С.К. Годунов - Уравнения математической физики, страница 13

Определив 1(г), д(г) при 0 =. г - 1, мь. продолжим их на все г так, чтобы 1(г) = — а( — г), 1(1 — 2) = — ст(1+2). Нетрудно убедиться, что ес,чн ~(0)+д(0)=0, ~(1)+д(1)=0, то такое продолжение возможно и единственно. Действительно, если мы знаем 11(г), ст(г) при 0(г(1, то формулы 1 ( — 2) = — й(2), — 1(2) =Я( — 2) позволяют определить эти функции при — 1== г(0. Равенство ~(0)+д(0) =0 обеспечивает совпадение значений при 2=0 до и после продолжения.

Теперь продолжим 1(г), д(г) на всю прямую периодическими функциями с периодом 21: 1(г + 21) = 1(г), д (г + 21) = й (г). Возможность такого непрерывного продолжения обеспечивается равенствами 1 (1) .=-1 ( — 1), д (1) =- д ( — 1), которые выводятся из условия ~(1)+д(1) =0 и из построения 1( — 1).= — — п(1), 11( — 1) = = — ) (1). Мы будем предполагать, что продолженные на всю ось г функции 1(г), д(г) непрерывны и имеют непрерывные пер- вые и вторые производные. зада ч а.

проверьте, что для этого начальные данные и !! е — — ср, р ', „=!р должны иметь непрерывные первые и вторые производные при О ( х (1, улов. летворяющие следующим соотношениям: р(в)=о, м(б=о, р (о)= р'(О=о, р (о)=р (!)=о. Построенное решение будет, очевидно, иметь непрерывные по х и по 1 первые и вторые частные производные. !ГЛ 1 вводная меть Дифференцируя уравнения и граничные условия ди 1 др — + — — =о, д! Ро дх д! +ро4 д =О, др ди и(0, () =и(Х, () =0 по времени 0 нетрудно установить, что производные иь р, тоже удовлетворяют аналогичной системе ди! 1 дро — + — — =О, д! р, дх др!, ди, —,+р;,— =О, и граничным условиям и,(0, 1)=и,((, ()=О. Пользуясь исходными уравнениями, можно иь р, выразить через и„, р„и убедиться, что эти последние удовлетворяют следующим уравнениям и условиям на границе: ! др + 1 д(РМи„) =О, д! Ро дх д (Р„'с)их) и дрх О +росо д рх(О, ()=р.((, ()=О ~' [ и' (х, 0 ро (х, 0 1 „ ~ [ и' (х, О) ро(х, 0) 1 Роо3 ю о 1 + ~ р(0, () и(0, ()Ш вЂ” ~ р(1, ().

и ((, 1) г)(= о о ! — Яро + 1"' о из которого следует, что нулевым начальным данным оР(х) =-О, ф(х) =0 отвечает нулевое решение. — система, которая состоит из исходных уравнений и из полученных уравнений для производных иь р„и, р, носит название расширенной системы уравнений. Такие системы широко используются при изучении свойств решений и будут играть важную роль в дальнейшем. Для доказательства единственности решения смешанной задачи при наших граничных условиях и (О, 1) =и(Е, () =0 опять л!ожно воспользоваться интегралом энергии Э 51 П1ПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 73 п рименяя тождество интеграла для решений и, р; р, ос' ! Рс) Р Росои.р той же системы, удовлетворяющих начальным данным < и,(0, !)= — — Р„(0, ()= — — рр'(х), р,(0, ()=лр'(х), 1 1 р,(0, ()= — р,сои„(0, !) = — РРСоср'(х), осои (0' 1) Рососр (х)' мы придем к равенствам о ."1 =~~" Г ' и! (х.

