Часть 1 (Г.Н. Абрамович - Прикладная газовая динамика), страница 13

Умножим первое из уравнений Навье — Стокса (16) на составляющую скорости и, второе — на и, третье — на ю и сложим почленно все три уравнения. Тогда будем иметь д ( — ! ( д,2 ') Р д2 ), д2 д2 / (, дх др дх / Здесь для простоты отброшена работа объемных сил как не играющих роли в газовой динамике н среднее нормальное напряжение заменено давлением (а = — р). Складывая уравнение (45), отражающее нзменение кинетической энергии, с уравнением (42), учитывающим изменение энтальпии, и используя выражение (40), получаем после некоторых преобразований Р— „[2 + — ! = — + Х ЛТ+ — (О„и + Тхрв+ Т„,и~) + + д (тр~п+ орр+ тр~о2) + дх (т,хп, т,рр+ О,л2). (46) Как известно из 3 2 гл.

1, сумма энтальппи и кинетической энергии называется полной энтальпией (полным теплосодержаиием) И~~ 1+ — = 12. (47) Подставляя (47) в левую часть уравнения (46) и заменяя с помощью (8), (17) и (24) напряжения скоростями деформаций, получаем после преобразований уравнение энергии в таком виде: й» др /И 2~ р — = — +)Кт+ рЛ~~ )+ дФ дФ ( 2 ! + 3 р(рр Ч) о1ч рр+ з Р(61р рр) + 2рзз' (48) 75 $ Х ГНДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ где В газовой динамике имеет большое значение (см.

следующий параграф) безразмерная величина — = Рг, Л носящая название числа Прандтля. Введем это число в правую часть уравнения (48). Для этого прибавим и вычтем член используем (47) и учтем, что при с = сопзб )сЬТ = — Лг. с Итак, имеем р ' = — + — Лгс + р ~1 — — ) Л ~ — ) + — р (%' р) 81ч%г + аг ас с Рг/ (2! 3 — р(с)1тЖ)'+ 2РЯ. (49) Вначение числа Прандтля зависит от физических свойств среды. Для газов число Прандтля близко к единице (например для воздуха Рг = 0,72). При Рг = 1 третий член правой части равен нулю и уравнение энергии упрощается: Р— г — — а, + — дэ~+ 3 р(тт ч) ЙЫУ+ 3 р(Й1ч ззг)'+ 2Р47.

(50) 5 7. Гидродинамическое подобие Ввиду невозможности получить точное решение уравнений Палье — Стокса и уравнения энергии для подавляющего большинства задач гидродинамики и газовой динамики прибегают либо к приближенным решениям, либо к экспериментам на моделях. В последнем случае возникает вопрос об условиях подобия для обтекания натурного объекта и его модели.

Первым условием такого подобия является геометрическое подобие, которое выполняется, если размеры всех сходственных элементов модели и натуры отличаются в одно и то же число раэ и, кроме того, если сходственные элементы расположены под одинаковыми углами к вектору скорости набегающего потока. Гл.п. элемннты Гидгодинлмикп Пусть любой характерный размер модели г отличается от соответствующего характерного размера натуры г, в гг, раз. Тогда величина — = й~ гн (51) есть линейный масштаб моделирования (рпс.

2.5). Кинематическое подобие течений около модели н натуры выполняется, если Гн Рнс. 2.5. Иллюстрация геометрического подойня в сходственных точках, координаты которых пропорциональны: Вм "и и — = — = — =йь Гн кн ~н (52) компоненты векторов скорости удовлетворяют условию мн он м — = й„, н.,н "'и мн (53) *и нн ум ун»м»н (54) и гн ги гн гм гн т. е. как точки с одинаковыМи относительными значениями координат. Точно так же из условия (53) получаем, что в сходственных точках двух кинематическп подобных течений, вне зависимости от кинематического масштаба моделирования, безразмерные значения соответственных составляющих скорости одинаковы: ои он ~м ~н (55) и и н и мн и ин и и юм и н Условке динамического подобия двух течений, очевидно, выполняется в том случае, когда значения соответственных сил, приложенных к модели и натуре, отличаются в одно и то же где и „, и, — скорости невозмущенного набегающего потока соответственно у модели и у натуры на большом расстоянии (сна бесконечности») от тела.

Величина я„называется яинематичвским масштабом моделирования. Из условия (52) вытекает, что сходственные точки двух течений можно определить следующим образом: у 7. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ число раз: ~уы Р м Иу Йу Р м Ы7 — мв ~~н Рн Ы4 Ии ни„йун ун — Рн л7 ж Х„ ум г„ х„=у, =г„= (56) Рхы Рум 7гм — = — = — = мв Р Рун Р Дхм Дум ~~гы — = — = — = йв. Лж Лун Л,н Первое пз приведенных равенств содержит проекции снл инерции, стоящие в левой части уравненпй Назье — Стокса, второе — спл объемных, третье — спл гпдродинампческого давления и четвертое — спл трения, сгруппированных в правой части уравнений Навье — Стокса.

