Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем.djvu), страница 93

260. К расчету интегралов по с другой — ограничение низшим членом разложения угнан н определению фактора попела степеням у. Начинаются полуфеноменологические речнастн н да включения в теорию, в какой-то мере спасающие ситуацию. Чтобы интеграл не расходился в области у «О, введем обрезание кулоновского взаимодействия на расстоянии порядка дебаевского радиуса гр —— (д/(4яе'п))цз. Ограничение верхнего предела связано с учетом только малмх углов рассеяния. А они действительно малы, если энергия кулоновского взаимодействия на подлете частицы к рассеивающему центру будет значительно меньше его кинетической энергии.

Принимая этот качественный критерий в среднем, имеем для оценки минимального прицельного расстояния е2 3 — = -д. 2'нн 2 Таким образом, ограничивая область интегрирования по модулю а значениями 1/гр < д/Л < 2/г „, получаем у / 2 дзгз д С 1 С 1 С 1 2- тын Гии 2, 3 Е2 у'4яи / Таким образом, оставшийся после разложения по й член интеграла столкновений ( — ) й — ~~' // др,( — — — ) / ии(д,и)з!пддддтг — й х У( )У( р) ~др, Вр„/ в котором можно опустить член с -В/Вр„(так как интегрирование по Врм все равно обратит его в нуль), становится вполне осмысленным, и кинетическое уравнение приобретает 420 Задачи и дополнительные еалрасьг л главе 5 достаточно компактную структуру: бг(Г, р) 1 ч д Г и~6 а — и,ид г'ОД(Г, р) бг(Ф, рс)) Это уравнение бмло получено Л.Л.

Ландау в 1937 г. Оно используется в целом ряде исслелований плазмы «со столкновениями» для решения задач, в которых принятые при его выводе ограничения можно считать законными. Величина 1и (го/гас„), являясь, по существу, подгоночной, варьируется в разнмх задачах в пределах 6-20. В ряде дальнейших исследований это уравнение модифицировалось, сохраняя характерную конструкцию из одночастичиых функций распределения, в которой вследствие прямого использования решения задачи двух, тел в частном случае относительно мапмх значений импульса передачи д 4; р р, (т. е.

малых углов рассеяния ус) уже не содержится импульсных аргументов со штрихами. Мы намеренно так подробно остановились на обсуждении физической ситуации, так как она вообще характерна в задачах, связанных с учетом кулоновского взаимодействия частиц. Мы подпиши, что те расходимости, которые возникли на определенном этапе рассмотрения, не являются пороком теории, а были обусловлены теми «упрощениями», к которым мы прибегли с целью получения несложной структуры для интеграла столкновений, Задача 46. В приближении одного времени релаксации т' определить, как меняется;~Г-функция Больцманв в линеаризованном варианте теории, если в момент 1 = О в системе появился небольшой избыток частиц с импульсами (рс, ре + дре), где !дре! ь )рс~, и такой же их недостаток в симметричной области (-рс — рс — дре).

Решение. Введем функцию 1, если р в области (жре, жрс ж дре), д(р~ рп) = О, если р вне этой области. Тогла начальное распределение запишется как Р(0, р) = Г(р)(1+ од(р- р«) — ад(р+ р«)), где о и, 1. Полагая в соответствии с 6 6-г) основного текста данной главы (см. с. 325) У(г,р) =Р(р)(1+с иЬ(р)), имеем 1и — с»е (Ь+Ь,— Ь вЂ” Ь), -И с с Ег'1 поэтому в соответствии с леммой Больцмана и струхтурой линеариэованного интеграла столкновений получаем — ги 2 -зи 3 — = -- у е (Ь +Ь, — Ь вЂ” Ь ) Р Рсибыдрсьр бг= -ие " у Ь Есгрбг, ВГ 4/ откуда ,й' = дц + е "' — Ь'(р)Е(р) др дг, 22 Так как в нашем случае квадрат относительного возмущения распределения Р(р) равен (од(р — ре) — од(р+ р )) = о (д(р — р ) + д(р+ р )), то, подставляя функцию Р(р), получаем х зп я'(1) = яю+е '"' Корду« ~ — ) е г'Дми1. ~ 2яша,~ Задача 46.

Выяснить условия зкспоненциальной релаксации функции распределенив Зг(», р) к максвелловской, полагая, что спектр значений и выше минимального значения и, = 1/т (а) дискретен, (б) непрерывен, (в) непрерывен в узкой полосе. 2 7. Приближение двухчостичнык взаимодействий 421 Решение. Представим решение линеаризованного уравнения Больпмана зг(1, р) в виде разло- жения его по собственным функпням оператора столкновений: (» ы Я, р) ы ~ е ыС(н)Ь„(р) Ин, т(0, р) = / С(н)Ь„(р) й я.

