Часть 1 (Г.Н. Абрамович - Прикладная газовая динамика), страница 11

2.1), в общем случае ведет к изменению ее объема; умножая разность скоростей поступательного движения противоположных граней параллелепипеда, определенную по формуле (3), на площадь каждой из этих граней, получим скорость изменения его объема за счет линейной деформации в направлении оси абсцисс; составляя подобные выражения для скоростей изменений объема по остальным двум координатным осям и суммируя все три величины, найдем полную скОрость изменения объема жидкой частицы: ИК ди ди Ни — = — Нх Ыу сЬ + — Ыу йз г) х + — с(з Нх ду = Н$ дх ду да = (е„+ еи + е,) Ых с(у ~Ь.

После деления этого выражения на первоначальный объем жидкой частицы а' = с(х оу Ыз, приходим к важной в газовой динамике величине скорости относительного изменения объема Вектор угловой скорости вращения ю, составляющие которого суть ы„, оз„и ы„носит название завихренности, или вихря скорости, его величина определяется, очевидно, следующим равенством; г 2, УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ жидкой частицы: др е= — — =е,+е„+е,. р ш (5) На основании (4) имеем окончательно ди ди ди е= — + — + —. дг ду дг ' (6): й 2. Уравнение неразрывности Выражение, стоящее в правой части равенства (6), называется дивергенцией (или расхождением) вектора скорости и обозначается так: ди ди ди йчЪУ = — + — + — = е, дг ду дг (7) где % — скорость.

В сплошной несжимаемой среде объем частицы не изменяется, следовательно, равенство йч чч'= — + — + — =0 ди ди ди (8) дг ду дг представляет собой уравнение неразрывности жидкости. Условие постоянства массы жидкой частицы может быть записано в следующем виде: 6 = р)г = сопе1. Здесь под плотностью жидкости р понимается предел отношения массы частицы к ее объему Ьй дС р= 11ш — = —, Ач о~у (11а) Отсюда на основании (5) приходим к уравнению неразрывности для сжимаемой сплошной среды $ др йчЖ = — — —.

р дг' (11б) Заменяя полную производную плотности жидкости по времени частными производными и используя (7), получаем ! ди ди ди 1 др др др др — р~ — + — + — ) = — + и — +о — +иг —. ~дг ду дг 1 дг дг ду дг' причем предполагается, что, стремясь к нулю, объем Лч' стягивается к некоторой внутренней точке. Продифференцировав по времени обе части равенства (9) и поделив результат на величину с',получим 1 др 1 Л' — — + — — = О. р дг Р дг ГЛ.

11. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДГОДИНЛМИКИ В соответствии с правилом дифференцирования произведений это уравнение неразрывности для сжимаемой среды (газа) приводится к виду — + — + — + — = О. др дри др~ дри (12 а) дс дх ду дх Сумма последних трех членов представляет собой дивергенцию плотности тока р%, поэтому уравнение неразрывности для газа можно записать также в форме — ~+ йч(рж) = О.

И2б) При выводе дифференциального уравнения неразрывности рассматривалось движение отдельной жидкой частицы; такой метод исследования ввел в гидродинамику Лагранж. В другом методе исследования, развитом впервые Эйлером, рассматривается не поведение отдельных частиц, а изменение по времени параметров жидкости в фиксированных точках пространства; метод Эйлера во многих случаях удобнее метода Лагранжа — и в гидродинамике, и в газовой динамике им пользуются чаще. 5 3.

О силах, действующих в 'жидкости Выделим некоторый объем жидкости и рассмотрим его изолированно от окружающей жидкой среды. Силы, действующие на заданный объем жидкости, могут быть двоякого рода: объемные и поверхностные. Объемные силы приложены ко всем материальным частицам, составляющим объем. К объемным силам относятся: сила тяжести, силы магнитные и электрические. Поверхностные силы распределены по поверхности выделенного объема.

Они возникают в результате воздействия окружающей среды на данный объем. Поверхностные силы, в зависимости от того как они направлены по отношению к данному элементу поверхности, подразделяются на нормальные и тангенциальные. Для того чтобы характеризовать изменение от точки к точке объемной силы ЛР или поверхностной силы Ьг, вводят понятие о напряжении, подразумевая под ним предел отношения силы к объему йр (или соответственно к поверхности ЛЯ), который достигается при стягивании объема (или поверхности) к некоторой внутренней точке. Итак, напряжение объемной силы в данной точке среды есть ЬР дР К= )пп — = —, йу дг поверхностное напряжение $ = 11ш — = —. йР дГ аэ- о '~~ й а о силах, цвиствгющих в жидкости Силы нормальные действуют как в покоящейся, так и в движущейся жидкости; силы касательные возникают только при двилсении жидкости, да и то лишь в том случае, когда жидкие частицы деформируются. Для большинства жидкостей, как показывает опыт, справедлива гипотеза Ньютона, согласно которой напряжения пропорциональны с к о р о с т я м' деформаций.

Коэффициент пропорциональности, зависящий от рода жидкости и ее состояния, носит. дт дх — йх дбн дх Рнс. 2.4. Схема снл, действующих на две грани элементарного параллеле- пипеда название коэффициента динамической вязкости или попросту вязкости.

