Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем.djvu), страница 96

Каантовомеханическвя вероятность такого перехода равна 2я 2 Е(р й; р-Фй+Е) = ф(р,й(Ф(р-йК+Е)~ 4(Е,+Е,-Е,,-Е„„,). Указанные выше дополнительные ограничения на величины И и Е можно учесть с помощью 4жктора пе(1 — пь+е)(1- и «). Тогда, просуммировав по всем й и й, получим интересуюшую нас вероятность Е: Задача и дополнательные вопросы к главе 5 Обратим внимание, что матричный элемент взаимодействия Ф((г, -гз(), рассчитаннмй по нормированным в объеме У плоским волнам, сведется к фурье-образу этого потенциала.

Имеем (Р,МФ(Р-ФК+й) = 1 ( 1 (( = Д ог, огг — ехр ~ — -(рг, + Мгз) ~ Ф()г, — гз 1) ехр 4 -(рг — Ег, + йгг — йгг) ) = У2 1» гг1 1 ГГ Г г — — аг, огз Ф((г> — гз!) ехр — -е(г~ — гз) ) = Уз л (г1 — ой Ф(22) ехр 41 -йй)1 = -н(а). У/ "(Л ) У Если заменить эту величину на некоторую эффективную и вынести ее за знак суммы по й, то подсчет ю проводится точно. Но рапи оценки можно обойтись и без этого. Заметим, что вследствие принципа Паули электрон р не может «опуститься» ниже уровня гг, т. е. он останется всегда в шаровом слое 4яр~г(р — рг).

Поэтому число возможных конечных состояний для него при переходах р - р — й будет порядка У ° 4яр~г(р — рг) (2яй)з Это верхняя граница числа слагаемых по Ф Так как первоначальная энергия этого электрона Р Рг Р+Рг Р Рг Рг — — = — (Р - Рг) 2ш 2ги 2 гл гп то он может возбудить только такой электрон й из-под сферы Ферми, который нахслится вблизи ее поверхности в слое толшиной (р — рр). Таким образом, максимальное число слагаемых по й тоже равно У4ргг(р-рг)/(2яй)'. Учитывая, что гЛ-функция имеет размерность ег гг получим длл величины мг оценку (явно завышенную) пгн Рг (р Рг) 1 пг" Рг г 2 еъЛг Р2 2 язйг ' " ' где Л = (р - рг)/рг К 1.

Точный расчет вместо множителя 1/2 дает 1/8. Таким образом, мы получили, что затухание одночастичного возбу:кдения, связанное со взаимодействием электрона с другими электронами, вблизи сферы Ферми исчезаег вообше; Лм г г = — -(р-р,), 2 Произведем численную оценку затухания. Пусть р выбрано на границе температурного размытил сферы Ферми, т.е. пав Л Л = —, Ег В. Рг Положим м- 1Ф(К) ай- Фг~, где Ф вЂ” среднее эффективное взаимодействие, г — эффективный радиус.

Тогда 436 Задача н дололниглельмые вопросы я главе 5 получаем (см. 3 7, п. 3», а также задачу 19) м аз1бягп Г / дп(е) ~ а= — ) Л(г) ° е( — — ) ее = 3(2гл)з l ~ дг ) е (яз я' ре бйе я' Рзз ФМ)(Е)' где Ле ю Л(ре), а ае — цроволимость при В = О. Задача Зр. Рассчитать проводимость и теплопроводность невырожденного злектронного газа, считая й = солж. Решенне. Чтобы не повторять всех выкладок по отношению к неемрожденному случаю, прелставим с самого начала локальное распрелеление 2з в виде, соответствующем классическому пределу 2 го 2пз з з Р(т) = — п(е) = — ем . с Ы, (2ял)з (2ял)з где г = пзез/2 и п(2 Л)з 2(2язпд) ззз Тогда вместо расчета фермиевскнх интегралов (см.

3 7-в) гл. 5) нвм необходимо будет брать интеграл вила М г е Г гугпс!Вз е Вынося Л эа знак интеграла, получим после элементарных выкладок для проводимости 4 езпй 3 з/2ягпр и тсплопроводности прн условии отсутствия тока 8 дпй х 9 зУ2езпе Закон Видемана — Франца дяя невырожленного случая будет иметь вна Х е — =2, ев Эти результаты полностью соответствуют полученным нами ранее в задаче 18 в предположении Л = сопзг.

Ь 5 10. Уравнение кинетического баланса и принцип детального равновесия Задача 60. Доказать Я'-теорему Больцмана на основе кинетического уравнения Паули (уравнения кинетического баланса). Решение. Введем Рг-функцию, обобщвюшую не квантовый случай М-функцию Больцмвне, Рг м ~ ы„1пм„. $10, Урааненое кинеглсчесяоео баланса 437 Тогда на основе уравнения Паули имеем дМ дв„ дв„ д — в ~~ — "!пв„+ ~Ч~ —" в ~Ч~ в(п; и')(вя — в,) !и в„+ — ~ в„. Учитывая, что функция в„нормирована (т, е.

