Часть 1 (1161645), страница 5
Текст из файла (страница 5)
(34) Поэтому степень использования теплосодержания газа для получения ааданного значения скорости потока определяется отношением скорости потока к скорости звука в неподвижном газе: Т* — Т ме й.-1 т* Отсюда выводится новое выражение для максимальной скорости истечения (Т = 0): ,вГ 2 гргаах — а (35) Для воздуха (й = 1,4) получаем гр „= 2,24а*, ш~ = 3,16ае. ') Эта формула будет выведена в 1 1 гл.
1П. т. е. максимальная скорость истечения воздуха не может превосходить скорость звука в неподвижном воздухе более чем в 2,24 раза; при й = 1,2 максимальная скорость газа выше: 24 гл. ь тглвнкния глзовои динамики для стгхяки Можно тепловой перепад разделить не на полное теплосодержанне, а на теплосодержание в потоке; тогда получим Т* — т Р Т ЙЙТ 2 В этом случае скорость потока оказывается отнесенной н скорости звука в потоке, а не в неподвижном газе: Т* — Т Рз — ~ Т „г 2 (36) Отношение скорости потока к скорости звука в потоке принято называть числом Маха н обозначать буквой М: М = —.
(37) (40) Число Маха характеризует степень преобразования теплосодержания в кннетнческую энергию потока Т* — Т Ь вЂ” 1мг Т 2 Число Маха является основным критерием подобия (см. з 7 гл. 11) для газовых течений большой скорости. Если М(1, то течение газа называется дозвуковым, если М ) 1, то — сверхзвуковым. Из последнего выражения можно получить расчетную формулу для отношения температуры торможения к температуре в потоке как функцию числа Маха: Ть Т вЂ” — 1+ =,. М'.
Ь вЂ” 1 (38) Нетрудно видеть, что максимальное значение числа М (при Т = О) равно бесконечности. Этот факт объясняется тем, что при достижении максимальной скорости вместе с абсолютной температурой обращается в нуль и скорость звука. Поскольку скорость потока может быть нак выше, так и ниже скорости звука, существует и такой режим, когда скорость потока равна скорости'звука, т. е. М= 1. Этот режим называется критическим; ему соответствует значение температуры в потоке Тев Т з (39) В воздухе ()г = 1,4) критическая температура на 20 % ниже температуры торможения. Само значение скорости звука для критического режима отличается от такового для заторможенного газа, но также является вполне определенным: 2 3.
пРедельнАя скорость движения ГАЗА. числО махА 25 откуда (41) Для воздуха Л = 287,3, поэтому имеем а*= 20,1УТа, а„=18,32'Т"'. Отсюда с помощью равенства (40) получаем новую формулу для отношения температур в энергетически изолированном газовом течении: — = 1 — — А2. т А+1 (42) Здесь ~принято обозначение Х = —. кр (43) Величину А, измеряющую отношение скорости потока к критической скорости, будем называть приведенной скоростью. На критическом режиме (и = ю„р = а„„) А„= М„= 1. Максимальной скорости потока при Т = 0 соответствует определенное максимальное значение приведенной скорости 1/ Л+1 )Ш22 = У А — 1' (44) Для воздуха (й = 1,4) имеем А „= 2,45. Для случая а. = 1,2 соответственно А „,= 3,31.
Приведенная скорость, как и число М, может считаться критерием подобия для газовых течений, характеризующим степень преобразования теплосодержания в кинетическую энергию. Данному значению числа М соответствует совершенно определенное значение приведенной скорости. Найдем формулу перехода от числа М к приведенной скорости: 2 2 2 222 и и акра а 22 а а кр Откуда на основании (39), (40) н (42) получаем 2 2 М2 "+1 Л вЂ” 1 1 а+11 (45) Можно характеризовать степень преобразования теплосодержания в кинетическую энергию еще одним способом, поделив тепловой перепад па теплосодержание при критическом режиме: Т" — Т 12 — 1 22 А — 1 кр 1кр а2 кр 26 Гл.