С) Рр! (х О) Р ((р)с (х)!' Рооро [Р, + р < Бсх= ( + ' ' [ср'(х))'~ с(х, моор Р„ (х, С) Росои: (х, 0 ) Г ( (РР' (х)!' Я4 [ Ро 2 + 2 '(х = Ро + (ср (х)) ) '(Х позволяющим, вместе с интегралом энергии для исходной системы, оценить через интегралы ! ~ ср' (х) с(х, ~ фо (х) Их, ~ (ср')о с(х, ~ (л)1')о с(х о о о о от функций, задающих начальные данные. Рассматривая решения смешанной задачи на интервале врелсени 0 < ( = Т, нетрудно интегрированием тождества интеграла энергии по ( получить равенства: ) [Ро 2 + ор,ор Р (х )) их и! = 7 ) [Ро — + р ~ с(х о 2роолр т с с [р, "",*" р — ', р 1*, рс)р рр-рчс ср рр 1 р р!р '*"ср Ероор т с с Е'"""+ь 1" = и'"""+'~;."", ° о о а ~ и'(х, () с(х, о ! ~ р'(х, () с(х, о ! ') иср(х, () с(х, о '1 р! )(х, () с(х, о ~ и! (х, () с(х, о ! '1 р„"(х, () с(х о 74 сгл. с вводнля члсть с помощью которых оцениваются тс тс ~ (и'(х, с)с(хс(с, ~ ~ис(х, с)с(хс(с, оо оо т с тс ~ [ ро (х, () с(х с(с, ~ ~ рс (х, с) с(х с(7, тс ~ ~ и„'(х, () с(хс(с, оо т с ~ ~ р,о (х, с) с(х с(с.

оо оа оо Чакого рода оценки будут в дальнейшем положены в основу изучения свойств решений гиперболических систем. Конечно, интегральные тождества для производных только по аналогии могут называться интегралами энергии, но такое наименование для них установилось н мы будем им пользоваться. Оказывается удобной следующая операторная точка зрения. Мы можем считать, что система уравнений до + ) др 0 дС Ро дх дЛ .до +Роса дх - 0 с граничнылш условиями и(О, С) =-сс(с, С) =0 определяет оператор Р, сопоставляющий начальным данным ср(х), ф(х) (О-.=х=-. () решение и (х, С), р (х, С) (О = х:-- (, 0 -.=.= С ( Т) Будем рассматривать начальные данные со(х), ф(х) как вектор функционального пространства Ф с нормой /с /! ~ = 1сс $ [ср' (х) + сро (х) + [со' (х)]' + [ф' (х)]о[ с(х, о а решение и(х, С), р(х, С) как вектор пространства (с' с нормой ..

~ ~ [и'(х, с)+р'(х, С)+ис (х, С)+сс'„'(л, С)+ Г, '.' а Ъ + р', (Л, С) + р„-' (Х, С) 'С С(Х сс'С + с с + шах ф/ ~[и'(х, с)+ро(х, О+и,'(х, с)+р,'(х, ()]с(х. о<с< т о Полученные с помощью интегралов энергии оценки могут быть записаны в виде неравенства ГИПЕРБОЛИЧЕГКИЕ УРАВНЕНИЯ с постоянной М, выражающейся через рм с„Т, а это неравенство можно понимать как оценку 11Й!1~М для нормы оператора )х, осуществляющего отображение Мы определим это отображение для достаточно гладких дважды непрерывно дифференцнруемых элементов (ср(х), ф(х)) пространства Ф, удовлетворяющих условиям согласования ~р(0)=0, ф'(0)=0, юр" (0)=0, р()) =О, р'(() =О, <р" ()) =О. В функциональном анализе принято различать пространства полные и неполные.

В полном пространстве для каждой фундаментальной последовательности можно указать элемент того же пространства, к которому эта последовательность сходится. Пространство Ф, если в него включать только дважды непрерывно дифференцируемые ср(х), ф(х), полным не является, так как из сходимости по 11 !1,Р нельзя сделать никаких заключений о сходимости вторых производных ~", ф" — они в норму не входят. Нетрудно построить пример фундаментальной по 11 !1,Р последовательности, состоящей из пар (ф„(х), Ар„(х)1 дважды дифференцируемых функций, сходящейся (по 11 11,Р) к паре ~ср(х) = — ( — — х(, ф(х) =0~, у которой ~р(х), очевидно, не имеют даже первой производной при к = О.

Построение такой последовательности составляет стандартное упражнение по математическому анализу и мы не будем на нем останавливаться. Неполнота пространства начальных данных Ф, состоящего из дважды непрерывно дифференцируемых ср (х), ф (х), и соответствующего пространства гладких решений (), усложняет построение теории, так как не позволяет, построив фундаментальную последовательность приближенных или точных решений с гладкими начальными данными из Ф, утверждать, что предел такой последовательности удовлетворяет начальным условиям из Ф и лежит в У.

