Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем.djvu), страница 92

415 Б 7. Приблшкение дяукчоспгичнык езоимодеисглеий 2 г з шо а Рис, 2Я9. Решение днсперснонного уравнения без мнимой части. Пунктиром обозначены не реализующиеся вследствие большого затухания колебания Рис. 2Яа. К решению трансцендентного уравнения дяя частоты колебаний плотности а электронной классической плазме в У. Приближение двукчастичных взаимодействий Задача 39. Показать, что принцип ослабления корреляций Боголюбова при использо- вании а качестве Р! равновесного максвелловского распределения цг(р) автоматически приводит к выражению для нулевого приближения для равновесной парной корреля- ционной функции Рз((г! — гз)). Решение, (ак как в пространственно олнородном случае б, (!) = 1, то (О Рз(л! е! ( Р!) = 11(п с (1,2)Щ, х!)Рг(Г, из).

со Подставляя сюда равновесное распределение Рг(с х;) = ш(р;) = — ~ ехр ~ —— ~ 2япге ~ ( 2ига ) мы получим, что после действия оператора Я „разводящего частицы за пределы их радиуса действия, в экспоненте будет стоять сумма кинетических энергий разведенных частиц, которая как равная энергии двух частиц сохраняется и прн меньших расстояниях: (' ')~„,.= ' Поэтому мы сразу получаем извесп(ый (см.

т. 2, гл. 3, Я 1-г)) результат нулевого приближения (о1 ( Ф()г! — гзО ) -(о) Р! (Рнрг гг, гз) = ш(Р!)(о(Р!) ехр — = ш(Р!)ш(Р!)Рз (г!.гз). В Для о-частичной функции совершенно аналогично Р(ог(х„..., и, ( н(р)) = П ш(рг) ехр ( — — " Ф((г! — г(1)), р ! ! гс!<!с! Для получения первой вириальной поправки для Р~ необходимо подставить Рг(1, х;) = ш(Р,) в формулу для Р (х(, хз |Р!), которую в основном тексте мы не получали. (О 416 Задачи и даполниглельные вопросы и главе 5 <с) Задача 40. Показать, что полученное в предыдущей задаче выражение для Рз обращает в нуль правую часть Ф(Гз) первого уравнения цепочки Боголюбова.

Решение. Так как интеграл по рэ в силу нормироввнностн функции ю(рэ) равен единице, то, взяв производную от ю(р~) по рн получаем ю — — ю(р1) 1 6ж — ехр ( — — ! ю О, р, Г д Г ф(Л)1 глд / дй 1 Р ) Задача 41. Показать, что локальное распределение Максвелла в случае термически однородной (д(г) = д) покоящейся (рс = 0) систеиы удовлетворяет стационарному уравнению Больцмана, и получить координатную часть этого решенив. Решение. При подстановке укаэанного распределения в уравнение интеграл столкновений обрацшется в нуль, производная по времени тоже, и мм получаем р Вп 1 ЯГГ р т — — -- — ~- — ) =О, гл Вг и дг ~ птр! откуда сразу слелуст больцмановское распределение п(г) =сонат е аааг и Р(р,г) =сола! ю(р)е ланг.

Задача 42. Исходя из кинетического уравнения Больцмана получить уравнение движения для плотности Зг"-функции Больцмана 6р Л(с,г) = 1 У'(с,г,р)1пдг(с,г,р) —, (2вй)з Решение. Умножим уравнение Больцмана дУ р дУ Вгу ВУ Г иди бр, + .. — (у'у', учг,) В! гп дг дг др,/ (2вй)э на 1+!и У и учтем, что дУ' В (1+ !п У ) — = — (У' 1п У), Вб Вс гле величиной б может быть 1, г или р. При интегрировании по р слагаемое, соответствующее р, обращается в нуль, и мм, вводя плотность потока величины Л Г р 6р )ь(Д ) = ( — У 1п У вЂ”, ,/ гл (2яй)' получаем, используя для правой части лемму Больцмана, ВЛ(1, г) 1 Г У" У', и 6ы 6р бр, — +6!т)ь(дг) = -- / 1п — ° (У"У', — УУ'1) дг 4,/ УУ'~ (2яй)а щ О. Я'-теорема, установленная в $5-в), следует отсюда после проведение почленного интегри- рования по г. Задача 43.

Показать, что для системы с заданными термодинамическими параметрами 8, 'и", ДГ (адиабатически изолированная система) функция та(я~р) 1пта(я Р) йя!(Р достигает своего минимального значемия в случае, когда распределение та(я,р) является гиббсовским. 4)7 О 7. Прцблньтенце деукчасгличныл езаимодвбсшенй Решение. Необходимо рассмотреть следующую вариационную зшшчу: РГ = ~ ш(е, р) !и ш(е, р) йе йр = щ!и.

1=~в(Ч,Р)йбйр. й=~Н(б,р) А(б,р).йбйр, где Н(е, р) — функция 1Ъмильтона. Введем вспомогательный функционал Яг'ш / бейР(В 1пв — а(1 — в) -)У(8 — Нв)) = пйп и рассмотрим задачу уже на безусловный экстремум по отношению к виду распределения в и множителям Эйлера а и !У. Имеем лля первой вариации по бв бЯ'= /(1пв+ 1+а+(уН)бш йейрш О, откуда следует, что -1-е -Лл в=с ° е Условие ОЯ7ба = О определяет величину а, и распределение в принимает внд в(е,р) = -е 1 лл Я где обозначено г = ~е-"'"йейр = гОУ,У,Н). Наконец, условие ддг/б)У = О даст уравнение для расчета величины )У = Д(й, К К), д1пб е= Не л йейр / е "байр= —. О!у .

То, что полученное рещение соответствует минимуму функционала Я', щюверяется сразу: так как в > О то б~р!"= / -(бв) йейр) О. Чтобы убедиться, что межау величиной - Ж и )1 существуют те же сооз7гошения, что и между термодинамической энтропией б н обратной температурой, б = (бй) „„' подставим полученное решение лая ш(е,р) в функционал Я'. Тогда, учитывая, что произ- водная от нормировочного интеграла равна нулю, д~ Г бв — — = / (- 1п в — 1) — йе йр = В)У / ВВ бв = ( (РН вЂ” +(!и 2 — 1) — ~ йейр = )1 — г Нв йуйр = !У вЂ”,: б)у В!У1 О)У У' откуда что окончательно убеждает нас в том, что минимизирующее функционал Я' распределение ш(е, р) являегся распределением Вгббса. 418 Задача и дололншпельные вопросы я главе 5 Задача 44.

На основе интеграла столкновений в форне Больциаиа учесть в пространственно однородной системе с кулоновскии взаимодействием рассеяние частиц друг иа друге и получить кинетическое уравнение Ландау. Решение. Рассмотрим систему частиц с кулоноеским взаимодействием (без необходимости пока не будем его подправлять) в пространственно однородном случае п(»,г) = и = »У/г', когда Р,(», г, р) = Р,(», р). Потенциал самосогласованного поля в этом случае равен нулю, н кинетика функции Р,(», р) определяется уже не полем Е, а столкновениями частиц друг с другом. С точки зрения цепочки уравнений Боголюбова нулевой порядок по параметру «/газ отсутствует (в Б 4 он был основным), и необходимо рассмотреть уже следующее приближение, т, е, систему уравнений, приведенную в задаче 30.

С математической точки зрения это очень сложная система интегральных уравнений, второе из которых необходимо решить относительно корреляционной функции 62, Чтабы затем подставить ее в первое и получить кинетическое уравнение для Р, с учетом взаимодействия ионов друг с другом. Эту программу удалось провести к настоящему времени только в очень частных случаях; Таким образом, построение больцмановс кого интеграла столкновений в плазме остается одной нз сложнейших проблем кинетической теории. Ме.кду тем с физической точки зрения (т. е. с точки зрения качественного подхода) ситуация не представляется столь безысходной.

