Часть 1 (Г.Н. Абрамович - Прикладная газовая динамика), страница 12

дх В несжимаемой жидкости добавочные нормальные напряжения связаны со скоростями линейной деформации точно такими же соотношениями, как касательные напряжения со скоростями угловых деформацпй. В этом нетрудно убедиться, сравнивая равенства (24) и (17). (24) док квадрата отношения объема, занятого молекулами, к объему газа, т. е.

является весьма малой величиной, что дает право пренебречь второй вязкостью. Мы будем считать это справедливым для всех газов, хотя строгого обоснования такого предположения для многоатомных газов не существует. Для весьма плотного газа (при очень вы- соком давлении), двухфазного (газо-жидкостного) течения и в других особых случаях допущение ц О заведомо несправедли- во. Следует заметить, что часто второй вязкостью называют ве- 2 личину ). = 7~ — — )х, которая никогда не может быть принята равной нулю, но выпадает из уравнения движения при Йч% = = О, так как является множителем при последней.

В дальнейшем мы положим ц = О, т. е. будем рассматривать газ без второй вязкости, тогда нормальные напряжения опреде- лнются следующими выражениями: 2 о~ = — Р+ 2рсх — 3 ре, о = — Р+2р „— — ре, 2 (22) 2 ог = — Р + 2ре, — — ре. 3 Из (18) следует, что добавочные нормальные напряжения воз- никают только в вязких жидкостях, когда д ть О. Подставляя в (18) значения е„и е из (4) и (6), получим 69 5 6. УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ Уравнения (26) называются уравнениями Навье — Стокса В векторной форме уравнения Навье — Стокса сводятся к одному уравнению р — = К вЂ” егаб р + рбмк+ — )х афтаб (йу 'ту), (27) где К вЂ” напряжение объемной силы. В вязкой жидкости имеет место прилипание частиц жидкости к стенкам, ограничивающим течение, поэтому при интегрировании дифференциальных уравнений Навье — Стокса нужно использовать в качестве граничного условия равенство нулю скорости течения у стенки (% = О).

В случае несжимаемой жидкости (р =сонат) последние члены в уравнениях Навье — Стокса (26) и (27) отсутствуют (йу Ж = О), вследствие чего этн уравнения принимают более простой внд: ди др р — = Х вЂ” — + рйи, д6 дх да др Р— = ~ — — +)гМ М ду дв др р — =г — — + ~Ли, Ы6 дх (28) р — = К вЂ” 6габ р+ рЛК~. дмт д6 (29) Решение уравнений Навье — Стокса даже для несжимаемой жидкости представляет собой очень сложную задачу.

До сих пор удалось получить точные решения этих уравнений лишь в некоторых простейших случаях, например для течения вязной жидкости по прямой трубе — задача Пуазейля; для течения между двумя параллельными плоскими стенками, из которых одна неподвижна, а другая движется,— задача Куэтта; для течения вблизи критической точки — задача Хименца— Хоуарта и др. Задачи гндродинамикн вязкой жидкости решаются обычно приближенно путем отбрасывания в уравнениях Навье — Стокса членов, которые в тех плп иных конкретных условиях могут быть малы по сравнению с другими членами.

5 6. Уравнение энергии Составим дифференциальное уравнение сохранения энергии для движущейся частицы сжимаемой среды. Согласно первому закону термодинамики подведенное к телу тепло идет на повышение его внутренней энергии и на совершение работы деформации 6)Ч = с„с)Т + Р 6)и. (30) гл. и. элвмвнты гидгодинамики 70 Здесь ЫД = дч, + Щр — суммарное количество тепла, подведенное к 1 кг вещества за счет теплообмена частицы с окружающей средой Щ,) и работы сил трения (ЫД„), р Нр — работа сжатия (деформацин), НУ = с„г)Т вЂ” внутренняя энергия газа. Для частицы с объемом г'= ох ду Из н массой 6=рг' условие сохранения энергии запишется в следующем виде: Йд = Ид, + Ид„= бс„йТ + р 3У. (3$) Здесь пд, — тепло, полученное частицей извне, Ыд,р — тепло трения, выделяющееся на ее гранях.

Тогда секундный поток тепла, приходящийся на единицу объема частицы, равен — — = рс„— + — —, тдч дт рЛ' а "ж удз' (32) Если подвод тепла из окружающей среды осуществляется только путем теплопроводности, то через единицу поверхности, согласно гипотезе Фурье, проходит в единицу времени поток тепла 1 дчг дТ Р ~й дз' (33) Здесь Л вЂ” коэффициент теплопроводности, зависящий от свойств жидкости (температуры, давления), дТ(дп — градиент температуры по нормали к поверхности, Ндг/Ж вЂ” секундный поток тепла, Р— площадь поверхности частицы.

Возвращаясь к элементарному параллелепипеду (рис. 2.4), запишем секундный расход тепла через грань площадью аунг в направлении оси х дТ вЂ” Л вЂ” Иу пз. дх Секундный приток тепла через противоположную грань со- ставляет ) Л д + д — (Л д ) ох] орох. Таким образом, увеличение запаса тепла в объеме г(х Ну дз вследствие притока тепла через укаэанную пару граней в течение промежутка времени Ж составляет д (Л д )дуд~Ы~М, д (Л д )йхй~Нуй. Аналогично, приток тепла в направлении осей у и з составляет соответственно 6 6. уРАВнение энеРГии Общее количество тепла, подведенное к частице путем тепло- обмена с внешней средой за время бг, равно Ыув= ~д ~Л д )+ —,, (Л д )+ д (Л д )1с(~АУ<(~6(6.