Однако это затруднение можно преодолеть, если включить в пространства Ф, У пределы всех возможных фундаментальных последовательностей гладких элементов из этих пространств. Такое включение в метрическое пространство идеальных элементов (пределов фундаментальных последовательностей) носит название пополнения пространства. 7б ~гл г вводная часть Хорошо известным примером пополнения является расширение множества рациональных чисел до множества всех действительных чисел. С аккуратным изложением теории пополнения метрического пространства можно познакомиться по учебникам ~3), ~4).

Рассмотренный выше ограниченный оператор )с, дающий решение изучавшейся смешанной задачи, можно распространить на пополнение множества начальных данных из Ф; после этого он будет отображать элементы этого пополнения в пополнение множества гладких решений, лежащих в 77. Так построенным элементам пополненного У присваивается название обобшенных решений. Этими замечаниями мы закончим сейчас наше беглое знакомство с точкой зрения, основанной на сопоставлении дифференциальным уравнениям операторов в функциональных пространствах, отображаюгцих элементы пространства начальных данных (или граничных условий) в элементы пространства решений. 5 6.

Характеристики Определение характеристик для общей системы уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными. Соотношения на характеристиках. Комплексные характеристики уравнений Коши — Римана. Определение характери. стик в случае большего числа независимых переменных. Определение Ьгиперболической системы первого порядка. Силгметрические Ьгиперболические систсхгы первого порядка. Приьгер — уравнения для звуковых волн. Инвариант- ность понятии характеристик относительно невырожденных преобразований искомых функций и замены уравнений эквивалентными линейными коыбинапнями.

Конус характеристических нормалей. Определение характеристик для одного уравнения второго порядка. Постановка задачи Коши для такого уравнения. Прньгерьь Определение эллиптической системы и эллиптичесного уравпения. Примеры, разобранные в предыдущем параграфе, подвели нас к понятию характеристик, хотя определения этого понятия мы и не давали. Этот параграф мы посвятим характеристикам, описав соображения, приводящие к этому понятию в трех типичных случаях. Понятие характеристик для уравнений и систем более общего вида по существу ничем не отличается от разбираемых ниже примеров. В разных примерах мы даем разное аналитическое оформление рассуждений, приводящих к определению характеристик, чтобы в дальнейшем облегчить читателю использование различных литературных источников. Начнем описание характеристик в случае произвольной линейной системы с двумя независимыми переменными х, 7.

ХАРАКТЕРИСТИКИ 6 6] 77 Пусть изучаемая нами система имеет вид А„(х, () — "'(-А>6(х, 7) — '+Вм(х, 7) — '+В„(х, 7) дх >'(х' ~) Иногда мы будем записывать эту систему в матричной форме ди ди А — + — =(, д~ дх обозначая Применяя матричную запись, мы, конечно, можем яе ограничиваться случаем двух уравнений с двумя неизвестными функциями. Векторы и, 7 можно предполагать и-мерными.

Матрицы должны иметь при этом размер п>сп. Пусть нам известно, что рассматриваемая система имеет гладкое решение в некоторой области В>. Выберем в этой области тачку (х„, 16) и проведем через эту точку кривую у. Вектор бесконечно малого смещения вдоль этой кривой из точки (х„1„) будем обозначать (с(х, иг). Предположим, что нам почему-либо известны значения и влоль кривой у и что мы хотим по этим значениям и по уравнениям системы восстановить и в некоторой окрестности у. Залача нахождения решения системы в окрестности кривой у по значениям этого решения на кривой называется задачей Кои>и для системы, Давайте еще сузим стоящую перел нами задачу, а именно ограничимся попыткой найти у вектор-функции и = .= (и„и,) лишь производные по нормали к кривой у в точке (х„(6), лежащей на этой кривой, Заметим, что так как и,, и, вдоль кривой известны, а следовательно, известны производные от них вдоль кривой, то знание нормальных производных позволяет нам вычислить производные по любому направлению, в том числе и все производные ди> ди, ди> ди, д1' дх' д1' дх в точках кривой.