имь О 1/(ы Г) Рис. 256. Релаксация системы,саа мона к равновесному распределению при возбуждении в ней в моиент ! = О только одного уровня й и условие нормировки ы„ = ыг + (à — 1)ы„ = !., и Решение зтих уравнений, получаемое без особого труда, изображено на рис. 256 и имеет вид -~ю ! Г ! маг ы„(!) = — (1 — е ), шь(!) = — + — е Г Г Г В статистическом случае, когда 1л Г Л Ъ 1, но время релаксации запано, 1 йГ = — = сопя!, т 440 Задачи и даполнишельные вопросы и главе 5 имеем аг (1) = — (1 — е Г') ь«2(!) = — +е Г ' Г Я (1) = ь«ь 1п вгь + (à — ! ) ш„! п ю„= - (1 — е "и') 1п à — простая зкспоненциальная релаксация к минус энтропии равновесной системы Я = 1п Г.

Для лвухуровневой системы ь«2 = -(1+е Г ), ш„= — (1 — е Г ) -1« 2 2 и закон изменения Функции Я' во времени будет несколько более сложным: 1 -и«1 -1« рГ(1) = — !в 2+ — 1П (1 — е Н) + -е и'1п Сгй —. 2> 2 2 2т' Задача 66. С помощью кинетического уравнения Паули исследовать поведение системы 2« частиц, каждая из которых ииеет два уровня энергии Е, и Ез = Е1 + гз, считая, что система имеет температуру Р, и в момент времени 1 = О приведена в контакт с териостатои, имеющим температуру р.

Определить поток энергии из 2-уровневой системы в термастат и изменение температуры р, с течением времени, исследовав предельные случаи больших и малых времен 1. Решение. В случае лвухуровневой системы кинетическое уравнение Паули лвя вероятностей ш1(1) и ь«2(1) имеет виа системы двух уравнений.

Ш1 = В12М21 Н'1М12 «Е2 = Или!2 Ы2Ш21 и нормировочного условия Ь«! + !"2 К моменту времени 1 = 0 состояние системы было заготовлено заранее как равновесное состояние с обратной температурой )уе = 1/ре, т. е. — =е Л«гв« '1 =е Лг аг!(0) В момент 1 = 0 эта система соелиняется с термостатом (в качестве которого может служить кристаллическая решетка, в узлах которой находятся двухуровневые спиновые системы, см.

$4 зялач и дополнительных вопросов к гл. 5). Решение системы уравнений усматривается сразу: ь«(1) = а!+ бе «', ь«2(!) = 1 — ш (1) = й« вЂ” бе "', тле и!21 «Е12 й1 — й2 7 ь«!2 + «е21. ш12 + и!21 в!12 + «еп При 1 - оо получаем отсюда, сопоставляя результат с принципом летального равновесия (см. задачу 61) = — =е !' '!=ел „! тле )З = 1/р — обратная температура системы, лостнгшей состояния равновесия с термостатом. Таким образом, м12 — — ш«1е, 7=в«!(1+е ), и окончательно, м«(1) = (е Л +е «') — е «' 1 д, 1 1+е Лй !+е дй 441 В 10.

Уроененое яонеглпческого баланса ! Лля определения спинозой температуры при ! > О имеем егг(!) -Э!гго 1-1(гу)(1-е ") — 1(А)е" в,(!) 1(15)(! — е г') + 1Ще г' или -Д(!). гг = !и !1 — 1()з)(1 — е '") — 1(!зс)е "] — !и ~1(!5)(! — е г')+ 1(Д)е ]. Рассматривая этот несколько громоздкий ответ лля Д(!) на исходе релаксации при Г! Ъ 1, имеем (,) дв, д ()Э)- ()уэ), „ О,(0) 1()з)(1 — 1(Р))' 9,(!) = д! 1+ — — (е!л эг!" — 1) е г'+... ~. д 1()5) В начале же релаксации, т.е.

при 7! < 1, получим после несложных упрощений, связанных с разложением в ряд по ТГ, 1(!5) — 1(гуэ) 1(Ре)(! — 1(!уе)) 0 1/у Рис.257. Релаксации спииоеой температуры а случае щ(О) > р или д,(!) = В 1 — — — (1 — е Сг Дгы)ТГ+... Рэ 1(!5) !1 1(А) График изменения спинозой температуры д,(!) приведен на рис. 257 для случая, когда се значение при ! = О было выше температуры тсрмостата д. Задача 67. В условиях предыдущей задачи учесть воздействие на систему внешнего поля, вызывающего дополнительные переходы между уровнями с равной вероятностью Р в обе стороны, 1- 2 и 2 1, и определить мощность поглощения зв счет этих переходов энергии внешнего поля.