(34) Найдем теперь количество тепла, поступающее в объем Ых 6(у0г вследствие работы сил трения. Силы вязкости, приложенные к противоположным граням параллелепипеда, имеют противоположные направления. Секундная работа равна произведению силы на проекцию скорости на направление силы. Например, дополнительные нормальные напряжения о„, действующие на гранях площадью 61у из, совершают за одну секунду работу (при учете только членов первого порядка малости) [ — *' ~ ( '+ —,* ) ( ~,'— " *)1и ° ди дох'1 д (о„и) о„— + и — ) 6(хиупг = Йхгхуйг.

х дх дх ) дх '('х~) (хну (г, '('"* ) ( (у (г. дх дх Работа нормальных и тангенциальных напряжений, действующих на остальных двух парах граней, рассчитывается аналогичным образом. В итоге получается следующее выражение для суммарной секундной работы сил трения, действующих на поверхности параллелепипеда: — — (О„и + тх„~ + т„,~ ) + †(~Ухи + Оуи + тв,й) + д + — (т,„и + т,„э + о,~)1 Ы~ Ну бг. (35) % Однако не вся работа вязких сил превращается в тепло.

Часть этой работы, соответствующая равнодействующей вязких сил, которая вызывает ускорение частицы, расходуется на приращение механической энергии частицы. Компоненты равнодействующей вязких сил в направлении осей х, у, г были определены в э 4 при выводе уравнений движения; работа, совершаемая этими компонентами равнодейству- Таким же способом определяется работа, которую производят касательные напряжения т „и тхи приложенные к тем же граням, в направлении двух других составляющих скорости (пи ю): гл. 11, элементы Гидродинзмики ющей сил в единицу времени, очевидно, равна ~тих дтух дсх ихс (7 ди др ди1 I ди ди ди1 — = ~~о — + т — + тх — /+ (т „— + а — + т„,— /+ д1 — ~~ х дх хр дх хг дх / (, "х ду " ду ду / + ~тхх д + т,у д +о, д //ихс(ус(з = —.

(37) ду„ Если теперь в уравнении (32) величину суммарного секундного притока тепла Ид = йд,+ дд„заменить с помощью (34) и (37), то получим уравнение энергии ( ди ди диг~ 1 ди ~ ди дм1 х дх худх х*дх/ ~, ду уду гду/ + (тхх дх т тху д + ох )~. (33) После замены в (37) вязких напряжений их значениями согласно (17) и (24) получим тепло тренпя, выделяющееся за одну секунду в элементарном параллелепипеде: дух р и (39) где множитель Ф вЂ” ~~а„ вЂ” + тх„ — + тх, †/ + ~ту„ — + ор — + т„, †/ + + (тхх д + тху д + о* д /) = 2 ~( дх ) + ( д ) + ~ дх ) ~ + 2 1ди др дш ) — — ~ — + — + — / (40) 3 ~ дх ду дг / носит название диссипативпой функции. Вычтя из полной работы (35) работу перемещения частицы (36), получим искомую часть секундной работы вязких сил, трансформирующуюся в тепло: 73 з е. ггавнвник энкггии Используя определение функции Ф (39) и (40), получаем уравнение сохранения энергии в виде (41а) Преобразуем второй член левой части этого уравнения с помощью условия сохранения массы (11а): Тогда уравнение энергии можно представить также в следующем виде '): , ° ~С„Т+ 1= ° + (,зт)+ + — (Л т) + д ()„зт ) + рФ.

(41б) Для идеального газа, подчиняющегося уравнению р/р = ВТ, уравнение энергии упрощается, так как С,Т + Р = (С, + Л) Т = С Т = 1. Р состояния Отсюда Р а — — — д+ д (1бв )+ — (Х-4 )+ з (Х вЂ” )+РФ. (41в) В несжимаемой жидкости второй член левой части уравнения энергии (41а) равен нулю и, кроме того, се = с. = с, поэтому уравнение энергии получается в следующем виде: рс — = ХЬТ + рФ. ат (43) Диссипативная функция Ф в этом случае также принимает более простую форму, так как последний член правой части (40) равен нулю.

т У= ~ с„оТ= С,Т, где о ') Здесь С, — среднее значение тенлоен- кости. Если коэффициент теплопроводности не изменяется во всей области течения, то имеем уравнение энергии в следующей форме: р — = рс — = — +)сЛТ+ рФ. ТП ЙТ Зр ЛЗ Р И ЛС (42) гл. и. элементы гтщгодинамики Для стационарного двумерного (плоскопараллельного) течения уравнение энергии (42) примет следующий вид: + р (2 ~( — ) + ( — ) 1+ ~ —, + — ) — — ~ — + — ) ~. (44) В некоторых случаях в газовой динамике удобнее пользоваться другой формой уравнения энергии, которую можно получить с помощью уравнений Навье — Стокса.