С.К. Годунов - Уравнения математической физики, страница 9

Мы видим, что так построенная функция и (х, () решает в области А ( х ~ В, 1> 0 задачу 2 с начальными данными вводная часть [гл. г и (х, 0) = ~р (х) и граничными условиями и (А, 1) = фз (1) = О, и (В, 1) =~3>в(1) =О. Если ~р(А) =у(В) =О, то граничные и начальные данные согласованы и существует непрерывное решение, единственность которого была нами доказана.

Доказательство единственности решения в случае несогласованных начальных данных было предложено в ~ 3 в качестве задачи. Доказательство существования в задаче 2 при произвольных непрерывных фа(1), фв(1) сводится к применению формулы Пуассона искусственным приемом, который мы опишем. Ре|нение У (х, 1), построенное интегралом Пуассона по начальной функции ( 0 при $>0, ср(Е)=1 — з)дпла=1 '1 2 при $<0, и рассматриваемое в квадранте х > О, 1> О, будет непрерывно всюду, кроме начала координат.

При этом У(0, 1) =1, если 1>0, а при х>0 1- 0 функция У(х, 8) непрерывна вместе со своими производными любого порядка. Как У(х, 1), так и все ее производные обращаются при 1=-0, х>0 в нуль (свойство 5 формулы Пуассона). Ясно, что если теперь положить У (х, 1) =0 для 1<0, х)0, то мы получим ограниченную У(х, 1), непрерывную вместе со всеми своими производными всюду при х>0, — со<1<+со, за исключением начала координат, и принимающую при х=о значения ( 1 при 1>0, и(0, 1)=1 ~ 0 при (<О.

По построению и(х, 1) во всех точках своей непрерывности удовлетворяет уравнению теплопроводности н, кроме того, У(х, 1) =0 для 1<0. Совершенно аналогично показывается, что Узз(х, 1), построенная при 1>0 по формуле Пуассона с использованием начальной функции ~раза)= — 2п для А+2п( — А)- $<В+(2п+1)( — А), и продолженная нулем при 1< О, представляет собой решение, непрерывное вместе со всеми своими производными в полосе А х<В, + со>1> — оо, за исключением точки х=А, 1=0. Оно удовлетворяет следующим условиям: и„(А, 1)=~ ( 1 (1>0), '(о «<о), Улв(В> 1) =О, и„,(х, 0=0 ((<О), Улв(х, 0) =0 (А <х<В).

411 уРАВнение теплОпРОВОЛИОсти (пРОдолжение) 47 Решение задачи 2 при произвольной непрерывной фА(() и при фв(() =О, )р($) =0 дается формулой т аиа,(х, Π— ) 1, О=) О.)')о— о То, что и(х, () при А <х<В действительно является решением, проверяется дифференцированием интеграла по параметрам х, 1.

Очевидно, что и(х, 0)=0 при А -х.«=.В, и(В, () =0 В выполнении граничного условия при х=А проще всего убедиться, если фА(() кусочно постоянна и имеет разрывы только при 1=)о=О, 1=1„(=1„1=(„..., 1=(А =Т. При этом 1-1'1о1 аиа (х, о — ) и(х, () = ~) фА (11) а) о(т= ~ =1)1 Π— 1 = фА ((о) (' АВ (х, ( — (о) +,У) ()РА ((111) )РА ((1)1 (' Ав (х, ( — (!о1)— 1.= Π— фА(Т) ихв(х ( — Т) )$)А (() = фА ((1) ((1 <1 < 11 1) и выполнение граничных условий на интервале 0<(<Т следует - й ° и„в(~). Выбрав последовательность кусочно постоянных ф)() ((), равномерно сходящихся при )-+-со к фА(() и построив последовательность решений т ди )в(х, 1 — т) ии'(х, () = ~ "' д) ф7(т) о(т, о мы с помощью принципа максимума докажем, что иоэ (х, () равно- мерно при А =х(В 0( (< Т сходятся к некоторой функции й(х, (), непрерывной всюду, кроме точки х=А, 1=0, и удовлет- воряющей при 0<(<Т граничному условию й(А, ()=фА(().

аиа„(х, 1) Каковы бы ни были х„х,: А < х, < х, < В, производная д1 огРаничена и непРеРывна в полосе хо(х -х„и поэтомУ в этой полосе ии) (х, 1) равномерно сходятся к диАв(х, 1 — т) дт )рА (т) оК о т. е. к и (х, 1). совпадение й(х, 1) =и(х, () доказано, 48 [гл ~ вводнля часть Нетрудно аналогичным приемом построить решение задачи 2 при произвольной фа(Г) и при фх (() = О, ~р (х) = О. Решение в общем случае ненулевых фл((), фа(1), ~р(х) находится как сумма описанных частных решений.

Есть много разных способов, с помощью которых можно вывести формулу Пуассона для уравнения теплопроводности, справедливость которой мы обосновали. Наиболее короткий и изящный вывод основан на использовании преобразования Фурье. Здесь будет приведен не слишком простой эвристический вывод, иллюстрирующий использование групповой инвариантности. Он основан на идеях, которые были разработаны Л. И.

Седовым [2) для получения решения сложной нелинейной гидродинамической задачи о сильном взрыве. При этом выводе, поскольку мы будем пользоваться физическими соображениями, нам будет удобно рассматривать уравнение с неравными единице коэффициентами С (теплоемкость) и К (теплопроводность), которые предполагаются постоянными: Это равенство для достаточно гладких и(х, ~) эквивалентно выполнению по любому кусочно гладкому замкнутому контуру интегрального тождества ~ Си г(х + К вЂ” — сУ = О, выражающего собой закон сохранения количества тепла. Если вспомнить приводившийся в 5 3 вывод уравнения теплопроводности, то легко заметить, что он как раз состоял в получении закона сохранения тепла для бесконечно малого параллелепипеда. Интегральным тождеством, которое было выписано, нам будет удобно в некоторый момент воспользоваться. Пусть теперь и(х, () — некоторое решение уравнения теплопроводности.