1. уРАВнения ГА30ВОЙ динАмики для струнки или а+1 2 л= 1+",'М (46) пах Величину 5 Л = - ~) (47) ~шах Рис. 1.4. Зависипость приведенной скорости Л от числа м называют относительной скоростью газа. Зависимость отношения температуры в потоке к температуре торможения от относительной скорости выглядит так: — „= 1 — Ла. Покажем в заключение, что уравнению теплосодержания для энергетически изолированной струйки можно придать чисто кинематическую форму. Для этого запишем уравнение (24) в виде а и>" ~оптах срТ + — = 2 2 и затем умножим все его члены на величину Л1'с„ а ира с„ Л и Л ~ахах — ЛТ+ — — =— с„ с„2 с„2 Использовав выражения с, =йс„, Л = от — с.
и формулу для скорости звука (34), получим соотношение, связывающее текущие значения скорости течения и скорости звука с максимальной скоростью газа: — а +ю =ю.'ах. а а в — 1 (48) В газовой динамике и теории реактивных двигателей применяются оба безразмерных числа — Л и М. В одних случаях более простые соотношения получаются при использовании приведенной скорости, а в других — числа Маха.
На рис. 1.4 представлены кривые Л = 1(М) для случаев й = 1,4 и й = 1,2. Иногда масштабом скоростей служит максимальная скорость газа ю „„. В этих случаях безразмерное уравнение теплосодерз жания может быть представлено Л на основании (35) в следующем виде: Я т — т а т* =,а — Л'. в А. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ й 4. Механическая форма уравнения энергии (уравнение Бернулли) Выше мы подробно рассмотрели уравнение теплосодержания. Оно связывало температуру газа со скоростью движения с учетом энергетических воздействий (подвода тепла, техкической работы и изменением потенциальной энергии).
Такие факторы, как давление и плотность газа, в уравнение теплосодержания не входили. Можно получить иную (механическую) форму уравнения энергии, куда, наоборот, не входит температура газа, а скорость движения связана с давлением и плотностью. В дифференциальной форме уравнение энергии (5) может быть записано Б виде т(0 т((Р") е(Б ттт тр = атст + 11 2 + у Ыз. (49) Согласно первому закону термодинамики тепло, подводимое к газу, может расходоваться только на повышение внутренней энергии п работу расширения (деформации), т. е. <ф=б5+рй.
(50) Вычитая из уравнения (49) равенство (50), получим и' — — е(Б~Р = тт 2 + уды + т((РР) Рви. (51) Подставляя в (51) выражение удельного объема (и=(/р), получаем 2 +У + + (52) Р Выведенное уравнение носит название обобщенного уравнения Бернулли. Оно выражает скорость движения в функции давления и плотности газа с учетом производимой газом технической работы (Б), изменения потенциальной энергии д(зз — з1) и работы сил трения (Б„). В газовой динамике часто пользуются упрощенной формой уравнения Бернулли, соответствующей режиму, когда отсутствует техническая работа (Б = О), нет гидравлических потерь (Х„=О) и запас потенциальной энергии не изменяется (гт = г1).
Для этого режима уравнение Бернулли Это есть механическая форма уравнения энергии, или, что то же, уравнение живых сил для единичной струйки. После интегрирования будем иметь — + У (зт — з1) + 1 — + Бтр (53) 1 28 ГЛ 1. УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУЙКИ запишется в следующей форме: '+~ф =к 1 (54) Уравнение Бернулли нногда используется в несколько ином виде. Для этого интеграл разбивается на две части: 2 о 2 2 1 Нр Ыр йр вр йр (55) Тогда из (54) следует Р (56) В этом случае вычисление интегралов ведется каждый раз от абсолютного вакуума до давления, соответствующего заданной скорости потока. Постоянную этого уравнения можно получить, исходя пз того, что при расширении газа до абсолютного вакуума достигается максимальная скорость потока. Поэтому уравнению Бернулли можно придать следующий вид: о В тех случаях, когда плотность газа на участке 1 — 2 элементарной струйки остается практически постоянной, интеграл в уравнении Бернулли равен (57) ир р,— р, Р Р 1 п уравнение Бернулли выглядит особенно просто: р — р и — и Р 2 2 Р2 > М2 Р1 — т — = — + —.
