Л.С.Понтрягин - ОДУ (Понтрягин Л. С. - Обыкновенные дифференциальные уравнения), страница 60

DJVU-файл Л.С.Понтрягин - ОДУ (Понтрягин Л. С. - Обыкновенные дифференциальные уравнения), страница 60 Интегралы и дифференциальные уравнения (ИиДУ) (310): Книга - 2 семестрЛ.С.Понтрягин - ОДУ (Понтрягин Л. С. - Обыкновенные дифференциальные уравнения) - DJVU, страница 60 (310) - СтудИзба2015-05-11СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Понтрягин Л. С. - Обыкновенные дифференциальные уравнения", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "интегралы и дифференциальные уравнения (ииду)" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "высшая математика (интегралы и дифференциальные уравнения)" в общих файлах.

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 60 - страница

В 36. Жорданова форма матрицы А) Последовательность векторов Ьо ..., уа~ пространства Я называется серией е собственным значением Х относительно преобразования А, если выполнены соотношения йтФ О; АЬ,=Лаан АЬ„=ЛУаа+1ьп ..., АВ„=Лй„, +й ДОБАВЛЕНИЕ Н. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Если матрица А преобразования А действительна, то последовательеюсть Ь„..., йы, (2) очевидно, образует серию с собственным значением Л. Серии (1) и (2) будем называть комплексно сопряженными.

Если число Л и векторы (1) действительны, то серия считается деиствительной. 'Тсо рема 30. Суиаествуе1п базис пространства )х, состоягций из всех векторов одной или нескольких серий относительно преобразования А. Если матрпиа А действительна, то серии, составляющие баЗис, можно выбрать так, чтобы серии с дейсгпвительными собственными значениями были действительнымп, а серии с комплексными собственными значениями были попарно сопряжены. Дои а за тель ство. Пусть Д (с) = (» — Л1)ь! ...

(а Л )ьг (3) — мипимальныя аннулирующий матрицу А многочлен, где — попарно различные собствеппые значения матрицы А. В силу предложения Ж) 5 34 пространство тх можно разбить в прямую сумму его подпрострапств 8„..., 8„, соответству1оших множителям (3), так что пространство 8, состоит из всех векторов х„удозлетзоря1ощих услови1о (А — Л,Е) 'х=О. Это значит, что анпулнрующим многочлепом преобразования А, рассматриваемого па пространстве 8„ является мпогочлеп (г — 1ч) '. Легко видеть, что этот многочлеп является минимальным. Допустим, что матрица А действительна. Объединим сначала все множители из (3) с действительными Л1 в мпоягнге1гь Д, (=), а все остальные — в множитель Да(а). Тогда Д(а)=Д,(е)Д,( ) ссгь раз-.

ложение на действительные взаимно прОстые множитсл;1„н соответствующее разложение пространства Я в пряму1о сумму подпрострапств Я1 и Ц, можно считать действительным. Пространство К1 разобьем теперь в прямую сумму действительных слагаемых, соответству1оших действительным собственным значениям Лп и в этих действительных прямых слагаемых мы в дальнейшем построим базисы, состоящие из действительных серий. Пространство Я, разобьем на попарно комплексно сопряженные прямые слагаемые, соответствующие комплексно сопряженным собственным значениям, и в этих комплексно сопряженных пространствах мы в дальнейшем построим базисы„состоящие из комплексно сопряженных серий; при этом достаточно построить базис из серий в одном из двух комплексно сопряженных пространств, а во втором взять комплексно сопряженный базис, ЖОРдАНОВА ФОРМА МАТРННЪ| Итак, нам достаточно доказать, что если линейное преобразование А, действующее в векторном пространстве 8, имеет минимальный аннулирующнй многочлен (з — !), то в этом пространстве можно выбрать базис, состоящий из серий относительно преобразования Я, причем из серий действительных, если пространство 8, матрица А и число Х действительны.

Перейдем к доказательству этого утверждения. Для краткости положим С= А — АЕ и обозначим через Т; совокупность всех вектеров х из 8, удовлетворяющих условию Сех= О. Мы имеем тогда 8= Т ! Т '~„, 3 Т' .) Те=О. Пусть й';, ..., й!' (1 = 1, ..., й) — система векторов из Т, линейно независимых относительно про- ! странства Тч ', это значит, что вектор аей!+... + а,й! может принадлежать пространству Т! ' лишь при условии а,=...=а,=О.

Покажем, что при фиксированных 1 и ? векторы й,'. = С'й;. (? <„!) (4) принадлежат пространству Т! . и линейно независимы относительеш пространства ?; ! е. Мы имеем: С' !й!" ! —— Сей! =О (а=1... г), и, следовательно, векторы (4) принадлежат пространству Т! ?. Допустим теперь, что вектор а,й! е+...+а,й! ? — — х принадлежит пространству Т! ? !.

Тогда имеем: О=С! ' лх=С! '(а,й,'+ ... +а,й'.), ! г а это значит, что вектор а,й, + ... +а„й, принадлежит пространству Т,, и потому числа а„...> а, равны нулю. Выберем теперь максимальную систему векторов ! г йы *е 326 довлвленпе г!. линейнАя АлГеБРА пространства Ть, линейно независимых относительно пространства Т»,. По доказанночу векторы принадлежат пространству Т, и линейно независимы относительно пространства 7ь я; таким образом, систему (6) можно дополнить до максимальной системы 1 > й,,,..., йь — ' (га г~г,) (7) векторов пространства Ть „ линейно независимых относительно пространства Т и я Продолжая этот процесс дальше, мы построим в пространстве Т,(1 >0) максимальную систему векторов Ь"г = Сйг+, (%= !, ...

