Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений, страница 100

непрерывность температуры в скачке уплотнения, обусловлена тем, что тепловой поток предпочагается пропорциональным градиенту температуры. В третьем разделе этой главы при рассмотрении лучистого теплообмена во фронте ударной волны мы увидим, что если не делать такого предположения, то виачения температуры также будут иметь разрыв. 24в СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЪ|Х ВОЛН В ГАЗАХ 1гл. Уп компонентов одинаковы и постоянны в пространстве. В области фронта, где имеются градиенты, концентрации изменяются. Подобно вязкости и теплопроводности, диффузия представляет собой необратимый молекулярный перенос массы определенного компонента (вязкость переносит импульс, а теплопроводность — внутреннюю энергию) и является одним из источников дкссипации механической энергии.

Диффузионный поток определяется следующим образом. Пусть в бинарной смеси газов массовая концентрация одного из компонентов, скажем, легкого, с массой молекул т1, равна а. Концентрация второго, тнжелого, компонента с массой молекУл птз (тз ) т1) есть 1 — а *). Благодаря диффузии одного газа относительно другого газы обладают различными макроскопическими скоростями. Обозначим их через и1 и из. Если й — плотность смеси, то полный поток первой компоненты есть оаи„а поток второй р (1 — а) ззт. Макроскопическая нли гидродинамическая скорость смеси и определяется так, чтобы полный поток массы газа был равен ои (и — импульс единицы массы). Таким образом, оы = = йаи, + о (1 — и) тзт или ы=ои1+ (1 — а) из.

В рамках гидродинамики идеальной жидкости скорости обоих компонентов смеси совпадают и равны и. Потоки компонентов равны раи и () (1 — а) и. В следующем приближении в гидродинамической теории появляются вязкость, теплопроводность и диффузия (в смеси). Диффузионным потоком з называется разность между полкым и гидродянамическим потоками одного, скажем, первого компонента, з = оии1 — оаи = оа (и1 — ы). Полный поток первого компонента равен сумме гидродинамического и диффузионного оаи + 1. Полный поток второго компонента, очевидно, равен р (1 — и) и = р (1 — а) и+ о (1 — а) (ыз — и) = й (1 — а) и — з. Диффузионные потони обоих компонентов в бинарной смеси равны по величине и противоположны по направлению.

Как уже отмечалось выше, диффузия возникает, когда в газе имеются градиенты концентрации, давления и температуры **). В одномерном случае градиенты величин равны производным по х, а вектор з имеет одну, х-ю компоненту, которую будем обозначать просто через 1. Диффузионный поток равен (см. (1)) 1= — ОР[ + — ----+ — — — ) . ~ 11п "Р ер х ег~ ех р йх Т Ых ) (7.15) Здесь Р— коаффнциент диффузии, йРР— коэффициент бародиффузии, )ттР— коэффициент термодиффузии.

Безразмерная величина йр определяется чисто термодинамическими свойствами смеси и равна [1) е**) 1ср--(тз — т1) а(1 — и) ( 1 — "-)- —" ) )' (7.15) ") Массовая ковцеятрацкп а равна массе первого, легкого комповевта з одном грамме смеси. Волк числа молекул з одном грамме смеси есть Л1 к Хз (Л11+Л'з = Л), то а = Л'1т1, 1 — и = й' тз. Молпрвые ковцектрзцкв равны Ф1 а Л1з 1 — а Л' Л1Щ1 ' т У2 з*) Состояние бинарной смеси характеризуется тремя термодввзмкческкмк велячкнзмк: концентрацией к какими-лкбо двумя кз трех величин: температурой, давлением в плотностью.

Прк изучении диффузии з качестве яезавксимых переменвых удобно выбрать давлепме к температуру. ***) В отсутствке вязкого переноса импульса (см. ниже). **ее) Величину хр проще всего вывестк, рзссмзтркзап разновеске бвкзряой смеси в поле силы тяжести прп постоянной температуре. В равновесном состонвкп числа З7З дггеюузия в винлгнон смвси глзов При тз т, /ср» 0 и бародиффузионный поток легкого компонента направлен в сторону понижения давления. Поток, связанный с градиентом концентрации также направлен в сторону понижения концентрации.