Составим уравнения движения вязкой сжимаемой жидкости для элементарного параллелепипеда со сторонами с(х, сГр, Из (рис. 2.4). Обозначим компоненты объемного напряжения К буквами Х, У, Я, нормальные напряжения, приложенные к граням параллелепипеда и параллельные соответствующим координатным осям,— а, о„, о., касательные напряжения, лежащие в плоскости каждой грани,— буквой т с двумя индексами (первый указывает ось, перпендикулярную данной грани, а второй — ось, параллельную направлению напряжения, например т,,„т„„т„,).

Заметим, без доказательства, что из условия равновесия параллелепипеда следует равенство моментов сил относительно произвольной оси и равенство касательных напряжений с одинаковыми, но расположенными в обратном порядке индексами: (13а) т~у тук~ тке тт тм ттг По закону Ньютона произведение массы параллелепипеда на его ускорение равно равнодействующей всех сил, приложенных к параллелепипеду. Составим соответствующее уравнение для проекций ускорения и равнодействующей силы на ось х.

Нормальные напряже- $4. СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ бб из условий Ф ох ох Ф ор —— о„— о, (15б) о, = о, — о. Используя этн соотношения, систему дифференциальных уравнений движения можно представить в виде Ыи до р — =Х+ — + др дх др до р — =~ + — + др ду (16) дм до р — =~+ — + дг дв Разумеется, в каждом из этих уравнений можно в соответствии с (13в) в левой части полную производную составляющей скорости заменить частными ее производными, а касательные напряжения с одинаковыми, но переставленнымп индексами согласно (13а) считать равными. й 4.

Связь между напряжениями и деформациями /дм да~ 'хр= ~'(,ду + дх/=Руа. (17а) где, как уже указывалось, коэффициент пропорциональности 44 есть коэффициент динамической вязкости, зависящий от рода жидкости и ее состояния (температуры, давления). Касательные напряжения в двух других координатных плоскостях суть соответственно !дв дв1 (17в) Сложнее обстоит дело с нормальными напряжениями.

Б Г. Н Абрамович, ч ! (17б) Связь между напряжениями н скоростями деформации, как уже указывалось, устанавливается законом трения Ньютона. Касательные напряжения вызывают деформации сдвига (угловые деформации), определение которых было дано в з 1 этой главы. Так как согласно гипотезе Ньютона в жидкости напряжения пропорциональны скоростям деформаций, то в соответствии с (1) имеем ГЛ.11. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ Распространяя гипотезу Ньютона о пропорциональпостп напряжений скоростям деформаций на нормальные напряжения и деформации растяжения (сжатня), следует иметь в виду, что растяжение жидкой частицы сопровождается ее поперечным сжатием, т.

е. объемной деформацией; иначе говоря, деформация в направлении любой оси вызывается напряжениями, как параллельными атой оси, так и перпендикулярными к ней. Подробный анализ полей напряжений и деформаций, выполненный двумя разными методами в гидродинамике и в кинетической теории газов '), позволил установить связь между нормальными и касательными напряжениями, пз которой следует, что добавочное нормальное напряжение равно $ о„. = о„— о = 2р (е„— — е), 3 (18) где е„, е — относительные линейная и объемная деформации, определяемые соответственно из (4) и (6). Кроме того, в гидродинамике вязкой сжимаемой жидкости принимается второе обобщение гипотезы Ньютона, согласно ко- торому среднее нормальное напряжение равно сумме двух чле- нов: первый член есть давление, взятое с отрицательным зна- ком, которое не зависит от скорости объемной деформации, а второй член пропорционален последней: о = — р+ т~е; (19) здесь д — коэффициент, который можно назвать второй вяз- костью.

Знак минус прп давлении учитывает, что оно всегда на- правлено внутрь выделенного объема жидкости; значение о при- нято считать положительным, если оно направлено наружу. Итак, согласно (18) и (19), нормальные напряжения выра- жаются следующим образом: 2 оз = — р + 2ре„+ (т) — — р) е, з 2 от = р+ 2рет+ (Ч з р) е, (20) 2 о, = — р + 2ре, + (ц — — р) е. 8 В несжимаемой жидкости е = О, откуда о = — р, о = — р+ 2ре„, о„= — р+ 2ггет, о, = — р+ 2ре,. (21) В кинетической теории газов доказывается, что для одно- атомного совершенного газа отношение ц/11 должно иметь поря- ') Паттерсон Г. П.

Молекулярное течение газов.— Мз Фкзиатгиз, 1960; Л о й ц я н с к и й Л. Г. Механика жидкости и газа.— Мд Паука, 1987. 5 Ь СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ 67 ди 2 (ди ди, дв1 н„= 2р — — — р( — + — + — ь дх 3 (дх ду ' дх/' (23а) и соответственно для осей у и х ди 2 ~ди ди дв) а = 2)г — — — )м — + — + — (, ду 3 ~дх ду дх/' дв 2 7ди ди дв1 а,=2р — — — )х~ — + — + — !. дх 3 ~ дх ду дг !' Для несжимаемой жидкости ди и„= 2)х д —— 2ре„, (23б) ди ау —— 2(х — = 2деу, ду дв н, = 2р — = 2ре,.