Часть 1 (Г.Н. Абрамович - Прикладная газовая динамика), страница 7

Изменение давления на участке между торцовыми сечениями струйки пропорционально силе, действующей на выбранный элемент жидкости. Эта сила, параллельная оси х, равна (Р! — Рз)Г К боковой поверхности приложена сила трения, направленная параллельно потоку,,против него: — Р„. Кроме того, между торцовыми сечениями струйки может находиться какая-либо машина, получающая от газа техническую работу. Пусть проекция на направление движения силы, с которой действует машина на газ, равна — Р'). Итак, сумма проекций всех сил на ось х равна гч =(Р! Р2)г' Ртр По уравнению количества движения эта сила должна быть равна изменению количества движения: (Р! Р2)г' г тр з С(Ш2 Ш!) ° (90) Если расстояние между сечениями 1 и 2 бесконечно мало, то уравнение количества движения нужно записать в дифференци- ') Проекция силы, приложенной газовым потоком к машине, считается пележительвей.

39 5 а уРАВнение кОличестВА дВижения альной форме: тт с)ит+ Г с(р = — дР, — ЮР. У~множив все члены этого уравнения на скорость движения и разделив на массовый расход газа, получим уравнение работы всех сил для цилиндрической струйки, отнесенное к $ кг газа, Ыр ми~ тр ИЕР и дй+ — =— С '6 Здесь использовано уравнение расхода в цилиндрической струйке б рю = — = сопз1.

Р Нетрудно видеть, что стоящие в правой части члены представ- ляют собой работу сил трения ~)Ртр — ~П'тр1 С и техническую работу Таким образом, уравнение количества движения для цилиндрической струйки газа легко преобразуется в уравнение Бернулли (91) (92) При отсутствии трения и силового воздействия газа на какую- либо машину дифференциальное уравнение количества движения приобретает особенно простой вид: Ыр = — рьт Сит. (93) Уравнение (93) выражает важное свойство газового потока.

При отсутствии внешних сил и сил трения увеличение скорости потока может быть вызвано только уменьшением статического давления, и наоборот, торможение потока в этом случае всегда связано с увеличением давления в нем независимо от характера других процессов, происходящих в потоке, и изменения остальных параметров газа. В интегральной форме уравнение количества движения для цилиндрической струйки запишется так: Ртр Р р — рт+ р и (и~ — итт) = —— ,~3 дальнейшем уравнение количества движения для цилиндрической струи газа мы будем применять в следующей форме: ~Ртр иР йр + рит йс = — — '" — —. Р Р ' 4О ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУЙКИ нли при условии Р„=О и Р=О: рэ — р~ =р~ш~ (ш~ — шз), р + ри з = соней (94) или Итак, в цилиндрической струйке давление может измениться даже в том случае, когда нет трения и технической работы.

Для этого достаточно, чтобы изменялась скорость течения, что монгет быть достигнуто при подводе или отводе тепла. Например, при подогреве газа, в овязи с уменьшением его плотности, скорость растет (р1ш1 = ртшз), а давление падает. Важная особенность уравнения количества движения состоит в том, что с его помощью расчет действующих сил производится только по состоянию потока, на контрольной поверхности без проникновения в сущность процессов, происходящих внутри этой контрольной поверхности. Поэтому уравнение количества движения позволяет во многих случаях достаточно точно рассчитать гидродинамический процесс, не вникая в его детали.

Следует отметить, что эффективность использовании уравнения количества движения зависит в основном от того, насколько удачно выбрана в потоке контрольная поверхность, рассмотрим несколько примеров применения уравнений количества движения н энергии. ар* = р,* — р,". Полное давление р* в случае движения несжимаемой жидкости определяется совершенно аналогично тому, как это делалось для идеального аднабатнческого процесса в $ 4, т. е. как давление в полностью заторможенной струе без потерь н в отсутствие технической работы; прн з = совет, П р н м е р 1, Определим гидравлические потери в потоке несжимаемой жидкости прн внезапном расширении канала (рнс.

1.8). Опыт показывает, что в этом случае струя, выходящая нз узкой части канала, не заполняет вначале всего поперечного сечения широкого канала, а рас- ~»д» , ' текается постепенно. В углах лз между поверхностью струи н стенкамн образуются замкнутые токн жидкости, причем давление на торцевой стенке 1 по опытам оказывается почти равным статическому давлению ва выходе нз узкой части канала (р1).

Прн внезапном расширении канала на- 1 блюдается значительное гндрав- лнческое сопротивление, т. е. проРнс. 1.8. Схема течения прн внеаапном исходит уменыпеннеполного даврасшнренвя канала ленка в потоке. Если поместить сечение 3 в таком месте, где поток уже полностью выравнялся, т. е. статическое дазлевне рг н скорость потока м, по сечению постоянны, то потери будут равны разности полных давлений 5 3. уРАВнение кОличестВА ЛВижения согласно уравнению Бернулли для несжимаемой жидкости (60), имеем рю 1 Р>+ 2 Таким образом, для несжииаемой жидкости Скорости э>1 и э>2 можно связать уравнением неразрывности э>>Р> э>272,' изменение статического давления (р> — р>) заранее неизвестно, т.

