Часть 1 (1161645), страница 3
Текст из файла (страница 3)
На основании уравнения неразрывности (3) по расположению линий тока в несжимаемой среде можно судить о скорости движения. В местах сгущения линий тока скорость растет; если лилии тока раздвигаются, то скорость падает. При движении газа не всегда можно непосредственно по расположению линий тока определить невменение скорости, так как изменения плотности газа могут быть значительными. В газе, как нетрудно видеть из уравнения неразрывности (2), картина линий тока однозначно определяет изменение 5 Х УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ плотности тока представляющей собой произведение плотности газа на скорость, т.
е. массовый расход газа через единицу площади поперечного сечения. В местах сгущения линий тока плотность тока увеличивается, а в местах расхождения линий тока — убывает. Уравнение постоянства расхода газа С = рюГ = сопз2 можно представить также в дифференциальной форме НС = рйЫГ+ юР йр+ рог)ы. Поделив почленно это соотношение на р2ог', получим Н6 Ыы Нр Нà — + 6 ж (4) и ' А' 5 2.
Уравнение энергии Следуя первому началу термодинамики (закону сохранения энергии), составим баланс энергии в неподвижной системе координат (рис. 1.1), т, е. рассмотрим преобразование энергии в одной и той же массе газа, заполнявшей вначале объем 1 — 2, а через бесконечно малый промежуток времени дт переместив- шейся в положение 1' — 2'. Приращение любого вида энергии равно разности количеств этого вида энергии в положениях 1' — 2' и 1 — 2. Ввиду того, что заштрихованный объем 1' — 2 является общим для этих Уравнение неразрывностп, так же как и уравнение энергии, выводимое в З 2 для единичной струйки, широко применяется при расчете газопроводов, гидравлических и энергетичеоких каналов и трубопроводов, реактивных двигателей п различных аппаратов, в которых происходит движение газа или жидкости. В этих случаях под единичной струйкой понимается не часть общего течения, ограниченная поверхностью тока малого сечения, а весь поток жидкости или газа, и используется следующая гидравлическая модель.
В каждом поперечном сечении скорость течения относительно стенок п параметры, описывающие свойства среды (давление, температура, плотность и др.), считаются постоянными и равными соответствующим средним значениям, для определения которых существуют специальные методы (см. гл. Ъ', Э 8). Изменения средних величин скорости п параметров среды от сечения к сечению в такой ~модели подчиняются одномерным уравнениям «условной» единичной струйки, анализу свойств которой посвящена гл. 1. 44 Гл, г. уРАВнения ГАЗОВОЙ динАмики для струнки двух положений, энергия массы газа, заполняющей объем 1' — 2, при вычитании сокращается '), и приращение энергии измеряется разностью количеств энергии в бесконечно малых объемах 2 — 2 и 1 — 1.
Отсюда следует, что приращенпе кинетической энергии равно 2 2 здесь НС вЂ” массовый расход газа через поперечное сечение струйки за время дт. Приращение потенциальной энергии (знершги положения) С(Еи = Я(З2 — З~) НС, где гз и з1 — высоты расположения (нивелирные уровни) сечений 2 и 1, я — ускорение силы тяжести. Приращение внутренней (тепловой) энергии ИЕ, = ((12 — У1) ЫС, где (1 = с„Т вЂ” тепловая энергия единицы массы газа (произведение теплоемкостн,при постоянном объеме на абсолютную температуру). Если теплоемкость газа в сечениях 1 и 2 одинакова, то прирост внутренней энергии равен (К, = С (тз — т,) аС. На основания выделенной части струйки газа действуют направленные внутрь н по нормали к ним внешние силы давления р.
При перемещении газа внешние силы давления производят работу. Например, перенос газа из сечения 1 в сечение 1' происходит как бы под действием поршня площадью г1 с давлением рь Работа поршня за время г(т равна Рг ргг ги7фт = — Ы6. Рг Точно так же можно представить себе, что давление рг на сечение 2 осуществляется поршнем площадью гз. За время дт газ переместит поршень в положение 2, производя отрицательную работу — рзг" шздт = — †' СИ. Р, Силы давления, действующие на боковую поверхность струйки (поверхность тока), никакой работы не производят, так как они нормальны к траекториям движения частиц газа.
Таким образом, энергия, внесенная силами давления, равна разности ') Движение газа предполагается, как и в предыдущем параграфе, установившимся, 2 х УРАВнение энергии между работами поршня 1 и поршня 2: вв. — ( — '- '*) вв. К газовой струйке на участке 1 — 2 может быть за время дт подведено тепло в количестве ЫИт. Далее газовая струйка за время Ыт может произвести техническую работу И, например, приводя во вращение колесо турбины, установленное между сечениями 1 и 2.