Решение. В исходных уравнениях предыдущей задачи надо сделать замену вд-~ви+Р, вм- вг~+Р. Тогда в~ = егг~вг в!гв! + Р(егг — в!), вг — — влв~ — во вг + Р(в~ — вг), в~ + вгг = 1. Если ввести новую неизвестную функцию ег(!) = в~(!) — вг(!) = 2в~(!) — 1„ в = -2Рв+ (вг~ %г) (вг~ + вп)в. Средний поток энергии из двухуровневой системы в термостат в расчете на одну частицу системы будет экспоненциально спадать по мере приближения системы к равновесию: гг И да'= д(лгв~ + Вгагг) = -(1(!5) — 1(А))тгь. е где мы ввели обозначение 442 Задачи и дополнигпельные вопросы к главе 5 Обозначим И'и — Сап шо = Ш!2 + Ш21 1 т,= Ш12 + Ц221 н решение приобретает достаточно простой вид ш(С) = шм,„+ (ш(0) — ш „)е ~~ ые, где шо т, шраен — 11ш ш(С) тэФФ 1+ 2Рт, ' 1+ 2Рт, ' Поглощаемая мощность внешнего источника в расчете на одну двухуровневую систему будет равна — = РЬ ш1(С) — РС2 шз(С) = Р/Ь ш(С).

дт В стационарном случае при С -~ со РС2 !!ш Со= Р25'ш =но 1+ 2Рт1 График величины а (или ш(С)) приведен на рис. 258, на котором показано также, как прн С - оо версютности ш1 н шз сближаются, стремясь к своим новым предельным значениям. С> Задача 6В. В условиях предыдущей задачи рассчитать эволюцию вероятностей ш1 и шз, если в моиент С = 0 включается внешнее поле, вызывающее нескомпенсированные вынужденные переходы с вероятностями Рю > Рз,. Рассмотреть случай достижения системой состояния с отрицательной температурой. Решение. Для получения окончательных результатовдостаточно в выкладках задачи 67 сдеЛать замену шц+Р - шп+ Р+/ЗР, гле СзР = Рц -Рп > 0 и Р = Р2,, а шц Н Ш21 — ВЕРолтности спонтанных перехолов 1- 2 и 2- 1. Тогда сразу получаем для функции ш(С) = ш1(С)-шз(С) (а также для ш1(С) = (1 + ш(С))/2 и шз(С) = (1 — ш(С))/2) внешне тот хге экспоненциальный закон эволюции ш(С) = ш ш+ (ш(О) — шмон)е в котором фигурируют уже наеме по отношению к результатам предыдущей зааачи величины Иго Иго ш„,„= ш(С)! = — т,ее = т, 2Рт, +1 ш,(0) 0,5 ш,(0) ш(0) Рис,258.

Эволюция вероятностей ш1(С) и шз(С) н нх разности ш = ш1 — оез е двухуровневой системе после включения внешнего поля, вызывающего равноеероятные переходы Р с уровня на уровень. Удельная иощность этого воздействия ег = Рш(юг — Ез) С пропорциональна ш(С) ш21 ш12 22р 1 1 1 шо— — =ш12+ш21+СЬР, — = — +2Р, шп + шп + СЗР' т1 т,ее т1 р 10. Уравнение конепшчесного баланса ю,(0) 0,5 шз(0) гп(0) )У(!) Ь ю 1и 1 — и(!) и температура системы, начиная с мо- мента !е = т„ьь!и (1+в(0) Р+ ып + мп '! (гп12 + огг1) переходит при ! > !е в область отрицательнмх значений. Переходя к пределу при ! — оо (т.е.

к стационарному состоянию возбуждаемой системы) и подставляя в выражение дхя !3(!) предельное значение лля и(!), получаем для предельной обратной температуры величину 1 1 1+ ае/(! + 2рт1) авен = — = — йг р гу 1-,/(1+2Рт,)' которая в условиях !зР > юз~ — юц и ые < 0 принимает предельное отрицательное значение.

Состояния с температурой, близкой к самой высокой предельной минус нулевой рчии -ч -О, могут быть достигнуты только в случае, когда переходы 2 — 1 полностью компенсируются внешним воздействием, когда йз, + Рп ы гиг, + Р ч О, т. е. юл — -Р, !/т, ч 2/аР и ма -(Р+ /аР)//аР. Характер эволюции двухуровневой системы в условиях внешней накачки представлен на рис. 259. В условиях накачки, когда выполняется естественное с физической точки зрения условие /зР > ып — й|з, имеем ме < 0 и «е,„< 0 (но т,ее > О и т, > 0 при любйх значениях /зР).