е. получается одно уравнение с двумя неизвестными. Дополнительно можно использовать уравнение количества движения. Учитывая, что участок растекания струи 1 — 2 имеет не слишком большую длину, силой трения обычно пренебрегают. Тогда уравнение количества движения можно применить в простейшей форме (94): РР РЭ>2(Э>2 ЭР>). Здесь испольауется постоянство давления в сечении 1, что не является самоочевидным, но, как указано выпте,подтверждается опытами. Б отличие от уравнения Бернулли, уравнение количества движения дает возможность сразу определить разность значений статического давления, получающихся в потоке при внезапном расширении канала.

Если этот результат подставить в уравнение Бернулли, то найдутся и потери полного давления при внезапном расширении канала: ( 1 2) 2 Следует обратить внимание на то, что применение уравнения количества движения принесло в данном случае успех благодари удачному выбору контрольной поверхности 1 — 2, на которой оказались известными основные действующие силы. Пример 2. Произведем расчет простейшего эжектора, состоящего из сопла А и цилиндрической смесительной трубы В, расположенных в пространстве, заполненном неподвижной жидкостью (рис. 1.9). Иэ сопла подается струя, которая подсасывает жидкость из окружающего пространства. Пусть на выходе из смесительной трубы скорость и плотность смеси примерно постоянны.

Построим контрольную поверхность из сечений 1 и 2, проходящих нормально к по- Ж У Р тельной трубы,и боковых поверхностей,направленных параллельно по- 2 —— току. На всей контрольной поверхности господствует одно и то же давление покоящейся жидкости, т. е. главный вектор сил давления равен нулю. Если пренебречь силой трения Рис. С9. Простейший эжектор на стенках смесительной трубы, то окал>ется, что сумма проекций на ось трубы всех сил в пределах контрольной поверхности 1 — 2 равна нулю, а следовательно,не должно быть изменения количества движения. Изменение количества движения у активной струи на участке 1 — 2 %1 (э>2 — э'>) . 42 ГЛ.

1. УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУЙКИ То же у жидкости, подсосанной из окружагощего пространства, где опа находилась в покое (ю = О): (С вЂ” С!) (,— О); суммарное иаменение количества движения Бди!2 — С!ьо! = О. Здесь 6„02 — секундные массовые расходы жидкости соответственно в сопле и на выходе из смесительной трубы, д!! и шд — значения скорости истечения из сопла и смесительной трубы. Отсюда получаем, что расходы жидкости в сопле и на выходе из смесительной трубы обратно пропорциональны величинам соответствующих скоростей ~2 ~1 Юз С другой стороны, очевидно, что 2 12 2 2 61 Р1ю1Р1 ' где р — плотность, Р— площадь сечения.

Сравнивая последние два выражения, приходим к следующей расчетной формуле: 2 2,Г Рзрз 01 = Г'ргрг Если плотность жидкости в активной струе и в окружающем пространстве одинакова, то отношение массовых расходов жидкости равно отношению диаметров смесительной трубы и сопла: П р и и е р 3. Вычислим силу, действующую на стенки диффузора (рис.

1.10) при отсутствии гидравлических потерь в потоке несжимаемой жидкости. Пусть давление и скорость в сечении 1 перед диффузором постоянны и равны р!, и!!, а в сечении 2 после диффузора также постоянны и равны рь юь Уравнение Бернулли, если нет потерь, дает ! ! 2 Рмт (ид'" )1+ 2 Дз+ 2 ! ! ! г х Из уравения неразрывности полу- чаем Рис. 1ИО. К расчету силы давления в диффузоре к!!д' ! = жди = Я! Р Проведем контрольную поверхность из поперечных сечений 1 и 2 и боковых поверхностей, расположенных паралчельно потоку и охватывающих днффузор.

Вследствие наклона стенок днффузора сумма проекций на продольную ось сил давления, приложенных от стенок к жидкости, не равна нулю (Рд Ф О). Сумма проекций всех сил на продольную ось, которая получается путем сложения силы Рд с силами давления на торцевые сечения, равна измене-. 43 $5.

УРАВНЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ нию количества движения Рл + Р1Р— Рзрз — — С(юз — 1а1). Производя замену величин л11 и рз с помощью уравнений неразрывности и Бернулли, приходим к следующему выражению для проекции на направление потока силы, действующей на поток от стенок диффузора: 61г ~Р— Р Рл "г(Рз г)+ 2 ~ Р ( ' Пусть внешнее давление — рч, тогда проекция на продольную ось силы внешнего давления на дуффузор Рв г = Р (,Рз — Р1). В итоге получаем следующее значение проекции на продольную ось результирующей силы, которая действует на стенки диффузора: 'л 'изв (Рг Рв)1Рз Рг)+ 2 ~ Р В частном случае, когда внешнее давление одинаково с давлением в узком сечении диффузора, зта сила равна Последнее выражение применяется иногда при вычислении силы, действующей на входной диффузор воздушно-реактивного двигателя.

Пример 4. Установим взаимосвязь между скоростью полета и скоростью истечения из прямоточного воздушно-реактивного двигателя, схема которого изображена на рис. 1Д1. Во входном участке двигателя происходит преобразование скоростного напора набегающего потока в давление, 1 1 1 1 ! 1 1 ! ь' Рис. 1.11. Схема прямоточного воздушно-реактивного двигателя: е — входное сечение, й — начальное сечение каиеры сгорания, 1а — конечное сечение камеры сгорания, а — выходное сечение сопла т. е.