второе слагаемое равно нулю), и изменяя порядок суммирования в двойной сумме, имеем дЯ' — в(п'! п)(в„— в„) 1и в„= — ~~ в(п; п )(в„— в ) !л в„, откуда, взяв полусумму обоих вариантов, получаем дЖ' ч-~ в(п; и') ℠— — (вы — в„) Гл — м О (мы учли„что (е — р) йг (е/р) ~ О), что и является выражением Я -теоремы. г> Задача 61. С помощью уравнения кинетического баланса установить принцип детального равновесия для случаев: а) адиабатически изолированная система; 6) система в термостате. Решение.

Принципом денальлого раелсееснл называется связь между функциями распретления в„и вероятностями перехода в(п; и'), которая обрашлет в нуль правую часть кинетического уравнения. Полагая в уравнении — (в(п; п)вз — в(п; и )в„), дв„/д! = О, получаем в случае состояния равновесия акнабатнчески изолированной системы, когда в,(8, К дг) = Г условие в(п;п) = в(п; и), которое автоматически выполнялось в уравиеним Пауяи, полученного именно лля этого случая. В случае б) — система в термостате, когда в„(р, К К) = -е -е е г имеем в качестве условия скомпенсированности переходов и -+ п' и и' - и е П в(н'; и) = е я" Г в(п; и'), что выражает принцип детального равновесия для системы в термостате.

Задача 62. Написать уравнение кинетического баланса для функции распределения по импульсу электрона л'(С, р) в лоренцевской форме (случай рассеяния злекгронод на других частицах) и получить формулу, выражающую принцип детального равновесия для электронного газа в термопате. Решение. Перекопа от в„(1, р,,..., ри) к одночастичной функции Р(г, р), как это мы делали в $8, и.

5) получим, учитывая принцип Паули, уравнение больцмаиовского типа, обобшаюшее на случай частиц, подчиненных принципу Паули, форму интеграла столкновений Лоренца: дР(г, р) ) в(р', р) Р(1, р') (1 — Р(г, р)) — в(р, р') Р(1, р) ( ! — Р(г, р')) / дг 438 Задачи и далолниглельные эалрогы и главе 5 (как и в $8, мы вывели из квадрата матричного элемента перехода р — р' и !у -о р соответствующие учету принципа Паули множители (1 — Р(г,р)) и (! — Р(1, р')).

В случае равновесия с термостатом 1 Р(г,р) = п„м и принцип детального равновесия, обращающий в нуль правую часть уравнения, лает после подстановки фермиевских распределений и соответствующих сокрашений общих множителей м(р; р)е '~ = м(р;р)е г~", что полностью соответствует общему условию, сформулированному в преаыдушей задаче по отношению к полной вероятности перехода м(п; п'). !> Задача 63. Считая, что функция Е(1,р) иапо отличается аг равновесного распределения Фарии пю получить линеаризованное уравнение для отклонения У(1,р) = е(1, р) — и и оценить с ега помощью время, которое требуется, чтобы появившаяся в момент 1 = О в системе частица включилась бы в общее тепловое движение системы.

Решение. Полставим функцию Р(1, р) = п + у(1, р) в кинетическое уравнение, выписанное в предыдущей задаче, получим, сохраняя линейные относительно у(1, р) члены, — ( (в(р; р)(1 — п ) + м(р; р )пр) г (1, р ) — (й(р; р )(! — п ) + й(р'; р)п г) г (1, р) ). ду(! р) г' Появление частицы с импульсом ро в равновесной системе означает, что в функции распре- деления п появилось возмущение вида У(р) = сг(р ро)у(ро) причем уравнение для у(ро) ввиду наличия Ь(р — ро) сразу приобретает вид уравнения с релаксационным членом — (й(ро! р')(1 — п„) + й(р'1 ро)п„) у(ро) + ы(ро! ро) у(ро) = — — у(ро). ВУ(ро) Вг т(р) Опуская второе слагаемое, имеющее по сравнению с первым порядок 11!У, получаем у(г,ро) = у(О,ро)е но'! где обратное время релаксации системы к равновесному состоянию (или обратное время жизни возбужденной частицы) с учетом принципа летального равновесия (см.

задачу 62) оказывается равным т(ро) м ~~~ (м(ро! р )(1 п ) + м(р; ро)п ) — ~' й(ро,' р) о о 1 — п, В невырожденном случае результат для 1/т(ро) — = ~=(рыр) т(ро) совершенно естествен — зто вероятность частице ро перейти за секунпу в любое другое состояние. В выра;кденном случае множитель! - п ограничивает область конечных состояний с точностью до температурного размытия обласп ю )р ) > рг, появление же множителя (1-п,) в знаменателе свидетельствует о резком ускорении релаксацианного процесса в случае, когла возмугцение часпшы происходит в области температурного размытия, когда !ро( рг г> Задача 64.

Показать, чта если функция ю„удовлетворяет уравнению Паули, в котором все вероятности перехода тэ(п; и') равны друг дру~у (иодель Саймона, 5. 51юоп, 1956), ЛГ-функция обладает свойством выпуклости й' > О. О 10. Уравнение яанеглоческого баланса 439 Решение. Дифференцируя гг"-функцию Я! =~Чг ы„1пш, и по времени и используя уравнение Ош„ — ш й„= Ч~~ й(шя — ы„), получаем после несложных выкладок 1 с-~ ши ЗР = -- й(ыя — ш„)!л — 4 О..