Классическая задача двух тел с кулоновским (или гравитационным) взаимодействием решена данным-давно, а учет столкновений, если его производить нв качественном уровне, предчоженном в Б 5-а), приведет к бсльцмановскому интегралу, в котором в соответствующем месте (т.е. в вырюкении ды = а дог»12 = е (уз, и) з!п у2 4»р 4»4Р) подставить в качестве сечения известную формулу Резерфорда: / е2 2 щц2 2 зги 4(Р»2) Однако на самом деле столь скормй на руку качественный подход оборачивается осложнениями, связанными с тем, что мм, по существу, поломали всю идейную программу, заложенную в интеграче Больцмана: короткодействие, пренебрежение временем взаимодействия по сравнению с временем свободного пробега и т.д.

— ничего этого в нашей системе нет. В сложившейся ситуации, когда, с одной стороны, просматривается достаточно прямой путь построения кинетического уравнения, с другой — обнаруживается изначальнаа внутренняя противоречивзетЬ этого прямого подхода, мы не будем особенно уючнять дпвли (введение нескольких сортов ионов, приведеннмх масс, точных коэффициентов и т, п.), ограничиваясь чисто качественным (ознакомнтельным) уровнем рассмотрения.

Ввиду формально бесконечного рааиуса взаимодействия кулоновского потенциала в задаче рассеяния существенно возрастает роль больших прицельных расстояний, которме характерны для основной массы подлетающих с импульсом р, частиц к частице р. Эти частицы будут рассеиваться на малые углы Р, т. е. р' = р+ф р, = р~ — ф 14) ее 2рз!и — «ь1р( 1р !. 2 Отдавая себе отчет, что, ограничиваясь случаем малых а, мы тем самым теряем инйирмацию о реальнмх вкладах в интеграл столкновений, происходящих от области малых значений прицельного расстояния, запишем функциональную конструкцию белы»маноне кого интеграла в виде разложения (иидексм а и»3 пробещют значения я, р, з) У'У, '— Ц, = »г,(», р+й)Р2(», р, — я) — Р (», р)Р,(»,р,) = Вместо того, чтобы интегрировать по углам Р и у2, ВЫраКая ЧЕРЕЗ Ник КомпОнЕнты О„ и ев, булем интегрировать по й (тройной интеграл) с учетом того, что при малых его значениях вектор й почти перпецаикулярен вектору относительной скорости а, т.

е, снимая один из интегралов с помощью одномерной б2-функции 1 1 пп Зз бу2 4»4Р ~ —,б(вй) д» =, б(аоз б) бф гпзи (гпи)за 419 у 7. Приближение двухчаппочнык язаомодяйгшяой Тогла интеграл от первого слагаемого, пропорционального у„, обратится в нуль, так как сечение рассеяния зависит ат четной степени модуля у (и д ~), а во втором слагаемом будем иметь после перехода к сферическим координатам с осью а, направленной вдоль вектора н = (О, О, и) и подстановки в формулу Резерфорда а1п (д/2) а2 )Ч)/(2р) «ч/(пги) -у дани(д,и) з2пддддуг- /г 2С вЂ” б(вц) дй = 1 Г унте 2 Я = 2С / ' я ' — б(саед) мпдддбр у ду = иу Мы не булем утруждать себя уточнением величинм С, которая включает в себя е и численный коэффициент, который в конце концов все равно окажется и подгоночным.

Множитель бея — и,ип/и, равный, как 2 в этом можно непосредственно убедиться, интегрируя по углам д и 22 (см. рис. 250), в случаях (а, )У) = (и, и) д соэд и (у,у) единице и нулю во всех остальных случаях сочетаний индексов компонент, обеспечивает выполнениепринятоговыше условияприблнженнойпоперечно- тз1пдсоз2е ~,й сти н д ф Оставшийся ие взятым интеграл 2'2 расходится язшдяпу2 и на нижнем, и на верхнем пределах. Это наследство, у с одной стороны, формулы Резерфорда (рассеянне на голом заряде, а у нас в системе многих тел — поле за- Ж ряда экранируется плазмой на расстоянии порядка гр), Рис.