Термодиффузионный поток легкого компонента для большинства смесей направлен в сторону повышения температуры (прн тз > тг /гт ( О). В отличие от величины йю величина /гт, называемая термодиффузионным отношением, зависит не только от концентраций компонентов (при а = — 0 или 1 /гт= 0) и масс молекул, но и от закона взаимодействия молекул. Величина /гр определяется чисто термодкнамическими свойствами газа, так как в поле внешних сил термодинамическое равновесие возможно и при наличии градиента давления, Если существует градиент температуры, то состояние уже является неравновесным.

Если между молекулами действуют только силы отталкивания, меняющиеся по закону 1/г", то прн и ) 5, что обычно и имеет место, /гт ( 0: легкий газ стремится в сторону повышения температуры. Прн я 5, что встречается редко, легкий газ стремится в сторону понижения температуры (к случаю и ( 5 относится кулоновский закон взаимодействия заряженных частиц, п = 2). При и = 5 термоднффузии нет: йт = О. Обычно при сравнимых относительных градиентах г/р/р, ЧТ/Т роль термодиффуэии невелика по сравнению с ролью бародиффузии. Подробнее о термодиффузии см.

)19). С диффузионным потоком связан дополнительный необратимый поток энергии д, который пропорционален диффузионному потону й (см. (11). Работа В. Жданова, Ю. Кагана и А. Сазыкина (19а), вносит существенные коррективы в изложенные выше классические представления о диффузии. В атой работе выражение для диффузионного потока выводится из кинетического уравнения при помощи так называемого приближения «13 моментов» Града. Это приближение обладает рядом преимуществ по сравнению с методом Чэпмена — Энскога, на основе которого получается выражение (7.15), всякий раз, когда приходится принимать во внимание высшие приближения в разложении функции распределения.

Оказывается, что выражение (7.15) для диффузионного потока справедливо только в отсутствие нязкого переноса импульса в газе. В условиях, когда существует вязкий перенос импульса (т. е. градиент скорости), выражение (7.15) следует дополнить членами, пропорциональными силам вязкости.

Несмотря на то, что эти силы определяются производными второго порядка от макроскопических величин (от скорости), они могут иметь тот же порядок малости, что и члены, пропорциональные первым производным, сна>кем, член с градиентом давления. Например, в случае чисто вязкого установившегося течения, когда ускорений нет, градиент давления просто уравновешивается силами вязкости. При неустановившемся течении учет сил вязкости в выражении для диффузионного потока фактически вносит в это выражение члены, пропорциональньге ускорениям газа.

В случае чисто вязкого течения замена силы вязкости уравновешивающим ее градиентом давления приводит к изменению постоянной баро- диффузии й по сравнению с чисто термодинамическим значением (7.16). Постоянная бародиффузии в вязком потоке уже не является величиной молекул з ( емз пг н пз по формуле Больцмзна пропорциональны пг — ехр ( — т, яз/пТ), пз ехр ( — тзуз/ИТ), где Х вЂ” усноренне силы тяжести, з — высота.

Поскольку днффузнонзый поток з равновесии равен нулю, Ноак + (зр/р) О/р/Ыз) =- О. Воспоньзозазюнсь связью между концентрацней а н числами частиц пм пз н замечая, по д = (и, + пз) /гТ, найдем отсюда ярнзеденную формулу дзя йю 374 СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ (ГЛ. У11 термодинамической; она зависит от характера взаимодействия молекул между собою. Постоянная бародиффузии даже может стать при некоторых условиях отрицательной (в случае, если молекулярные веса компонентов отличаются друг от друга очень мало, а эффективные сечения молекул различаются сильно). При учете вязкого переноса импульса меняется в термодиффузионное отношение йт. й 5.

Диффузия в ударной волне, распространяющейся по бинарной смеси Рис. 7ДО. Профили давления, плотностей тЯжелого (Оа) и легкого (О1) компонентов и концентрации легкого компонента (а) в ударной волне, распространяющейся по бинарной смеси гааов, ") Зто следует из условия стационарности полного потока легкого компонента в системе координат, связанной с фронтом. Приближенно Эгао — — А1ас«/~М, откуда д1 = О11 ехр( — во ~в~/)а).