Ф гг+г! Г!)гг+!). Докажем теперь, что совокупность «;7 всех векторов, принадлежащих всем системам (8), 1=7', 7' — !... 1, составляет базис пространства 7'Ь Доказательство будем вести индуктивно по числу 7. Для /=1 система ~',! совпадает с системой (8) при /=- ! н потому является базисом пространства Т>(Т» — — О).

Допустим, что наше утверждение доказано для системы «, -, и докажем его для системы «;7, !. Допустим, что имесг место соотношение а! Ь' + ., + а, Ь'7+! -~- Ь, й'+ ... + Ь~ 7!'г+ ... = —.О, (9) 7-> ! /+! У+! I ! .г Применяя к соотношению (9) преобразование В', по учаем; а,й!+ ... +а, Ь/+>=О, ! /+1 1 а это возможно лишь при условии а,= ... =а, = — О; таким об- 7+! разом, в соотношение (9) могут входить лишь векторы системы «,7 и, следовательно, по предположению индукции, соотношение (9) тривиалыю. ПУсть тепеРь Š— пРоизвпльный вектОР пРОстРанства Т7 >!.

Так как система (8) при 1 =7' + 1 есть максимальная линейно независимая система относительно пространства Т, то существует такой вектор у = а>Ь).!.! + ... + а, , Ь 7~', 7+! что вектор х — у принадлежит пространству Т и в силу предло>ке- линейно независимых относительно пространства Т! н причем будут выполнены соотношен>>я % 3»1 жоРдлновл ФОРМА млтРнцы ния индукции выражается линейно через векторы системы ~~, а аа1й значит, что вектор Х выражается линейно через гекторы системы ~ Итак, доказано, что система У» есть базис пространства Я~ф Если пространство 8, матрица А и число Л действительны, т!а, выбирая ве!вторы системы (5) действптельныыи, мы получаем деМй вительную систему (6), которую можно дополнить до действителыий системы (7). Продолжая таким образом, мы получаем действа тельную систему»».

Покажем теперь, что система ~» состоит из серий, Имейно, пп кажем, что векторы й;, й;, ... образуют серию с собственным значением Л. Мы имеем: 0= — Сй;=(А — ?Е) Ь"„ так что Ай;=Лй;; далее, й; =Сй'.= (А — Щ й' так что Ай",,=Лй'„-!-йн и т. д. Итак, теорема 30 доказана. .1,:'' В построенном согласно теореме 30 базисе преобразованию Я соответствует уже не исходная матрица А ='(а~; а"'ййй!б!серая павля матрица В=(Ь~), имеиицая особо простую ферму, павываемнчп жордаиовой.

Таким образом, .теорема 30 является тмворвлго!в о приведении иаирицм к в!сордаковой (рорие. Разберем этот вбпроа подробнее. Б) Жордановой клеткой порядка и с собственным значением 1 ! называется квадратная матрица (д') порядка и, определяемая соот- 7 но!ненняын й'.'= л, 7=1..., т; Л"' „,=1, ! — 1, »а 1! ь'.=0 прн ! — !(О и нри ! — ! ~ 1, у т. е. »гатрица Л 1 0 ... 0 0 0 Л 1 ... О 0 о о л ... о о 0 О О ... Л 1 0 0 0 ...

О Л Оказывается, что для каждой квадрап>ой матрицы А пор дка и можно подобрать такую невырожденную квадратную матрицу Я, что матрица 8=ЛАЯ ', получаемая из матрицы А путем трансформации матрицей 8, имеет жордано ау форму, т. е. состоит из одной 328 довлзление и, линеинхя ллгеврл или нескольких жордановых клеток, расположенных по ее главной диагонали, в то время как все элементы ее, пе входящие в жордамовы клетки, равны нулю.

Покажем это. Пусть Я вЂ” координатное векторное пространство размерности а и А — линейное преобразование, соответствующее (в некоторой системе координат) матрице А. Пусть теперь уь ..., у„— бвзис пространства Й. составленный из серий (см. теорему 30). Мы предположим векторы т'н ..., ~„ расположенными в таком порядке, что векторы каждой серии идут в последователюгости ~„..., у'„ один за другим. Обозначим через В=(Ь'.) матрицу преобразования А в базисе у„..., ~'„, Пусть ь!-У„..., ).=У„ — первая серия, входящая в последовательность ~п ..., у„и 1 — соответствующее собственное значение. Тогда, как это непосредственно следует из определения серии, мы имеем: Ь,'=Л, С=~, „т; Ь,',=1; С=1, ...,~ — ~; Ь'=0 при !+1(/==я и при 1 ~~ =т.

Таким образом, первой серии последовательности ~н ..., ~'„соответствует первая жорданова клетка в матрице В. Точно так же второй серии базиса ~п ..., ~'„будет соответствовать вторая жорданова клетка в матрице В, и т. д. Так как переход от матрицы А к матрице В осуществляется при помощи трансформации (см. ф 34, А)), то В=ЯАЬ' '. Таким образом, предложение Б) доказано. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Лятоматического регулирования теория 218 Лзгоиоммые системы уравнений 103, 108, 251, 279 Ллямара лемма !86 Лчплитуда гармонического колебания 30, 75 -- — — комплексная 76 Лсдронов 244., 249 Лндронова — Витта теорема 271 ли!шлируюший миогочлен ма~рицы 309, 3!1, 312 — — — минимальный 309, 813, 3!4, 315 Лиодиый ток триода 244 Лсимптотпчсская устойчивость 205, 213, 252, 269, 272 Втриации постоянных метод !б, 134, 143 Вскгор 46, 2% — дейсгвителы<ый 46 — комплексный 46 рл хлорные Фуикпии векторного переменного !03 15 кторы, комплексно сопряженные 46 .

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее