С.К. Годунов - Уравнения математической физики

С. К. Годунов УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ Допуитено Министерством еипиего и среднего специального образованил СССР в качестве учебного пособия для студентов физико-математическик специальностей универс кетов Е) МОСКВА «НАУКА ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ЛИТЕРАТУРЫ !979 92ДВ1.5 Г59 УДК 5!7 Уравнения математической физики. Годунов Гь К. Иад. 2-е, исправл.

и дополн. Наука, Главная редакция физико-математической литературы.— М., 1979, 392 с. Ю Глазики редвкиав 4н»нко-математическое литературы ввдательства «Наука», уетр, с ивмеиеиивмн. Г 5-79, 1702050000 20203 — 038 053(02)-79 Книга содержит изложение курса лекций, которые автор читал в Московском и Новосибирском университетах. Направленность книги свяаана с интересами автора в области приложений дифференциальных уравнений к механике сплошных сред и с рааработками численных методов решения этих уравнений. Во втором каданик (1-е издание выходило з 1971 г.) основной переработке подверглась теория симметрических гиперболических систем.

В частности,наложена теорема существования решений у диссипативнок смешанной задачи в случае двух пространственных и одной временяой переменных. Книга представляет интерес как для студентов, иаучающих курс уравнений математической фиаики, так и для лиц, специализирующихся в области приложений ураввений в частных производных и численных методов их решения. Илл. 71. Бкбл. 12. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Глава Д Вводная часть 4 1. Ньютоновский потенциал Несколько предварительных замечаний о характере уравнений, которые будут изучаться в курсе. Исторические замечания о работах Лапласа, приведших его к уравнению для потенциала тяготения. Потенциал непрерывного распределения масс Фили зарядов).

Его непрерынность и непрерывная дифференцпруемость. Потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона. Убывание потенциала на бесконечности. З 2. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге Првнцнп максимума для гармоничесиих функций н теорема единственности для убывающего на бесконечности ньютоновского потенциала. Понятие о логарнб.мическом потенциале на плоскости. Аналитические н гармонические функции двух переменных. Некоторые специальные решения уравнения Лапласа и эвристический вывод формулы Г!уассона для определения гарман ической в круге функции по ее граничным значениям Различные варианты записи этой формулы и неноторые свойства ядра. Обоснованна Формулы Пуассона для решения уравнения Лапласа. Постановка задачи и теорема единственности решении задачи Дирихле.

Существование решения вытекает из обоснования Формулы Пуассона. 28 З 3. Уравнение теплопроводности Вывод уравнения теплопровадности. Задача Дирихле «ак задача определения стационарного распределения температуры по заданной температуре границы области. Постановка задач для одномерного уравнения теплапроводности Принцип максимума для этого уравнения, теореыы единственности задач ! и 2 для уравнения теплопроводнасти при различных предположениях о решении и о начальной функпни.

41 сх 4 Уравнение теплопроводности (прополи!ение) формула Пуассоне для уравнения теплопроводности и ее обоснование. Решение с помощью интеграле Пуассона простейшей задачи длн уравнения теплопроводности на конечном отрезке. Решение смешанной задачи. Нестрогий эвристическмй вывод интегральной формулы длв решения уравнения теплопроволности. примеры частнмх решений линейного и нелинейного уравнений теплопроводности. ОГЛАВЛЕНИЕ З 5.

Гнперболнческне уравнения 57 Простейшме прммеры гяперболическнх уравнений с частными производными. дн дн — 1 — =О, уравнения дл» звуковых волн. Задача Коши для этик уравнений дт дх н ее решение с помощью карактеристик. Гиперболическое уравнение второго порядка. Формула Даламбера. Интеграл энергии для звуковых волн, дока. аательство единственности решения, основанное на использовании интеграла энергии. Смешанная задача и построение ее решений. Расширение системы уравнений включением в нее уравнений для производных.

Интегралы энергии в смешанной задаче н теорема единственности. Интегральные оценки производных. Операторная точка зрения. Понятие о пополнении функциональных пространств, элементами которых являются мачальные данные и решения. 5 6. Характеристики 76 Определение характеристик дла общей системы уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными.

Соотношения на карактернстикзх. Комплексные характеристики уравнений Коши — Римана. Определение характе. ристик в случае большего числа независимых переменных. Определение ьгиперболическай системы первого порядка. симметрические г-гиперболические системы первого порядка. Пример — уравнения для звуковых волн Инвариантность понятия характеристик относительно невырожденных преобразований искомых функций и замены уравнений эквивалентными линейными комбинациями. Конус характеристических нормалей.

Определение характеристик для одного уравнения второго передка. Постановка задачи Коши для такого уравнения. Примеры. Определение эллиптической системы н эллиптического уравнения. б 7. Метод Фурье Схема метода Фурье для уравнения Лапласа и его обоснование.Метод Фурье для гиперболической системы уравнений акустики. Представление решений в виде суммы стоячих волн. Пересказ вводной главы нз работы Римана, посвященной истории метода Фурье.