1. с с В случае дискретного спектра Ьг(р) = ~' Ьп(р)б(и — нь) Обозначая С(г )Ь„(р) = Ь(н), сдвинем переменную интегрирования, положив н = н~ + Л. Тогда и Х(1, р) = е "" ~ е и Ь(, + Л) гГЛ. с а) Случай лискрепюго спекгра (рис. 25 1). Имеем сразу т(С) = е ' Ь! (1+ =е гю "'"+... ). Ь, Условие 1 > 1/и, = т обеспечивает т(1) < 1, условие 1 1 1Ъ (нз — т) бьн позволяет пренебречь вторым слагаемым в скобках (нзс » тс > 1). б) Случай непрерывного спектра (рнс. 252 а).

Разлапа функпию Ь(и, + Л) в степенной рял по Л, имеем Х(1) =е "' (',/ е — ° — ФЛ, „„" Г „Л" д»Ь(р,) п1 ди," "сс 2(1) =е гн~ ~-~- — ( Ь(н,)=е "" — ~1 — — ° — ~ Ь(н,). Ф 1,1 дн~( ' 11 Ф дн,~ 0 тг нз нз н Рис. 251. 0лучай дискретного спектра собственных значений оператора столкновений Взяв интеграл по Л и сократив на и1, получаем Рис. 252.

Непрерывный спектр со ще- пьюг о — п1ютлженный, б — ограничен- ный узкой полосой (пунктнр) 422 Задачи и дополнцшельлые вопросы л главе 5 Логарифмируя обе части равенства, получим ! т(С)=-, ( + — Ш ). ид Й(и,) + Й'(и~)/С +... Таким образом, экспоненциальная релаксация будет наблюдаться в случае 1 1 С 1 С > — »» г, С » — 1п = > — 1п = и~ и~ Й(и>) и< и>Й(и~) Если же шель в спектре и отсутствует, т. е, и, = О, то релаксация уже экспоненциавьной не будет: Ь(0) Й'(0) Х(СНм = —,+ —,, +" . в) Непрерывный спектр, ограниченный узкой полосой (рис.

252 б). Полагая для простоты функцию Ь(и) в полосе и, < и < и, + Ло константой, имеем т(С) =е ' — (1 — е '). -»н Ь(ш) -о»г С При Лог » 1 этот случай был рассмотрен в и. 6). Если же Лог к 1, то будем иметь чистую экспоненту ЗС(С) Ш е"чбЛ»й(иг), которая реадизуется при 1/Ло » С > 1/и~ = т' Рассмотрим еше один гипотетический случай, когда полоса непрерывного спектра примыкает к нулевому значению (и, = 0), а выше ее границы имеются дискретные уровни (хотя бы один иг). Тогда т(С) = — (1 — е ) +Й,е-~, Й(о) и мы обнару:киваем наличие двух совершенно различных стадий релаксаций; прн Лог К 1 релаксация является экспоненциальной, а при С >'1/иг она переходит в значительно более мелленную, Х(С) Ь(0)/С.

Рассматривая эти модельные примеры, мы выяснили, что наличие хотя бы небольшого участка непрерывного спектра величины и сразу меняет характер экспоненциальной релаксации: появляются предэкспоненциальные зависящие от С конструкции, а в случае, когда непрерывный спектр примыкает к нулевому значению, появляется уже совсем другой тип релаксации — степенной.

Характер спектра и на самом деле, конечно, не этлается извне, он появляется «изнутри» при решении задачи с определенным типом взаимодействия частиц друг с другом. В математическом отношении исследование этих проблем далеки до завершения. Удалось выяснить, однако, что если сила взаимодействия между частицами с ростом В спадает как Л з или быстрее (так называемое «жесткое» взаимодействие), то и, Ф 0 и экспоиенциальная релаксация в каком-то из вариантов все же присутствует, а если слабее («мягкое» юаимодействие), то не исключено и, = О. 1» Задача 47. Используя метод рассмотрения линеаризоваиного уравнения Больцмана в й б, вывесгн вариационный принцип для оценки минимального собственного значения лннеаризованного оператора интеграла столкновений. решение.

Обозначим баланс относительных отклонений от максвелловских распределений [Ь[ = Ь+ Ь, — Ь' - Ь'и Тогда уравнение на собственные значения и линеариэованного интеграла столкновений примет вид и„Ь„= / У,[Ьь)игаибри 423 5 7. Приближение двухчапиичных взаинадейплвий Определим «скалярное произведение* квк (Л„, Ф) = / Рл«Ф ар. Тогда имеем (л.,л„) = (л„,л„), (л„,л„) > О. Обозначим свертку собственной функции с интегралом столкновений квадратными скобками; [Л,Л„] = (Л„,/ Р,[л»]ваыдр,).