Выбрав постоянные а) О, Х) О, сделаем замену переменных х=аг (г=х/а), (=Ха (з=(!Х), положив и(х, 1) =и(аг, Хя) =п(г, э). Выясним, какому уравнению удовлетворяет о(г, з). Для этого сосчитаем производные ди ди дх ди — — = — — =а —, дг дх дх дх' дйи дэи = а2 —, дх' дх~ ' ~Ъ ди — =Х вЂ”, дх дг ' 49 $41 уРАВнение теплопРОВОдности (пРОдолжение) С помощью этих равенств из уравнения следует, что Предположив, что параметры Л и а связаны между собой равенством Л=а', мы видим, что если и(х, 4) является решением нашего уравнения, то и (ах, Л() тоже будет решением. Из линейности уравнения можно сделать вывод, что и функция уи(ах, Л4) (Л=а') тоже является решением при любом постоянном у.

Будем рассматривать только такие решения, для которых при любом () О сходится интеграл Си(х, г) 4(х=Я(г'); Я(() — полное количество тепла в момент времени 1 при — ОО( (х~+со. Наряду с решением и(х, () рассмотрим еще решение ш(х, 1) =уи()»Лх, М) и сосчитаем полное количество тепла для этого решения в момент времени 4 +»» +»» Сш(х, 4) 4(х= ~ Суи()ГЛх, Л4)4(х= + О» +»» = Си()/Хх, ЛГ)д(Р»Лх)= т Си(г, И)4(г= т Я(Л().

р'Л .) ) Л 4 ' РЛ Если положить у =)»Л, то мы будем иметь Сш(х, ~) 4(х =Я(Л(). В дальнейшем нам нужно будет рассматривать решение, для которого полное количество тепла с течением времени не меняется, т. е. Я(~) =Я=сопэй Из наших рассуждений вытекает, что если для решения и(х, 1) полное количество тепла равно Щ то и для ш(х, г) =)'Л и (г' Лх, Л() полное количество тепла будет тем же самым. Мы построили однопараметрическую группу преобразований (параметр Л), переводящих в себя множество решений уравнения теплопроводности с одинаковым постоянным количеством тепла Я. Интересно представить себе, как преобразуются начальные даннь4е 50 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. ! таких решений. Пусть и(х, 0) =~р(х). Тогда ш(х, 0) =)ГЛГр ()ах).

На рис. 7 изображены и(х, 0), ш(х, 0) в случае, если Л) 1. Чтобы получить ш(х, 0) из и(х, 0), надо сжать график в )'Х раз по х и вытянуть его в ф'Л раз по ~р. На этом мы заканчиваем подготовительную работу и переходим собственно к выводу. Рассмотрим область — со <х < со, 1 = 0 и постараемся в этой области г) найти решение уравнения которое отвечало бы при 1 = 0 некоторым специальным начальным данным. Эти начальные данные нельзя представить себе заданными в виде обычной функции и(х, 0) =- = Гр (х) Лля их описания должно быть использовано специальное понятие «обобщенной функции», Мы не будем на этом понятии останавливаться и ограничимся нестрогим, но наглядным описанием.

Представим себе, что при (=О на плоскости х=О (в пространстве х, у, г) выделилось некоторое количество тепла. А именно, пусть на единицу площади этой плоскости выделилось Я калорий. Из физических соображений ясно, что решение, которое отвечает такому начальному впрыскиванию тепла, в любой момент времени Г' будет распределением тех же Я калорий: Си(х, 1) дх=ф При (=Овсетеплососредоточенолишьприх=О, т.е.!Нп и(х, 1)=-0, Г-.в если х~О. Ясно, что вахи(х, 1) должен стремиться к со при Г 0 и при малых 1 этот максимум обязан достигаться где-то вблизи х = О.

Пусть нам удалось найти некоторое решение и(х, 1) так поставленной задачи. Выберем некоторый параметр Л) 0 и рассмотрим еще решение ю(х, () = и'Л и ()/Лх, ЛГ). Мы знаем, что для любого 1>0 Сш(х, () с(х=ф уРАВнение теплопРОВОдности (пРОдолженне) 61 Кроме того, очевидно, что при хна О 11ш цс(х, Е) =)/Л11ш и()с"Лх, Л1) =О. с о с о Решение цс(х, () таким образом удовлетворяет всем тем условиям, которые мы наложили на и(х, 1). Следовательно, либо мы можем построить для нашей задачи о «впрыскивании» тепла бесконечное множество решений нс(х, () =)с Ли ()сЛх, Лс), либо все эти решения должны совпадать.

Примем гипотезу о единственности решения поставленной задачи. Из этой гипотезы вытекает равенство ш(х, 1) =и(х, 1), а следовательно, следующее функциональное соотношение, которому должно удовлетворять решение и (х, 1) = )с Л и (~ Лх, Лс). ~=СУу' а=4У 4 Фиксируем некоторую точку (х, 1) и вы- 4 х берем Л=1сч'. Получаем Ас ц( 1) 1 ц(» 1) 1 (~) Для того чтобы найти функцию д($), достаточно подставить это выражение в уравнение теплопроводности.