Ортогональность собственных вектор- функций и вычисление коэффициентов Фурье. 6 8. Корректность 109 Связь между корнями характеристического уравнения и свойствами коратиих вали. Пример Адамара. Понятие а каррентно и некорректна поставленных задачах, Некорректная задача для уравнения теплопроводностн. Замеча. ния о предмете курса уравнений математической физики. Пример неиорректно поставленной смешанной задачи для волнового уравнения и для уравнений акустики.

б 9. Свойства функций, удонлетяоряющнх интегральным нераненствам ! 15 Оценка максимума и модуля непрерывности функции по интегралам от ее квадрата и квадрата ее производных. Непрерывность в среднем». Свойства функций из функциональных пространств, введенных в 1 Б. Что надо понимать пад выполнением граничных условий и удовлетворевием начальных дан. ных Две теоремы, которые имеете с теоремой Арцела приводят к критериям компактности. $10. Обобщенные решения 126 Обобщенное решение для уравиеивй акустики. Связь определения обобщея. аопз решения с законами сохранения. Понятие обобщеиногп рещевия для ОГЛАВЛЕНИЕ ди ди пр остейшего гиперболического уравмеиия — + — =О.

Обобщенное решение д! дх «ак предел гладкнк решений. Определение С. Л. Саеюлева. Эквивалентность этого определенна нлассическому на гладких решенмяк. Уточнение опреде. пения. Теорема единственности. Теорема существования. Замечание об удовлетворении начального условия. Обобщенное решение в пространстве функций непрерывных по ! «в среднем». 140 Галла Г!. Гиперболические уравнения 140 й 11. Интеграл энергии Приведение к каноническому виду гиперболической системы с двумя иезависвмымн перемениымм в окрестности точки. Римановы инварианты, Неоднозначность их определения, Канонический внд — частный случай симметри.

ческой па Фридриксу смстемы. Специальная форма симметрической системы с постоянной матрицей коэффицвентов при производных по к. Тождество интеграл энергии» для гладких решений симметрвчесних г-гиперболических систем. Пример: закон сохранения энергии для уравнений акустики. Интеграл энергии для волнового уравнения. Лемма об интегральном неравенстве. й 13.

Условие неотрнцательностн квадратичной формы, связанной с интегралом энергии !62 Конус векторов, связанных с неотрицательно определенными квадратнчиымн формами интеграла энергии Его выпуклость. Способ вы ~ислеггия границы этого конуса. Неравенство т+н00 П))0 и определение Н)1, П). Однородность и вытенающее из нее равенство Енй+чн =н. примеры: гипергюлическая система с двумя независимыми переменными г, ! в канонической форме и уравнения ~сории упругости.

Замечание о случае переменных ноэффициентов. 4 14. Уравнение Гамильтона — Якоби Неравенство н уравнение Гамильтона — Якоби. Схематичесиое описание приема интегрирования этого уравнения. Бихарактеристикв и канонические уравнения Гамильтона для их построения. Конус «арантеристических нормалей для уравнений акустики и уравнения Гамильтона — Якоби для этой системм. Описание областей единственности для нее. Конус характеристик в конус характеристических нормалей. Пример: уравнения акустики !68 у 15. Постановка смешанной задачи для гиперболической системы .... !80 Обсуждение )иа примере) постановки граничных условий для гиперболической системы.

Число условий, иоторое нада задавать ив той или иной границе для однозначной разрешимости задачи. Условия согласования начальных даннык и граничнык условий (на примере). Диссипативные граничные условия. Воз можность такого приведения гиперболической системы к маноническому виду, б 12. Теорема единственности н оценки решений гиперболических систем 153 Использование интеграла энергии для оценок решений симметрических гипер. болнчесних систем. Оценки проводятся в области полупространства !)В, ограниченной сверху некоторой «шапочкой», о которой известно, что по ней поверхностный интеграл энергии неотрицателен. Как проверить это условие, пака не выясняется. Теорема единственности для рассматриваемых областей.

Получение оценок лля производных путем применения изучаемой технмки к расширенным системам, включающим уравнения для оцениваемых производных. Расширение уравнений акустики. ОГЛАВЛЕНИЕ чтобы грзявчные условия стали дксснпатнвнымн. Смешанная задача для урзвнеявй акустики в двумерном пространстве н ее прнведенне к днсснпа. тканому энду. Постановка смешанной эвдачк с диссипативными граннчнымн уславнямя. Оценка бешенна в теорема единственности. Расширение свстемм уравнений н гранячных условий зздачя. Получение оценок прокзвадных. Обзор оценок решений для свмметрнчных гиперболических систем.

Условня согласования начальных данных н гранячных условий. Непрерывная зависимость решений от условнй задачи. Панятне об обратимых задачах. Прнмеры нсследовзняя постановок гранкчных условий для гиперболических систем. б !7. Критерии компактности сеточных функций....., .. Сеточные функцян н прзвялв ях янтерполяцнн — рзспростравенкя на всю область, покрытую сеткой. Оценки «вадратвчных внтегралов ат проннтерпо. лкрованвых функций через сеточные суммы. Применение нрктерня компактности, Дифференцнруемость пределов н оценк» непрерыаностн пределов н нх правзводных.