С.К. Годунов - Уравнения математической физики, страница 14

Наоборот, знание этих четырех производных позволяет вычислить производные по любому направлению, в том числе и по нормали к кривой. Поэтому мы и поставим перед собой задачу; зная вдоль кривой у вектор-функцию и, найти в точках этой кривой производди ди д1 ' дх ' 78 вводная чисть ~гл ~ Вычисление этих производных мы будем производить в точке (хм (и), используя из нашего знания функции и лишь значение дифференциала Ви, отвечающего смещению пх, Й вдоль кривой. Запишем Пи с помощью частных производных от и: с д1 — дх г ° п( — '+ ~(х — ' = Ии,. В этих равенствах подчеркнуты известные нам дифференциалы, определяющие смещение вдоль у. Объединяя эти два равенства с двумя первоначальными урав- нениями системы, мы приходим к четырем линейным уравнениям ди, ди1 ди, дии с четырьмя неизвестными— д~ ' дх' д~ ' дх' ди1 дии ди1 ди.„ Ам д, +Ам д +Вм дх +В,г дх Ж вЂ” + Ах-— д», ди~ д1 дх =ди, 1 ди, дЕ +их д =иию ди ди В матричной форме уравнения для —., — пишутся так: Ао Ам В,1 Вм Ам Ам Вм Вм Ш О дх О О а О дх Ае( () д~ В Линии (задаваемые дифференциалами смещения Ах, й), вдоль которых ое(~(„, дх (,=-О, Иейез Е мы обозначили единичную матрицу.

Из этих уравнений искомые производные могут быть определены, если только определитель бе(!)А ' (~й Для системы второго порядка ХАРАКТЕРИСТИКИ % 6! называются характеристиками системы Пусть теперь у нас кривая у является характеристикой. Несмотря на то, что определитель равен нулю, система (2) имеет решение, так как мы предполагаем, что в О существует решение системы (!), принимающее на у заданные там значения. Это означает, что ранг расширенной матрицы ! А В ((т Е дхЕ Ыи! равен рангу вырожденной матрицы !) Ф Е дх Е )) ди ди коэффициентов при неизвестных д) ' дх' Следовательно, вектор с(и вдоль характеристик не может быть произвольным. Он должен удовлетворять соотношению: Это соотношение и является соотношением на характеристике, записанным в матричной форме *).

Для того чтобы проиллюстрировать понятия характеристик и соотношений на них, мы рассмотрим уже знакомый нам пример системы, описывающей звуковые волны, с да 1 др — -+ — — =О, д! ра дх Вот ее матричная форма: (О !д Р! ~ ( г )д*() (О)' *) Линейно независимых линейных уравнений, связывающих ди, й, дх н вытекающих из этой матричной формы, может быть больше, чем одно, если Ранг ((ш, Е Г ( вДоль хаРактеРистик меньше ее Ранга пРи пРоизвольных т, их иа 2, 3 или на еще большее число. !гл. ! Вводнхя члсть Система уравнений (2) запишется в этом примере так: О О 1 Ро О 1 рос„'О ит О их О О сп О с!х др Уравнение характеристик = с(х' — с' с(!о = (с(х — со с(!) (с(х+ с, с(!) = О. Таким образом, в качестве характеристик мы получили линии, задаваелоые уравнениями о(х = с, с(1, т.

е. прямые х ~ со! = сопл(. Это как раз те линии, которые мы решили назвать характеристиками в предыдущем параграфе. Перейдем теперь к получению соотношений на характеристиках для рассматриваемой системы. Нам надо, чтобы ранг матрицы ! ΠΠ— — О 1 Ро О ! Р„с3 О О ит О дх О ни О ит О дх др равнялся (вдоль характеристики) рангу матрицы, составленной нз се первых четырех столбцов.

Определитель этой последней равен нулю. Поэтому должен быть равен нулю определитель матрицы, составленной из произвольных четырех столбцов. Например, 1 О О О О 1 р,с,' О ит О дх ди О ит О ар = с(х с(р+ росло с(и с(! = О. дх Мы видим, что вдоль характеристик — =с, выполнено соотнод! о шение со!((с(р+росос(и сИ=О или, что то же самое, с((и+ р ' =О.

Росс/ 1 О О ! Ро О ! Рр! О д! О Их О О и! О Ых ди д! др д( ди дх др дх хлихктегнстикР! дх Вдоль характеристик — = — с, аналогично получаем соотношедг ние х)(и — — ) =О. Мы показали, что для системы уравнений расу1 пространения звуковых волн данное нами общее определение характеристик и соотношений на них приводит к фактам, которые были выведены в предыдущем параграфе. Рассмотрим еще пример системы уравнений Коши — Римана с в — — =О, ди ди — + — — = О.

ду дх В матричной форме она записывается так: ~О З)-дх(и)+(А О) д-,(и)=~ Раскроем характеристический определитель этой системы — ! о о = Йхх+ Пух. ду о о о дх О ду О ух О Мы видим, что система Коши — Римана не имеет вещественных характеристик (они определяются равенствами Ну.=:и ~ г~х). Системы, у которых все характеристики вещественны, при некоторых дополнительных ограничениях называются гиперболическими. Изучая постановку задачи Коши для гиперболических систем, мы обычно будем предполагать, что начальные данные задаются на некотором отрезке оси х (при г= О).