Козффициент мн характернзует динамический масштаб моделирования. Из равенств (56) впдно, что вне зависимости от масштаба йн динамическое подобие имеет место в случае, если безразмерные значения соответствующих спл, приложенных к модели и натурному объекту, одинаковы: Ун ит. д., Нин Р " Ну Хм Хн дим Рм— И7 дин ' Рн— <77 ~им Рм ус ~ хм рхн ит. д., ди Рн Н7 Иим Рм йу и т. д. Ыи„ Рн— <Й пи Р м Г Гидродинамически подобными являются течения, в которых выполняются одновременно условия геометрического, кпнематического и динамического подобия. Если записать уравнения Навье — Стокса в безразмерном виде, то для двух гидродпнамическп подобных течений зтп уравнения окажутся совершенно идентичными.

Приведем к безразмерному виду уравнение Навье — Стокса (25), для чего сначала все велпчпны, входящие в уравнения, Выразим в долях соответствующих величин для невозмущенного течения вдалп от тела (и, р„, р ) и также характерных Гл. и. элементы гидгодинАмики значений времени (дэ) и размера (1): и и д — з д„ и и и и и и и аи и и, и„ + и х и у и х 0 д— д — д — д— д — д — д 2 и 2 и 2 и и и "О д( ) д~ ~) а~х) ри р рРР и и и д — д — д— и и и + 1 д 3 х д— х д— у д — д— а затем разделим на величину и у/, пропорциональную силе а! инерции для единицы массы: и д— и + и и д— и „и и д— д и и д— си с о д и х +и у д— и д д и д~ ) д— Р Р и Р Р д— х р Ри 2 2 р и и и д— и д — „д + "" $ д 3 х х а в а— е г у + д — д Здесь принято, что массовая сила Х представляет собой силу земного тяготения, т.

е. Х/р = у. Безразмерное уравнение Навье — Стокса (58) содержит следующие безразмерные комплексы: Ф Р иа уз р уи и и, р и с ю Очевидно, что для геометрически и кинематически подобных течений безразмерные уравнения движения (58) будут одинаковыми в том случае, если каждый из этих комплексов имеет одно и то же значение для натурного объекта и модели и если в сходственных точках этих потоков относительные значения плотности и значения вязкости одинаковы (р/р„= 18еш, д— Р Х Р Р Р + д— и д и д( ) ! ) >, (57) 79 ф х Гидгодннхмичнсков подовие р = Ыеш) хм зн = — =56, 1н Он н 1 Ег и и~ из о~м юн 'Ом"-~м (59) ~~н из р~~н" ~н Р н Рюмм" м рюнн и и р 1 и р м м из Безразмерные комплексы (59) являются, таким образом, критериями динамического подобия для геометрически и нине- матически подобных систем.

Этим критериям подобия присвоены следующие обозначения и названия: — = 5й — число Струхаля, и1 и — = Ег — число Фруда., г1 (60) Р, = — Еп — число Эйлера, ри р1и — = й — число Рейнольдса. р Еи= —; 1 ьм' ' это значит, что в случае газовых течений появляются два допол- нительных критерия подобия: В выражениях (60) индексы опущены, так как в них следует подставлять некоторые характерные значения параметров, которые не обязательно соответствуют их значениям на «бесконечностин.

Вспомним, что каждый из критериев динамического подобия был образован делением соответствующей силы на величину, пропорциональную силе инерции; поэтому число Фруда определяет по существу отношение веса (объемной силы) к силе инерции, число Рейнольдса — отношение силы вязкости к силе инерции, число Струхаля — отнощение дополнительной (локальной) силы, вызванной неустановившимся характером движения, к силе инерции, число Эйлера — отношение силы гидродинамического давления к силе инерции.

В несжимаемой жидкости критерий Эйлера не является определяющим, так как в качестве характерного давления р можно ваять динамическое давление ри'/2, и тогда Еи — есть постоянное число. В сжимаемой среде критерий Еи можно представить с помощью известного выражения для скорости звука аз = Йр/р в виде гл.11. элкменты Гидгодинамики ЧИСЛО и число Маха и М= —, а' значения которых прп подобии течений около модели и натуры должны быть соответственно одинаковыми й„= й„М„= М,. Выполнить' условия полного динамического подобия при моделировании в общем случае весьма затруднительно. Если модель испытывается в той же среде (вода, воздух и т.