Наконец, следует учесть энергию, расходуемую газом за,время дт на преодоление сил трения й„. Согласно первому началу термодинамики подведенные к газу тепловая энергия и работа сил давления расходуются на совершение технической работы, работы сил трения, а также на повышение запасов потенциальной, внутренней и кинетической энергии: = й+ Жтр+2(22 — зв) ЫС+(Св — Сг) ЫС+ ~ ЫСв Разделив все члены полученного выражения на дС, приходим к уравнению энергии для единицы массы (1 кг) хаза С + — ' — — ' = Ь + Ь,р + д (г, — 2,) + С'2 — С, + ' '. (5) Здесь введены обозначения: Ч=ЫИ'ЯС вЂ” тепло, подводимое к 1 кг газа на участке 1 — 2, Ь =й/стС вЂ” техническая работа, совершаемая $ кг газа на том же участке, Ь,в =с)в„/стС вЂ” работа сил трения, приходящаяся на 1 кг газа.
Приток тепла в общем случае осуществляется двумя способами: извне (С„р) за счет теплообмена через боковую поверхность струйки, изнутри (С„) за счет преобразования в тепло работы трения. Таким образом, (6) (3 = 0ввр + Рвв. Вторая часть теплового потока, очевидно, в точности равна энергии, расходуемой газом на совершение работы трения: Овв 1'тр (7) Из термодинамики известно уравнение состояния совершенного таза рв = 12Т, (8) где Л вЂ” газовая постоянная, а удельный объем газа и есть 16 ГЛ.
1. УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУЙКИ величина, обратная плотности: и = 1/р. Отсюда — = ЛТ. Р Р (9) Кроме того, известно соотношение, связывающее теплоемкость при постоянном объеме (с„) и тенлоемкость при постоянном давлении (ср): с, = с.+Л. (10) Введем в рассмотрение теплосодержание (или знтальпию) газа, т. е. произведение теплоемкости при постоянном давлении на абсолютную температуру 1= СРТ. (11) Тогда соотношение (10) примет несколько иной вид 1 = (1'+ ВТ, или, на основании (9), 1 = 21'+ —.
Р Р (12) (13) Используя выражения (6), (7) и (13), можно придать уравнению энергии следующую форму: 2 2 0 р — Х =а(22 — з,)+ '2 '+1,— 1, (14) ц> — 1Ю 2 2 2 1 аснар — Т' — 2 + 12 11 (15) При отсутствии технической работы и теплообмена с окружающей средой, т. е. в случае энергетически изолированного процесса в газе, имеем 2 (16) Уравнение энергии (14) иногда называют также уравнением теплосодержания. Существенно то обстоятельство, что уравнение теплосодержания ~не содержит работы трения. В самом деле, поскольку энергия, расходуемая на преодоление трения или любого другого вида сопротивления, преобразуется полностью в тепло, а последнее остается в газовой струе, наличие сил трения не может нарушить общий баланс энергии, а лишь приводит к преобразованию одного вида энергии в другой.
Обычно в технике приходится иметь дело с частными формами уравнения теплосодержания. Так, в большинстве случаев изменение потенциальной энергии пренебрежимо мало в сравнении с другими частями уравнения энергии, и членом д(22 — г1) пренебрегают. Тогда уравнение теплосодержания имеет следующий вид: б . ргавнкник зннргии 17 В частности, уравнение (16) определяет движение газа по трубе, если нет теплопередачи через стенки. Согласно сказанному это уравнение справедливо вне зависимости от того, учитываются или нет силы трения.
Иначе говоря, изменение теплосодержання (температуры) в энергетически изолированном процессе связано только с изменением скорости. Если скорость газа не меняется, то остается постоянной и температура. Отсутствие влияния сил трения можно объяснить следующам образом. Под действием трения давление вдоль трубы падает, т. е. газ расширяется, н, следовательно, температура должна была бы уменьшаться. Однако работа сил трения преобразуется в тепло; п так как работа сил трения в точности равна теплу, подведенному за счет этой работы, то подогрев компенсирует охлаждение. Вдоль трубы постоянного сечения под влиянием спл трения температура газа в дозвуковом течении даже убывает.
Происходит это потому, что падение давления сопровождается уменьшением плотности газа, а плотность тока остается неизменной: у = 6!Р = рю = соней Поэтому скорость газа возрастает, и температура в соответствии с уравнением (16) понпжаетсн. При малой скорости движения температура изменяется только за счет теплообмена или в тех местах, где газ проходит через турбину (расходует энергию, Е, > О) или через компрессор (получает энергию, Ук(0). Если изменением скорости и теплообменом можно пренебречь, то уравнение теплосодержания принимает следующую форму: 12 1! = (17) Иначе говоря, измененпе теплосодержання газа при этом равно механической работе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
