С.К. Годунов - Уравнения математической физики, страница 10

Тогда для д($) получится обыкновенное дифференци- х альное уравнение второго порядка. Мы Рис. в. пойдем немного другим путем. Воспользовавшись остроумным приемом Л. И. Седова, мы сумеем для д($) получить уравнение не второго, а первого порядка. Этот прием был предложен Л. И. Седовым не для уравнения теплопроводности, а для решения одной задачи газовой динамики. 1 с х ИЗ раВЕНСтВа и (Х, 1) ==асс=1 СЛЕдуЕт, ЧтО ИНтЕГраЛ ыУс ы Си(х, 1) дх=С ~ дД) с($ ырс Ь не зависит от 1. Иными словами, количество тепла, заключенное между любыми двумя параболами х=$,)с с, х=чо)Г1 (рис. 8), не зависит от времени.

Закон сохранения энергии (тепла) записывается в виде Си с(х+ К д" с(1 = О. (Интеграл берется по любому замкнутому контуру.) Мы уже отмечали, что это равенство эквивалентно уравнению теплопроводности. 5 4! уРАВне!н!е теплопРОВОднОсти 4НРОдолжение! которое без труда интегрируется разделением переменных: ед с — = — — $6 2К с, й(Р А 4 Для и(х, 1) мы приходим к формуле с ' и(х, !) = =е 1! Постоянную А определим из условия, в силу которого полное количество тепла нам задано, +со + С ос — 4 и(х, 04(х=-А ! е 4к 44(= = А2) К ' „,„А 2)К +со Отсюда А =ЯЯ21'КСЛ) и, следовательно, см и(х 1) е 4к! 2)'КСн~ Непосредственным дифференцированием можно убедиться, что заданная этой формулой функция и(х, () удовлетворяет уравнению теплопроводности, а качественное ее исследование показывает, что при 1 — 4-0 и и(х, О-~-0 при любом фиксированном +со ху= О.

С другой стороны, ~ и(х, () 4(х не зависит от ! и равен с --,. Таким образом, можно считать, что построенное нами решение удовлетворяет поставленным условиям. Ясно, что сумма решений С (с — с!)4 ! тоже будет решением, отвечающим выделению при ! =О энергий Я! в точках х=х!. Если в момент 1 = 0 нам задано начальное распределение температуры и (х, 0) =4р(х), то его можно аппроксимировать выделением энергий 4р(х!) Пх! в точках х4(Ьх! — интервал достаточно мелкого разбиения оси х, содержащий точку х,). Соответствующее ~гл.

« ВводнАя чАсть решение будет аппроксимироваться суммой С(к — К )« к и 2 РкКСл~ ! Если теперь формально перейти к пределу при Лх,«-0, получится интегральная формула 4 2 1~'КСл~ законность которой была продемонстрирована ранее. Там, правда, мы для простоты считали, что К=С=1. В заключение рассмотрим один интересный класс решений уравнения теплопроводности. Это — решения, имеющие вид бегущей волны стационарной формы, распространяющейся с постоянной скоростью: и=((х — шг). Подставим эту формулу в уравнение и получим для )($) обыкновенное дифференциальное уравнение — Сш(' = (К)')'. рис.

9 Это линейное уравнение с постоянными коэффициентами может быть без труда проинтегрировано св Г(Г)=А+Ви к-' св и(х, г) = А+Ве График этого решения в некоторый фиксированный момент времени имеет вид, изображенный на рис. 9. Постоянная А представляет собой температуру среды «на бесконечностик, т. е. там, куда тепло еще не дошло. Решениями такого вида описывается, например, прогрев вещества, по которому со скоростью ш распространяется вправо детонационная волна, где реакция поддерживает постоянную температуру 1 (х — ш() ~к-ии-о = пи (х = ш( — уравнение движения детонационной волны). Температуру на бесконечности обозначим и .

Определив постоянные А, В, мы З 41 уРАВссение теплопРОВОдности спРОдолжение! вв получим следующую формулу для температуры в зоне прогрева: С<в и(х, 1) =и +(и,— и )е Из формулы видно, что толщина зоны прогрева тем меньше, чем больше скорость ис. Зто понятно: тепло не успевает далеко распространиться от источника нагрева за то время, пока источник (детонационная волна) его ие догонит. Интересно, что получение решений вида и=1(х — ис() может быть сведено к квадратурам даже в случае нелинейного уравнения теплопроводности дЕ (и) д ~ ди1 При этом мы получаем для 1 обыкновенное уравнение которое можно один раз проинтегрировать: исЕ (1) + К (1) 1' = А = соп51.