В качестве таких начальных данных задаются начальные значения всех неизвестных функций. При этом мы будем предполагать, что ось х не является характеристикой, т. е. что при любых начальных значениях и(х, 0) мы можем, в силу системы, определить производные по 1. Так как система пишется в виде Л +В д~ дх или, если обозначить Л-'В =С, А-'~=у, ди ди -д,- + С д„ = а. то это означает, что на отрезке задания начальных данных не равен нулю определитель бе)~~А!)~0.

В этом случае система может быть переписана так: дг +А-'В -д — —— А-'~ 82 )гл г вводнля чхсть Как правило, мы с самого начала будем предполагать сне~ему заданной в такой форме. Уравнение характеристик для системы в такой форме упрощается. Действительно, для системы порядка и бе((( . „, (=г(("Йе( ~ ~Ь .

= дГ дх ( ги = ( — ()л гул бе( ~, 'С вЂ” — Е ~. дГ = ггг' бе( Поэтому характеристиками являются линии, удовлетворяющие уравнениям дх ги - — =яг(х, г'), в которых наклоны характеристик яг вычисляются как характеристические корни матрицы С: г)е( )) С вЂ” йЕ )р Такого рода системы, у которых коэффициенты зависят от решения (но не от его производных), называются квазилинейными, В этом случае характеристики зависят от того, какое решение рассматривается. Линия, являющаяся характеристикой для одного решения, для другого характеристикой не является. В качестве примера такой квазнлинейной системы можно привести известные из механики сплошных сред уравнения движения баротропного газа: ( ди + ди р' (р) др дГ дх р дх дГ +и ) — +Р -)- — — О, др др ди р = р(р) — уравнение состояния.

Если все корни много уравнения вещественны и не явлгиопгся кратными ни в одной гпочке расслгатриваемои обласгпи, гпо мьс будем называть эту систему гиперболической в области. В дальнейшем мы увидим, что некоторые (не все) системы с кратными характеристическими корнями й тоже следует причислить к классу гиперболических, так как они обладают одинаковыми с ними свойствами. Сделаем еще одно замечание. Приведенное нами определение характеристик дословно переносится на системы вида А (х, й и) — ". +В(х, г, и) — "- =Г*(х, г, и). хАРАктеристики < и — = и+Ур' (р)~ др дх — — 'г' р' (р).

др Перейдем теперь к случаю, когда число независимых переменных больше, чем два. Мы разберем описание понятия характеристик в тнпичнол: случае, когда таких переменных три (х, у, (). При этом описании мы будем интересоваться только самим уравнением характеристик, а соотношений на ней выписывать не будем.

(Описание, которое мы дадим для случая трех переменных, может быть дословно перенесено я на уже разобранный случай двух пеземенных.) Итак, пусть нам дана система и уравнений с и неизвестными функциями, Мы ее запишем в векторной форме А дт +В д +Сд — с(х, У, (, и). ди ди ди Пусть нам известно, что эта система имеет гладкое решение в некоторой области б пространства (х, у, ().

Предположим, что мы знаем это решение на некоторой поверхности 5, лежащей в 6, и нам хочется воспользоваться этим знанием, чтобы определить решение и вне Я, хотя бы в некоторой окрестности этой поверхности, т. е. решить задачу Коши для рассматриваемой системы. Давайте еще сузим стоящую перед нами задачу. Ограничимся только отысканием производных от неизвестных по нормали к Я в некоторой точке (х,, у,, (е) этой поверхности. (Для этого достаточно найти производные по какому-либо направлению, не касательному к поверхности.) Пусть уравнение поверхности Я пишется в виде ср(х, у, () =О, где игас) ср~О. Рассмотрим, кроме ср= — ср(х, у, () еще две какие-либо функции а=а(х, у, (), р=р (х, у, (), подчиненные только условию сра сри тс ал сея ссс чьО р ра Вс в некоторой окрестности точки (х„у„(а) поверхности 5. Систему функций ср=ср(х, у, (), а=а(х, у, (), () =й(х, у, () 3 а да ч а. Покажите, что для этой системы уравнения характеристик н соотношения на ннх записываются в виде [гл.

1 ВВоднАЯ чАсть можно рассматривать как некоторую новую систему координат. Если #=а(х, у, !)=2[х(гр, а, р), у(ар, а, р), !(!р, а, р))= = а (ар, са, р), то Я„, аа являются производными по направлениям, касательным к 5, а а — производная по некоторому не касательному к 5 направлению. Запишем нашу систему в новых координатах (- — А+дчВ+дРС')д +(д А+диВ+д — С') ! + д! дх ду / д!г ! д! дх ду / ди (Я очень рекомендую при разборе этого материала, наряду с матричным выводом, провести выкладку в покомпонентной форме на примере системы второго или третьего порядка.) ди Для разрешимости этой системы относительно — при любых да! ди ди ди ' дй ' — --, / надо, чтобы определить Мы видим, что это условие только для поверхности 5!! р(х, у, !) =О) и никак не связано с выбором вспомогательных координатных функций а, !з.