Так как квазистатическая обратная температура !У = 1/Р в системе двухуровневых молекул определяется соотношением кинеткческого баланса — =е ! ' '!=ел мз то мы имеем Рис. 259. Графики изненеиил во вреиеии вероятностей в,(!) и вз(!) и величины ги ги ге, — мз в двухуровневой сисгене а процессе накачки в иее энергии виешиии попел в условиях возиожиого достижения отрицательной при ! > !е спииовой тенпературы Именной указатель Авогадро А.

100 Бернулли Д. 43, 56, 103, 3!2 Блох Ф. 338, 341, 343, 344, 346, 386 Боголюбов Н. Н. 22, 283, 298-300, 313, 317, 318, 344, 404 Больцман Л. ЗЗ, 283, 296, 316, 321, 332, 363 Браун К. 208 Браун Р. 81 Ван дер Ваальс И. 244 Ванг Дж. 398 Вант Гофф Я. 208 Видеман Г. 382, 384, 436 Винер Н. 151 Власов А.А. 300, 302, 308, 404, 405 Гамильтон В. 288 Гаусс К. 44 Пгббс Дж. 20, 22, 159, 208, 283, 356, 359 Гильберт В, 317 Гред Х. 317 Грюнайзен Э. 346 Дебай П. 301, 311, 346 Де Донде Т. 209 Джинс д.

411 джоуль Д. 218 Дитернчи К. 244 Друде П. 338 Дуб Дж. 150 Зеебек Т. 220, 256 Зоммерфельд А. 338, 383 Кирквуд Дж. 320 Кнудсен М. 243 Колмогоров А. Н. 92 Крамерс Х. !16, 227 Кроннг Р. 227 Лацаау Л.Д. 243, 308, 420 Ланжевен П. 83 Ландсберг Г. С. 197 Лаплас П. 44 Ле Шателье А.Л. 208 Ледюк С. 256 Ленгмюр И. 302 Ленц Э,Х. 208 Лиувилль Ж. 287, 288 Лоренц Л. 349, 384 Лоренц Х. 59, 334, 338 Лошмидт И.

331, 333 Максвелл Дж. ! 8, 190 Мандельштам С.Л. 197 Марков А, А. !44 Матиссен А. 348 Навье Л. 431 Найквист Г. 68, 158 Нейман Дж. 286 Нернст В. 256 Норвхайм Л. 348 Ом Г. 200, 256, 381 Онсагер Л. 198, 200 Орнштейн Л. 30 Пайнс А 398 Парселл Э. 386, 389 Паули В. 349, 354 Пельтье Ж. 2Ю, 222, 256 Планк М. 33, 96, 174, 209, 366 Пуазейль Ж. 216 Пуанкаре А. 330, 358, 361 Пуассон С. 43, 431 Райс С. 155, 176 Раман Ч. 197 Риги А. 256 Рим У.

398 Сазерленд В. 374 Саймон С. 438 Смекал А. 197 Смолуховский М. 92, 106 Стирлинг Дж. 43 Стоке Дхг. 83, 431 Тисов Л. 243 Томас В. 435 Имвнноа уназаглвль Томсон В. 198, 218, 220, 222, 338 Тонко Л. 302 Ферми $ 338, 382, 435 Фик А. 200 ФоккеР А. 96 Франц Р. 382, 384, 436 Фрслих Г. 343 ФУРье Ж 151, ЮО, 256 Хан Э. 333, 395 Хинчин А.Я. 15! Холл Э. 256 Цермело Е. 330 Цернике Ф. 80 Чебышев П.Л. 141 Чеимен С.

