С.К. Годунов - Уравнения математической физики, страница 11

13). Уравнение каждой из таких прямых может быть представлено в виде х — 1=сонэ(. Только постоянная (сопз() будет для каждой из этих прямых слоя. Значения постоянных как бы нумеруют этн прямые. Мы будем говорить, что постоянная с в уравнении х — 1= с является «номером» прямой нашего семейства, задаваемой этим уравнением, Рассмотри«1 какую-либо функцию и(х, 1) и вычислим ее производную х -„;- вдоль нашей прямой.

Ясно, что Рис. 13. функцию и(х, 1) надо предполагать дифференцируемой. Вместо слова «дифференцируемая» мы будем употреблять слово «гладкаяк Более точно — слово «гладкая» означает, что рассматриваемая нами функция имеет столько производных или даже непрерывных производных, сколько нужно для законности тех выкладок или рассуждений, которые мы собираемся проводить. Зтнм термином мы будем и в дальнейшем ди часто пользоваться.

Итак, вычисляем производную — вдоль не- Ф дх которой прямой — = 1: д« ди ди ди дх ди ди « 1 д« дх Й ду дх ' Из формулы для этой производной видно, что уравнение ди ди — + — =О означает постоянство и(х, 1) вдоль каждой из прядх дх мых — =1. Конечно на разных прямых эта постоянная может д« быть различной. Таким образом, значение и(х, 1) в точке (х, 1) зависит лишь от «номера» той прямой, на которой лежит точка, т. е.

и(х, 1) =1(х — 1). (Значение х — 1 является «номером» прямой.) Ясно, что для того чтобы у функции и(х, 1) существовали производные †, †„, надо, чтобы функция ) Д) была дифферен- ди ди 59 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ цируемой. При этом ди —, = — 1' (х — 1), дт ди — „= ~' (х — 4). дх Отсюда ясно, что любая гладкая )" дает решение уравнения ди ди — + — = О. дт дх Мы говорим, что формула и=)'(х — () дает общее решение этого уравнения. Теперь мы уже можем перейти к обсуждению тех задач, которые разумно ставить для этого уравнения.

Под задачей мы понимаем совокупность дополнительных условий, которые надо задать, чтобы выделить какое-либо конкретное решение. Рассмотрим опять полоску прямых х — 1= сопз1 на плоскости (х, (). На рис. 14 мы дополнительно изобразили некоторую кривую у, которая с каждой из прямых х — 1= сопз1 пересекается только в одной точке. Пусть у задана в параметрическом виде х = $ (в), 1= т (в) и пусть вдоль этой кривой задана функция тр=тр(в). Ясно, что мы можем на пря- Рнс. 14. мых нашей полоски так опреде- ди ди лить функцию и = и (х, 1), удовлетворя1ощую уравнению — - + -- = д) дх = О, чтобы в точках кривой у она принимала заданные значения тр=~р(в): и ~ =~у.

Действительно, решение должно иметь вид и =~(х — 1). Вид функции ) может быть определен следующим образом. Найдем для каждого значения х — 1 величину в из уравнения х — 1 = =~(в) — т(в). Это в отвечает точке пересечения прямой х — (= = сопэ1 с кривой у и, по нашему условию, единственно. После этого положим ~(х — 1)=~р(в). Можно доказать, что если 9(в), т(в), тр(в) являются гладкими функциями (9'(в) — т'(в)~0), то построенная нами )'(х — () тоже будет гладкой, а следовательно, она даст решение изучаемого уравнения.

у яр аж пенне. Из неравенства т'(з) — т'(з) ее о вытекает, что каждая нз прямых х — Г=сопа1 пересекаетсн с кривой не более, чем в одной точке. Донажнте вто. 60 !ГЛ. 1 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ Мы сейчас не будем аккуратно проводить доказательство теоремы существования. В дальнейшем эта теорема нами будет доказана совсем другим способом, который, правда, не столь нагляден, но зато допускает далеко идущие и очень важные обобщения.

