С.К. Годунов - Уравнения математической физики, страница 12

апта перемещается без искажения влево, опять-таки со скоростью звука с,. Подберем функнии ), д так, чтобы решение, даваемое полученными выше формулами, удовлетворяло начальным данным: и(х, 0) =и !, о=ор(х), р(х, 0) =р',,=ф(х), заданным на отрезке х, х(хо. Очевидно, достаточно положить: ( (х) -1- я (х) уР (х) ( (х) — р (х) 2 ' посо 2 Отсюда ((е) =Р(е)+ — „, й(е) =Р(е)- — „„, оР (х) ор (х) ! и+ ' = Р( — .()+"(х,"", и — — = ГР (х + со~)— р ~Р (х+ со!) Рвсо Ро о Теперь нетрудно получить формулы сР (х — со0+ ог (х+ со0 у) (х — со!) — ур (х+соО 2 2росо в) (х — со!) +уй (х+ со!) оР (х — соΠ— ср (х+со() р= 2 + Росе дающие решение так называемой задачи Коши для уравнений акустики.

3 а д а ч а К о ш и для системы (1) ставится так: требуется найти решение системы (1) ло заданным начальным данным и:, „= ср (х), р ',.=, = уй (х). Приведенные выше рассуждения позволяют обосновать как существование, так и единственность решения задачи Коши внутри характеристического треугольника. Часто вместо системы уравнений первого порядка ! ди 1 др — + — — =О, д( Ро дх рассматривают уравнение второго порядка для давления р двр мр дЕ, о дхо — — с'„— = 0 3 С. К.

Годунов 66 вводнхя чхсть (гл ! которое получается, если первое уравнение системы продифференцировать по х, а второе по с, а затем исключить из них смедои шанную производную †„ . Это уравнение второго порядка обычно называется уравнением малых колебаний струны, так как такой же вид имеет уравнение, описывающее колебания натянутых нитей — струн. Именно в связи с исследованием колебаний струн оно и появилось впервые в математических исследованиях.

Это уравнение может быть переписано в следующей форме: ( — „— с, — ) ( — + с, — - ~) р = О. Обозначив через д выражение — + с — -, мы приходим к системе др др д( о дх первого порядка, эквивалентной этому уравнению, < др др д +сод =Ч до дч Второе из уравнений системы имеет общее реп~ение д = 6 (х+ сос) = 2сод' (х+ со~) (В дальнейшем нам будет удобно второе обозначение произвольной гладкой функции б через производную некоторой другой функции д.) Уравнение для р др др д( + Со д. = 2еон (Х+ Со') может быть переписано теперь так: д(р — е(х+сосй д(р — е(с+со()1 =0 д( +с о дх что позволяет выписать его общее решение р — у (х+со() =1(х — со(), р(х, () =) (х — с,()+д(х+с,с).

Последняя формула, по-видимому, впервые была найдена Лаламбером (1747 г.). В 1748 году Эйлер выразил (, д через значения при (=О функций р(х, (), р,(х, (): р(х, 0)=ср(х), р~(х, 0)=ф(х). (2) Это привело его к формуле к -(- соо ~р (х+соО+у (х — су) ! 2со ат ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ которую часто тоже называют формулой Даламбера, несмотря на то, что Даламбер считал ее незаконной. Однако название установилось, и мы будем его придерживаться. Эта формула дает решение задачи Коши для уравнения — — сь — = О.

Для зтого уравнения второго порядка задача дкр с дср др дхк Коши ставится так: требуется найпш решение, удовлетворяю- и!ее начальным данным (2). Чтобы получить формулу решения задачи Коши, мы должны функции г, у в представлении общего решения р (х, !) =) (х — сс1)+у(хс+ сь4) определить из условий ((х)+у(х) = р(х, О) = Гр(х), — сс)' (х) + ссд' (х) = р,(х, О) = ф (х). Продифференцировав первое равенство, приходим к системе урав- нений для производных )', д', которая решается так: 1 (х) = ч! (х) — 2 ф (х), 1, 1 2с ()+2 1, ! Интегрируем зти равенства: !' (х) = — ! (х) — — ~ ф (с) йБ+ а, к, у(х) — —,р(х)+ — ~ Г(5) $+Ь.

к„ Здесь х„— произвольная точка из области задания начальных данных, а и Ь вЂ” постоянные интегрирования. Однако зги постоянные ие независимы. Из равенства ~(х)+у(х) =ср(х) заключаем, что Ь = — а. Итак: р (х, 1) = ! (х — с„!) + д (х + с,!) = к — се к к+си с+ са сс(х+гс1)-(-сс(х — сс!) + 1 2 2сс к-ссс Формула решения задачи Коши обоснована. ба вводнля чисть Мы уже показывали, что для системы 11) существование и единственность решения задачи Коши могут быть получены при выводе явных формул решения. Однако обычно для доказательства теоремы единственности пользуются соображениями, связанными с законом сохранения энергии. Покажем, как провести доказательство, основанное на этих соображениях.

