УМФ Тихонов (А.Н. Тихонов - Уравнения математической физики), страница 3

е. провести вычислительный эксперимент. Пля практики найти оптимальное (в некотором смысле) решение, что требует изучения класса задач с различными входными данными. Математическая физика — -наука о математических моделях физики. Она носит междисциплинарный характер. Одни и те же модели (дифференциальные уравнения) могут описывать процессы разной природы. Так, например, уравнение параболического типа может описывать процессы теплопроводности, диффузии, фильтрации, намагничивания и др. Поэтому можно говорить о базовых задачах математической физики. Уравнения параболического, гиперболического и эллиптического типов являются примерами базовых задач. Сложные физические процессы описывая~тон моделями, являющимися, как правило, объединением нескольких базовых задач.

Типичные базовые задачи и рассматриваются в данной книге. Материал этой книги — классический, устоявшийся, совершенно необходимый для специалиста любого ранга при изучении задач различной сложности. Многолетние испытания в педагогической практико показали, что он «не стареет» и является совершенно необходимой основой современного образования по специальностям «Математическая физика» и «Математическое моделирование».

Линейные модели, которые детально изучаются в книге, по- прежнему играют важную роль при решении задач любой сложности. Их изучение (математическая постановка задачи, проблема существования и единственности решения, типичные аналитические методы исследования, отыскание частных решений задач) нужно для понимания физических процессов, а сами частные решения используются в качестве тестов для вычислительных алгоритмов. В качестве Пополнения 1 в 3-е издание книги (1966 г.) был введен раздел «Метод конечных разностей», в котором даны в простейшей форме сведения о методе конечных разностей для решения типичных уравнений математической физики и введены основные понятия теории разностных схем. Более подробные сведения по теории разностных схем и ее применениям изложены в цикле книг: Самарский А.

А. Теория разностных схем. Мз Наука, 1989. Самарский А. А. Введение в численные методы. Мл Наука, 1987. Самарский А. А., Гулял А. В. Устойчивость разностных ПРЕДИСЛОВИЕ уравнений. Мс Наука, 1973. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. Мс Наука, 1989.

Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы решения эллиптических уравнений. Мс Наука, 1978. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные схемы газовой динамики. Мс Наука, 1990. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. Мс Наука, 1978. Следует отметить, что эти книги по стилю и методологии примыкают к настоящему изданию. В ряде учебных пособий, написанных на ту же тему в последние годы, изложение с самого начала основано на формализме обобщенных решений.

В данной же книге обобщенные решения вынесены в Дополнение П1 «Обобщенные решения краевых задач», и зто не архаизм: книга предназначена для прикладников (физиков, инженеров), которые должны не только уметь доказывать теоремы существования, но и,в первую очередь, овладеть техникой решения задач с доведением до ответа в виде формулы или вычислительного алгоритма и числа. В 6-е издание книги внесены редакционные исправления и некоторые дополнения, из которых отметим разделы, посвященные краевым задачам для квазилинейного уравнения теплопроводности, режимам с обострением и эффектом локализации тепла, обнаруженным авторами с сотрудниками.

Теоретический материал книги «Уравнения математической физики» иллюстрируется прикладными задачами в приложениях к каждой из глав. Кроме того, имеется «Сборник задач по математической физике» (авторы Б. М. Будак, А. А. Самарский, А. Н. Тихонов), 4-е издание которого находится в печати, где содержится большое число задач на вывод уравнений и граничных условий, а также на применение различных методов решения основных краевых задач математической физики. В заключение выражаю глубокую благодарность В. А. Ильину и Е.

И. Моисееву за неоценимую помощь при написании Дополнения П1. В подготовке б-го издания книги принимали участие П. Н. Вабищевич, В. А. Галактионов, Н. Н. Калиткин, Ю. Л. Левитан, А. С. Болдарев, Н. Г. Сиротенко, Е. В. Шильников, И. В. Абалакин, и особенно большой вклад принадлежит С. В. Полякову.

При подготовке к печати предшествующих изданий книги оказали больпзую помогць А. Г. Свешников, В. Л. Арсении, В. В. Кравцов, А. Ф. Никифоров, И. С. Гугцин. Всем им выражаю глубокую благодарность. А. А. Самарский 1999 г. ПРЕДИСЛОВИЕ ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, теории упругости, электродинамике и т. д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики. Метод исследования, характеризующий эту отрасль науки, является математическим по своему существу.

Однако постановка задач математической физики, будучи тесно связанной с изучением физических проблем, имеет специфические черты. Круг вопросов, относящихся к математической физике, чрезвычайно широк. В предлагаемой книге рассматриваются задачи математической физики, приводягцие к уравнениям с частными производными. Мы стремились подчинить выбор и изложение материала характеристике типичных физических процессов, в связи с чем расположение материала соответствует основным типам уравнений.

Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач, приводящих к уравнениям рассматриваемого типа. Особое внимание уделяется математической постановке задач, строгому изложению решения простейших задач и физической интерпретации получаемых результатов. В каждой главе помещены задачи, преследующие в основном цель развития технических навыков.

Некоторые задачи сами по себе представляют физический интерес. В конце каждой главы помещены приложения, в которых даются примеры применения изложенных в основном тексте методов к решению различных задач физики и техники, а также приводится ряд примеров, выходящих за рамки задач, рассматриваемых в основном тексте. Выбор таких примеров, несомненно, можно сильно варьировать. Книга содержит лишь часть материала, входящего в курс методов математической физики. В книгу но входят теория интегральных уравнений и вариационные методы. Приближенные методы изложены недостаточно полно. В основу книги были положены лекции, читавшиеся свыше десяти лет А.

Н. Тихоновым на физическом факультете МГУ. Частично содержание этих лекций было отражено в конспектах, изданных в 1948 1949 гг. В предлагаемой книге материал конспектов был расширен и подвергнут коренной переработке. Мы рады возможности выразить благодарность нашим ученикам и товарищам по работе А. Б. Васильевой, В.

Б. Гласко, В. А. Ильину, А. В. Лукьянову, О. И. Панычу, Б. Л. Рождественскому, А. Г. Свсшникову и Д. Н. Четаеву, без помощи которых мы вряд ли смогли бы подготовить к печати книгу в короткий срок, а также Ю. Л. Рабиновичу, прочитавшему рукопись и сделавшему ряд ценных замечаний. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский 1951 г. ГЛАВА 1 КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Многие задачи математической физики приводят к дифференциальным уравнениям с частными производными. Наиболее часто встречаются дифференциальные уравнения 2-го порядка. В настоящей главе мы рассмотрим классификацию зтих уравнений.

$ 1. Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка 1. Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными. Дадим необходимые определения. Уравнением с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными х, у называется соотношение между неизвестной функцией и (х, у) и ее частными производными до 2-го порядка включительно'~: Е (х, у, и, и,, ию и ., ияю ияя) = О. Аналогично записывается уравнение и для большего числа независимых переменных. Уравнение называется линейным относительно старших производных, если оно имеет вид аззи„+ 2а, и, + агги„„+ Кз (х.

у, и, и„и„) = О, (1) Мы пользуемся следующими обозначениями для производных: дги дги ияя=д д ияя=д г ит д. х у у д'в аяя х ' ди ар —— ду' ди ия = —, дх' где аы, азг, агг являются функциями х и у. Если коэффициенты ап, азг, агг не только зависят от х и у, а являются, подобно Еы функциями х, у, .и, и, и,, то такое уравнение называется квазилинейным. 16 КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 1 Уравнение называется л и н е й н ы и, если оно линейно как относительно старших производных и, и,р, и,, „, так и относительно функции и и ее первых производных ия. и„: апик, + 2аггирр+ аггирр+ бзик+ баир+ си+ р' = О, (2) где ап, апп агг, бп бг, с, р функции только т и у.

Если коэффициенты уравнения (2) не зависят от и и у, то оно представляет собой линейное уравнение с гюстоянными коэффициентами. Уравнение называется однородным, если 1(т, у) = О. С помощью преобразования переменных с = з (и, у), ц = у?(и, у), ап и„+ 2агги,р + агг икр + б' (т, у, и, и„ир) = О. Преобразуя производные к новым переменным, получаем ир Ся + ир ця, ир ср + и„цр, асс С, + 2иррС,Ц, +ир, ц, + ис г.„+ ар цр,., г г иРР СяСр + и1р (С,Цр + СрЦя) + и р Ц,Цр + иР С,р + ир Ц,р, ирр С + 2ие Срцр + и„„,ц„+ ар Сэр + изц,„р.

г г ир —— (3) и, ирр = Подставляя значения производных из (3) в уравнение (1), будем иметь ап ирг + 2агг игр ч- агг и„„+ Р = О, (4) где ап = оп (, + 2аггсяср+ аггси, агг = ап (~ц~ + агг К~цр + ц~чр) + агг чрцр агг = ап г1 + 2аы цяцр + агг цгп г г а функция Р не зависит от вторых производных. Заметим, что если исходное уравнение линейно., т. е. б'(т, у, и,и , ир) = б1ир + бги„ + си + р', то Р имеет вид Р(с, ц, и, ир, ир) = агар + рцгир+ ?и+ б, допускающего обратное преобразование, мы получаем новое уравнение, эквивалентное исходному. Естественно поставить вопрос: как выбрать с и ц, чтобы уравнение в этих переменных имело наиболее простую форму? В этом пункте мы дадим ответ на поставленный вопрос для уравнений, линейных относительно старших производных вида (1) с двумя независимыми переменными я и у: з 1) КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА 17 ап г, + 2агг г,гн + агг х„= О.