Полученное уравнение первого порядка интегрируется так: Разберем в качестве примера уравнение вида ди д С ,„ диЛ вЂ” = - — сс" -- , ас ) 1. дс дх ( дх1' (2) с($ = — ' — с(1, 1 = — тис (ь — $и), 1($) =р — тм4 (положили $,=0), с . <)-РьъТы — *с. "Рафик этого решения для некоторого фиксированного 1 и для ~аких х, что Ы вЂ” х)0, изображен на рис. 1О. Таким образом, К такого рода уравнениям приводятся уравнения фильтрации жидкости в пористых средах (т = 1) и уравнения лучистой теплопроводности в средах, нагретых до температуры звезд, т.

е. до температур порядка десятков миллионов градусов. Положим постоянную интегрирования А равной нулю. Мы буделс иметь 1гл. 1 вводнля члсть функция и ,(х, 1)= 1 7:*1 Р * — /(О. О при х — Ы)О является гладкой функцией и удовлетворяет нашему уравнению всюду, кроме прямой х=Ы. На этой прямой и,(х, 1) не имеет даже первых производных (при т=1 есть односторонние производные справа и слева, но они различны). Как мы уже отмечали, для правильного описания физического процесса важно не столько выполнение дифференциального уравнения теплопроводностн, сколько выполнение соотношения Си с(х+К вЂ” И=О по любому кусочно гладкому контуру.

Для ди дх нашего уравнения это равенство имеет вид и бх+ и'" — й = О. (3) При выводе уравнения теплопроводности именно подобное соотношение и бралось за основу, так как оно выражает закон сохрарт Рис. 11. Рис. 1О. пения энергии. Нетрудно проверить, что для гладких функций выполнение соотношения (3) для любого кусочно гладкого контура и справедливость уравнения (2) эквивалентны (это следует из формулы Грина, примененной к интегралу (3)). Однако для функций, имеющих где-либо разрывы или разрывы производных, более естественно за определение решения брать равенство (3). Такие функции называются обобщенными решениями уравнения (2), и мы остановимся подробнее на этом важном понятии и на его строгой математической постановке позднее, на примере гиперболических уравнений. Читателю рекомендуется проверить выполнение равенства (3) для функции и,(х, 1).

Достаточно ограничиться лишь контуром Р,Р,Р,Р„показанным на рис. 11. Проверка равенства по любому другому кусочно гладкому контуру проводится таким же образом с цебольшими техническими усложнениями. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ й з! Чтобы показать, какие подводные камни могут встретиться при рассмотрении негладких решений, рассмотрим функцию 1 и („!) х +' при х)0, О при х(0, внешне очень похожую на рассмотренную функцию и, (х, !).

Легко проверить, что она также удовлетворяет уравнению (2) всюду, кроме оси х=О. Тем не менее функция и, уже не будет обобщенным решением этого уравнения — она не удовлетворяет соотношению (3). Для того чтобы убедиться в этом, возьмем контур АВСОА, изображенный на рис. 12. Интеграл по АО равен нулю. Легко видеть, что интегралы по АВ и по СО стремятся к нулю при е — «-О, но а ь „, диз (' ди, и С(Х + и"' — ' БГ! = ( ит — — - 'С(! = дх ,! з дх в т 1 и ' 3 — 1 = (! — ! ) е'и-г1 — е"1+1 = з 1 ~,0 т+1 т+ ! при е- О. Рис. !2.

Физически рассматриваемое решение и, (х, !) описывает распределение температур при наличии в точке х = 0 оттока тепла постоянной мощности. На этом мы заканчиваем краткий обзор основных фактов, связанных с уравнением теплопроводности. $ 5. Гиперболические уравнения В предыдущих параграфах мы уже ознакомились с некоторыми типичными примерами задач, которые математическая физика ставит в терминах уравнений с частными производными. Здесь мы продолжим рассмотрение таких примеров, Простейшие примеры гиперболических уравнений с частными производными ди ди — + — — =О, уравнения для звуковых волн. Задача Коши длн этих уравнед1 дх ннй и ее решение с помощью характеристик Гиперболическое уравнение второго порядка. формула зхаламбера. Интеграл энергии для звуковых волн.

доказательство единственности решения, основанное на использовании интегра та энергии. Смешанная задача и построение ее решений. Расширение системы уравнений включением в нее уравнений для производных. Интегралы энергии в смешанной задаче и теорема единственности. Интегральные оценки производных. Операторная точка зрения, Понятие о пополнении функциональных пространств, элементами которых являются начальные данные и решения. 58 1гл « вводная члсть Остановимся сначала на простейшем из уравнений с частными производными, а именно на уравнении ди ди — ~+ — =О. д1 дх = ' Чтобы получить формулу его общего решения, проделаем следующее построение, известное из курса обыкновенных дифференциальных уравнений. Нарисуем на плоскости (х, 1) прямые линии, вдоль которых дх д« вЂ” =1 (рис.