Помножим первое из уравнений системы ди 1 др — + — — =О, д~ ра дх на множитель р,и, а второе — на множитель —. Сложив резуль- Р Рсс) ' таты, придем к тождеству ~~( 2 2р1с, ')) дри Из этого тождества следует, что по любому кусочно гладкому замкнутому контуру $ (р,",'+,',)1х+ри 11=О. Это интегральное равенство носит название закона сохранения энергии для гладких решений уравнений распространения звука. Чтобы пояснить название «закон сохранения энергии», применим наше интегральное тождество к прямоугольному контуру АВС1эА, изображенному на рис. 22.

Мы получаем равенство о с ) (Р 2 + 2 ) "х= (Р~ 2 + 2,, ) "х+ ) Р" ссс — ') Риис. о Х и в в и' В этом равенстве ~ р, — с1х изображает кинетическую энергию 2 газа, заключенного при х,~х(х., в начальный момент в рс — с1х — потенциальная энергия сжатия этого газа. Интеграл 2рос3 о ) цЯ р3 (р, — + — ~с1х — полная энергия в момент времени г', Раз 2рсс3 ) о о с ность ~ рис1с — ~ рис1с представляет собой работу, совершенную л в над газом за интервал времени (1м 1~), 69 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ После этих пояснений должно быть понятно, почему наше интегральное тождество естественно называть законом сохранения энергии (или интегралом энергии). Покажем теперь, как закон сохранения энергии можно использовать при доказательстве теоремы единственности.

Будем задавать начальные данные и(, ю = юр(х), р(, ю = юр(х) на отрезке АВ (хл(х~х,) оси х при (=О. Единственность Рис. 23. Рис. 22. решения мы будем доказывать (рис. 23) внутри характеристического треугольника АВС, ограниченного слева и справа характеристиками АС(х — сюю =х,) и ВС(х+сюл =х,). Пересечем этот треугольник отрезком Р(С прямой (=(„а затем к контуру АВАР применим интегральную форму закона сохранения энергии: (Рю — ",'+,р,',ю ) = ~ (Рю -",-+,р',ю А Р о ) '((Р~ 2 + 2 ) с(х Р" ю(л1 + ') ((Р 2 + 2 ) "х Р™1. А в Рассмотрим подробнее интеграл 'л"ак как этот интеграл берется вдоль характеристики х — сю( = = СОПБ(, тО Ю(Х=СБЖ, а СЛЕДОВатЕЛЬНО, ЕГО МОЖНО ЗаПИСатЬ ЕЩЕ так: ((ю, ~ Ю.

ю", ) ц юю — ю а) = ю, ~ (, — — ')' а ~ ю. Мы доказали неотрицательность интеграла по отрезку характеристики АР, Аналогично, пользуясь вдоль РЯ равенством 70 вводи»я чАсть с(х = — с,с((, можно убедиться в том, что е о ~ ~(р~ 2 + 2, ) Нх — Ри Ю~ = — 2" ~ (и+ — ) с((( О.

в Из доказанных неравенств и из интегрального тождества закона сохранения энергии вытекает: в ~ (р, — +, ) с(х.-- ~ (р, — + ~, ) дх. й А Если при (=О мы имеем р=О, и=-О, то а следовательно, иа РЯ величины и, р тоже должны равняться нулю. Этим самым мы доказали, что нулевые начальные данные на основании характеристического треугольника с яеобходимостью влекут за собой равенство я =О, р= О всюду внутри него.

Теперь легко получить доказательство собственно теоремы единственности. Если ии р, так же, как и иэ, р„являются решениями нашей линейной системы, удовлетворяющими на отрезке АВ одним и тем же начальным данным, то их разность и, — ин р, — рс тоже является решением той же системы с нулевыми начальными данными. Согласно доказанному выше и, — и, =О, р, — райЂ = 0 всюду внутри характеристического треугольника. Теорема единственности доказана. Иногда для уравнений акустики приходится решать не задачу Коши, а так называемую смешанную задачу, которая состоит в разыскании решения в области 0 сх((, (~0 по начальным данным н(х, О) = — ~р(х), р(х, 0) =1(. (х) О.

х -( причем треб)ется, чтобы это решение на границах об1астн х=О, х =( удовлсгворяло некоторым дополнительным граничным условиям. Например, можно потребовать, чтобы эти дополнительные ) словня состояли в равенствах и (О, () = О, и ((, () = О. Так поставленная задача связана с изучением колебаний газа между неподвижными стенками х = О, х = Е Решение поставленной здесь смешанной задачи должно иметь вид ) (х — ссг)+я (х+сс0 2 р=рссэ .

ГНПВРВОЛ1П1ГСКИГ УРАВНЕНПЯ где функции 1', йс определяются через начальные значения и ~1 „= = ф(х); р !1,=тр(х) формулами 1 (2) = тР (2) + —, и (2) = тР (2) — —. Эти формулы определяют 1(г), д(г) лишь при 0(г~1, что дает возможность построить решение внутри характеристического треугольника х — с,1)0, к+с,1 ==1. Чтобы построить решение всюду внутри полосы 0 ( х (1 и чтобы добиться выполнения граничных условий и =-0 при к=О, 1, мы воспользуемся искусственным приемом продолжения начальных данных на всю ось х. Аналогичным приемом л1ы уже пользовались прп решении одной из задач для уравнения теплопроводности.