92, 317, 329, 429 Шредингер Э. 285, 351 Эйлер Л. 129, 193, 429 Эйнштейн А. ЗЗ, 35, 41, 58, 89, 154 ЭнскогД. 317, 329, 429 Эттингсхаузен А. 257 Предметный указатель Авогэдро число 14 Аддитивности термодинамической принцип 15 Алмнтганс обобщенный 22? Белый шум 152 Бернулли Формула 43 — числа 56, 175 Бяоха уравнение с релаксационным членом 387 Блоха — Доминионов теорема о спарнваниях 55 Больцмана гг-теорема 322, 416, 436 — лемма 320, 321, 326 — постоянная 14 Большое каноническое распрелеление Гнббсд 18 Ван лер Ваальса постоянные 64 Ван дер Вавльса уравнение состояния 244 Вариационный принцип оценки времени релаксации 423 Взаимности соотношения Онсагера 200, 204 Вндемана — Франца закон 340, 349, 378, 382, 384, 436 Вихревая трубка и вихревой эффект 246 Возврата теорема 36 ! Восприимчивость динамическая 226 Второе начало термодинамики для неквазистатических процессов 27, 233 Гаусса распределение 34, 39, 148 Гауссовский случайный стационарный процесс !45 Гиббса канонические распрелеления !7, 18, 288, 356 Гилролинамнки уравнения 428 Пщродинамнческое приближение 329 Двухжилкостная модель 243 Дебаевский ралиус экранировки 311 Дельта-коррелированный случайный процесс 152 Летального равновесия принцип 106, 206, 437 Детект орв тепловой шум !92 Джинса критерий неустойчивости 409 Джоуля — Томсона эффект 218, 244 Лисперсионные соотношения 227, 228 Литеричн уравнение состояния 244 Зеебека эффект (термоЭДС) 221, 256, 385 Зоммерфельда формула для проводимости 383 Импеданс обобщенный 227 Интеграл столкновений 295, 316, 320, 324, 329, 420, 422 Ионный звук в плазме 409 Каноническое распределение Пгббса! 8, 288 Кинетического баланса уравнение (шм!ег еппайоп) 1Об, 355, 437 Кинетическое уравнение Больцмана 3!6, 357 — — — линеаризованное 325 — — Власова 302 — — — линеаризованное 304, 406 — — для легкой компоненты (Лоренца) 334 — — Ландау 418, 419 — — Паули 354 — — — лля двухуровневой системы 440 — — Паули — Саймона 438 — — с релаксационным членом 296, 327, 429 — — с релаксационным членом, стационарнве решение 297 — — фон Неймана с релвксационным, членом 298, 389 Кнудсена соотношение 243 Комбинационное рассеяние 197 Корреляции время случайного процесса 143 Корреляционная функция равновесная 22 — — стационарного марковского гауссова процесса 150 Крамерса модель приграничного слоя 117 — Формула 116 Крамерса — Кронита формулы 227 Ландау затухание 308 Ланжевена уравнение 83 Ле Шателье принцип 208 Ледюка — Риги эффект 256 Л енпиора частота 308 Лиувилля теорема 288 — уравнение 290 Лоренца число 349, 384 Лошмшпв парадокс 331, 398 Максвелла демон 190, 398 — распределение 18 — — локальное 297, 323, 416 Пряди ешныд улазогляль Максимальной работы принципы 27 Марковский сяучайный стационарный процесс 144 Матрипа плотности оператор 286 Минимального собственного значения интеграла столкновений оценка 327, 424-427 Наале — Стокса уравнения 43! — — линеаризованные 432 Найквиста формула 68, 157 Нернста эффект 256 Нулевое начало термодинамики 14, 28 Онсагера соотношения взаимности 200, 204 Орбана и Беллемаса машинный эксперимент 333 Орнпхгейна-Перника оценка парной корреляционной функции 80 Ослабления корреляций принцип 23, 300, 415 Отрицательная температура 389, 442 Парадокс возврата (Пуанкаре) 330 — обратимости (Лошмидт) 331 Пелыье эффект 222, 256, 385 Первое и второе начала термодинамики для квазистатическнх процессов 16 Плазменные колебания поперечные 408 Плазменных колебаний затухание 308, 407 — — частота 308, 407 Планка формула 59 Предельная статистическая процедура 16 Причинности принцип 224, 227 Пуанкаре теорема 361, 363 Пуассона распределение 44, 312 Размешнвання процесс в фюовом про- странстве 292 Релаксационных процессов последователь- ность 331 Римана функция 55 Самосогласованного поля понятие 300 Свободного пробега параметры, варнационный метод оценки 422 — — среднее время 369 — — средняя длина 369, 370 Смолуховского (Чепмена и Колмогорова) уравнение 92, 145 Спаривания операторов, процелура расчета средних 54 Статистический вес 17, 355 — оператор р 286 Стационарное решение кинетического уравнения и явления переноса 297, 337, 339, 378, 436 Стационарности условие случайного процесса в спектральной форме 152 Стационарный случайнмй процесс 139 Температура 15 Термодинамическая система 14 Термодинамического равновесия состояние 14 Термомагнитные явления 254 Термомеханические явления 215, 239-244 Термоэлектрические явления 220 Томас-фермиевский радиус экранировки 435 Томсона эффект 222, 385 Транзнтивности свойство термодинамичсских равновесных систем 15 Транспортное сечение рассеяния 336, 345, 433 Фазовое пространство 288 Флуктуации термодинамические 26 Фоккера — Планка уравнение 94, 96 .