р 2 р 2 (58) В такой форме оно применяется в гидравлике идеальной несжимаемой жидкости. Иногда уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости записывается так: 2 2 и, и Р2+Р и =Р1+Р и (59) 5 4. увлвнвние внгнулли В этом случае оно составлено для 1 мз жидкости. Кинетическую энергию 1 мз жидкости (рю'/2) называют скоростным капором. Если нельзя пренебречь технической работой, гидравлическими потерями и изменением потенциальной энергии, то обобщенное уравнение Бернулли для 1 нг несжимаемой жидкости имеет такой вид: и — ыд Р2 — Р1 — Л= ' '+д(з,— з,)+ ' '+Л,р. Р (60) ар Р Р В изобарическом процессе (постоянное давление) ~ —" =0. (62) Если осуществляется изотермический процесс (постоянная температура), то, согласно уравнению состояния газа (8), р!р = =ЛТ =сопз$, т.
е. давление прямо пропорционально плотности газа р = р~р!рь откуда 2 2 1 — = ~ — = ар Р~ Но Рз Рэ — — — = — 1п —, Р Р, 3 Р Р, Р, ' 1 1 (63) Предположим теперь, что состояние газа изменяется по идеальной адиабате — = сопз1; Р ь Посредством этого равенства можно вычислить, например, ра- боту, которую отдает жидкость колесу турбины (Ь>0), стоя- щему между сечениями 1 к 2, если все прочие члены этого урав- нения известны. Для того чтобы пользоваться уравнением Бернулли для сжи- маемого газа, нужно заранее знать термодинамичесний процесс изменения состояния газа, так как без этого неизвестна зависи- мость плотности газа от давления н нельзя взять интеграл ар — выражающий работу проталкивания.
Вычислим этот пн- Р' 1 теграл для основных термодинамических,процессов. При изохорическом процессе (постоянный удельный объем, т. е. постоянная плотность), типичном для гидравлики капель- ных жидкостей, нак уже указывалось, зо Гл. 1. уРАВнзния ГАЭОВОЙ динлмики для струнки тогда и, следовательно, ,фь Р Р 1 ер ь Ж'-1 (64) р1м А — 1Р 1 1 Наконец, в политропическом процессе с постоянным показателем политропы (и = сопз1) р!р' = сопз$ получим (65) и — к 2 2 + к Р, (66) А — 1 Р 1 ') См. нкз1е, 2 7. Следует отметить, что подводимое к газу тепло непосредственно не отражено в уравнении Бернулли.
Однако оно учитывается при вычислению интеграла, так как влияет на вид функции Р= 7(р), т. е. на характер процесса, по которому изменяется состояние газа. Наибольшее значение в газовой динамике имеет идеальнь1й адиабатический процесс, который предполагает отсутствие теплового воздействия и работы сил трения. По этой причине прп идеальной адиабате энтропия') газа остается неизменной, т. е. такой процесс является идеальным термодпнампческим — иэоэнтропическил1 — процессом. Напомним, что далеко не всякий адиабатический процесс является идеальным.
Например, прп выводе уравнения теплосодержания,мы показали, что наличие трения не нарушает адиабатичности процесса, но процесс с трением уже не может быть идеальным, так как он протекает с увеличением энтропии. Иначе говоря, адиабатичность процесса требует только отсутствия теплообмена с внешней средой, а не постоянства энтропии. Таким образом, адиабатичность совмещается с постоянством энтропии только в идеальном процессе. Кслн изменением потенциальной энергии можно пренебречь (21 — 22) и нет технической работы (5 =0), а процесс является идеально адиабатическнм, то уравнение Бернулли на основании (54) и (64) имеет следующий 1вид: 3 4.
УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ Можно оценивать потери и по разности полных давлении: Лри =р,— р, =(1 — о)р,. (76) На применении уравнения Бернулли основан пневматическни способ определения скорости потока, который состоит в том, что в поток вводится насадок (рис. 1.5), состоящий ие двух трубок. Открытое отверстие одной из этих трубок (1) размещается в носовой части насадка (перпендикулярно к потоку), а отверстия второй трубки (2) расположены в боковой поверхности насадка (вдоль потока); прн дозвуковой скорости замедление струи газа от встречи с насадком проходит без каких-либо потерь, так как трение и внхреобразование возникают уже на боковой поверхности насадка, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