Наглядные соображения, приводимые сейчас, нужны для того, чтобы как можно скорее и проще подойти к предварительной Рис. !6. Рис. 16. формулировке основных фактов из теории одного важного класса уравнений математической физики. Вернемся к нашей задаче. В качестве кривой у мы можем выбрать отрезок оси х или отрезок оси 1, как это показано на рисунках 15 и 16. Можно даже (рис. 17) выбрать в качестве кривой у примыкающие друг к другу отрезки оси х и оси !.

Правда, при этом придется специально Рис. !8. Рнс. 17. позаботиться, чтобы элементы функции чз(з), заданные на отрезках АО и ОВ, определили функцию 7" (х — !), которая дифференцируема на прямой х=!, проходящей через точку О. В о н р о с. Каким условиям должны для этого удовлетворять элементы ~р (а) на отрезках АО и ОВ? А вот такие отрезки осей х, 1, какие изображены на рис.

18, использовать для постановки задачи нельзя, так как здесь есть б! ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ прямые х — ! = сопз1, которые встречаются как с отрезком АО, так и с отрезком ОВ. Вдоль каждой из прямых х — 1=сопз( значение и(х, !) является постоянным, а следовательно, значения ср на отрезке ОА задавать произвольно нельзя.

Они однозначно определяются после задания ср на ВО. Теперь остановимся на вопросе о единственности решения. Предположим, что мы задаем значения си(з) на отрезке АВ оси х. Решение определится и притом однозначно внутри полосы, образованной прямыми х — 1=сопз(, пересекающими отрезок АВ. Если мы продолжим гладким образом сс (з) на больший отрезок аЬ (рис. 19), то мы сможем построить решение в более широкой полосе, границы которой помечены пунктиром. Так как такое Рис. 20. Рис.

!9. продолжение ч~(з) может быть выполнено многими способами, то и решение в нашей более широкой полосе заданием си (з) на отрезке АВ определяется неоднозначно. Полоса, образованная прямыми х — !=сопи!, пересекающил!Ися с АВ, является областью единственности. Разберем еще случай, когда в качестве кривой у выбран отрезок АВ одной из прямых х — ! =сопз1, например, прямой х — ! = =0 (рис.

20). В этом случае ясно, что си(з) произвольно задавать нельзя, так как и( =ср(з), а с другой стороны, вдоль от- са резка 7 производная - — =О, откуда следует, что функция са(з) должна быть выбрана постоянной. Иначе задача ('— ," ,~~ =о, не будет иметь никакого решения.

Если же мы выбрали си(з) = = ср, = сопз(, то задача будет иметь решение и = — 1 (х — !), где фУнкциЯ ) ($) подчинена только Условию ) (О) = срс, а в остальном— произвольна. Область единственности в этом случае как бы стягивается в одну прямую х — (=О. Мы видим, что выбор кривых у, на которых разумно задавать дополнительные условия, не может быть произвольным.

Нам вводная часть надо учитывать расположение у относительно прямых х — 1 = сопз1. ди ди Эти прямые носят название характеристик уравнения — + — = д1 дх = О. Мы пока не даем важному понятию характеристики какого- либо общего определения. Такое определение будет дано в следующем параграфе. Теперь же нам будет достаточно того качественного описания, которое мы разобрали. В дальнейшем, как правило, мы будем в качестве кривой у выбирать отрезок оси х и разыскивать решение уравнения ди ди — + — =0 в характеристической полосе, опирающейся на этот д1 дх отрезок, только для времени Г) О.

Дополнительное условие и ( = ~р(з) в этом случае естественно называть начальным условием или начальными данными. ди ди Ясно, что все рассказанное для уравнения — + — =0 может д1 дх ди ди быть почти дословно повторено и для уравнения — + а — = О. д1 дх Его общее решение записывается в виде и =((х — а1), откуда видно, что роль прямых х — 1=сопз1 в этом случае будут играть прямые х — а(=сопз1, которые мы будем называть характеристи- ди ди ками уравнения —.— + а — = О. о1 дх Разберем теперь более сложный пример системы ди, ди, д1 дх -- — +а,— =0 состоящей из двух независимых уравнений. Решение первого из уравнений системы имеет вид и,=)(х — а,1).

Решение второго: и,=д(х — а.,1). Зададим для нашей системы начальные данные на отрезке АВ оси х (т. е. при 1=0). Отрезок АВ по-прежнему будем ,ф ф обозначать через у: и,' =<р(х), и,~,=ф(х). Рис. 21 На рис. 21 изображены на плоскости (х, 1) те полуполосы (1)0), в которых мы можем определить значения и,(х, 1) и и, (х, 1). Для большей наглядности, мы выбрали различными знаки коэффициентов а„а, (а, ) О, а, ( 0).

Ясно, что говорить о решении системы имеет смысл только внутри треугольника АВС, являющегося пересечением (в теоре- ГИПЕРВОЛИЧЕСКИВ УРАВНЕНИЯ о 5! тико-множественном смысле) обеих характеристических полос, опирающихся на отрезок АВ; только внутри этого треугольника решение будет определено однозначно. Прямые х — а,1 =сопз1, х — а,( = сопз( естественно назвать характеристиками рассматриваемой системы, а треугольник АВС, ограниченный характеристиками, характеристическим треугольником.

Пример системы, который мы сейчас рассмотрели, может показаться надуманным. Поэтому мы продемонстрируем, как к этому уже изученному случаю может быть приведена существенно более сложная, на первый взгляд, система ди 1 др — + — — =О, д! ро дх Эта система описывает распространение плоских звуковых волн (малых возмущений) в покоящейся среде. Здесь и — скорость возмущенной среды, а р — давление в этой среде. Постоянные р„ с, связаны со свойствами покоящейся среды: р, — ее плотность, а с,— постоянная, характеризующая сжимаемость. Уравнения (1) называются также уравнениями акустики.

Вывод этих уравнений можно найти в курсе физики или механики сплошных сред. Мы сейчас покажем, что систему, описывающую распространение звуковых волн, можно несложным преобразованием и переобозначением переменных привести к тому простейшему виду, который уже был нами рассмотрен. Для э~ого умножим второе уравнение на 1!р,со, Полученное равенство д— Р— +с — =О росо ди д! одх прибавим к первому уравнению ди 1 др — - + — — = О. д! ро дх В результате получим равенство д(и+ ) д(и+ — ) Если сложение равенств заменить вычитанием, то получится другое аналогичное уравнение: д(и — — ) д(и — — ) д! о дх 64 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ Теперь нам остается только обозначить Р Р и+ — =и„и — — =и„ Ркс ' Р,сь чтобы прийти к системе уже разобранного вида ди, ди, дс-+си дх.

— — О, ди, ди, — — — с — „=О. д) иди= Общее решение такой системы имеет, как мы знаем, вид и,=((х — сД, и,=д(к+се. Выражая и„и, через и, р, получаем и+ " =("(х — сс(), и — =д(х+сД или, окончательно: 1( — су)+и(х+ссс) 1( — су) — е(х+с4) и= 2 Р = Рось 2 Эти формулы дают представление общего решения уравнений распространения звука.

Системы, которые можно привести к нескольким независимым уравнениям первого порядка, каждое из которых содержит лишь одну независимую функцию, принадлежат к так называемому классу гиперболических уравнений, подробному изучению которого посвящена глава П. Пусть нам известно распределение давления р н скорости и в начальный момент ( = О на некотором интервале х, < х < х,. Как мы уже видели, это начальное распределение однозначно определит решение в характеристическом треугольнике, оиираю|цемся своим основанием на интервал (х„х,). Этот треугольник определяется неравенством () О, х — с() хь х,+си(<х,. Величины и.+ носят название римановых инварианпюв, по Расс фамилии немецкого математика Римана, который ввел их в аналогичном, но более сложном случае.

Формула и+ Р =Г(х — сь() Рссс показывает, что распределение этого риманова инварианта перемещается без искажения формы вправо со скоростью с„. Это дает основание для того, чтобы назвать величину с, скоростью распространения возмущений звуковых волн илн, короче, скоростью звука, 65 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Аналогично формула и — — =д(х+со() Росо показывает, что распределение этого, другого риманова инвари.