Л.С.Понтрягин - ОДУ (Понтрягин Л. С. - Обыкновенные дифференциальные уравнения), страница 60

В 36. Жорданова форма матрицы А) Последовательность векторов Ьо ..., уа~ пространства Я называется серией е собственным значением Х относительно преобразования А, если выполнены соотношения йтФ О; АЬ,=Лаан АЬ„=ЛУаа+1ьп ..., АВ„=Лй„, +й ДОБАВЛЕНИЕ Н. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Если матрица А преобразования А действительна, то последовательеюсть Ь„..., йы, (2) очевидно, образует серию с собственным значением Л. Серии (1) и (2) будем называть комплексно сопряженными.

Если число Л и векторы (1) действительны, то серия считается деиствительной. 'Тсо рема 30. Суиаествуе1п базис пространства )х, состоягций из всех векторов одной или нескольких серий относительно преобразования А. Если матрпиа А действительна, то серии, составляющие баЗис, можно выбрать так, чтобы серии с дейсгпвительными собственными значениями были действительнымп, а серии с комплексными собственными значениями были попарно сопряжены. Дои а за тель ство. Пусть Д (с) = (» — Л1)ь! ...

(а Л )ьг (3) — мипимальныя аннулирующий матрицу А многочлен, где — попарно различные собствеппые значения матрицы А. В силу предложения Ж) 5 34 пространство тх можно разбить в прямую сумму его подпрострапств 8„..., 8„, соответству1оших множителям (3), так что пространство 8, состоит из всех векторов х„удозлетзоря1ощих услови1о (А — Л,Е) 'х=О. Это значит, что анпулнрующим многочлепом преобразования А, рассматриваемого па пространстве 8„ является мпогочлеп (г — 1ч) '. Легко видеть, что этот многочлеп является минимальным. Допустим, что матрица А действительна. Объединим сначала все множители из (3) с действительными Л1 в мпоягнге1гь Д, (=), а все остальные — в множитель Да(а). Тогда Д(а)=Д,(е)Д,( ) ссгь раз-.

ложение на действительные взаимно прОстые множитсл;1„н соответствующее разложение пространства Я в пряму1о сумму подпрострапств Я1 и Ц, можно считать действительным. Пространство К1 разобьем теперь в прямую сумму действительных слагаемых, соответству1оших действительным собственным значениям Лп и в этих действительных прямых слагаемых мы в дальнейшем построим базисы, состоящие из действительных серий. Пространство Я, разобьем на попарно комплексно сопряженные прямые слагаемые, соответствующие комплексно сопряженным собственным значениям, и в этих комплексно сопряженных пространствах мы в дальнейшем построим базисы„состоящие из комплексно сопряженных серий; при этом достаточно построить базис из серий в одном из двух комплексно сопряженных пространств, а во втором взять комплексно сопряженный базис, ЖОРдАНОВА ФОРМА МАТРННЪ| Итак, нам достаточно доказать, что если линейное преобразование А, действующее в векторном пространстве 8, имеет минимальный аннулирующнй многочлен (з — !), то в этом пространстве можно выбрать базис, состоящий из серий относительно преобразования Я, причем из серий действительных, если пространство 8, матрица А и число Х действительны.

Перейдем к доказательству этого утверждения. Для краткости положим С= А — АЕ и обозначим через Т; совокупность всех вектеров х из 8, удовлетворяющих условию Сех= О. Мы имеем тогда 8= Т ! Т '~„, 3 Т' .) Те=О. Пусть й';, ..., й!' (1 = 1, ..., й) — система векторов из Т, линейно независимых относительно про- ! странства Тч ', это значит, что вектор аей!+... + а,й! может принадлежать пространству Т! ' лишь при условии а,=...=а,=О.

Покажем, что при фиксированных 1 и ? векторы й,'. = С'й;. (? <„!) (4) принадлежат пространству Т! . и линейно независимы относительеш пространства ?; ! е. Мы имеем: С' !й!" ! —— Сей! =О (а=1... г), и, следовательно, векторы (4) принадлежат пространству Т! ?. Допустим теперь, что вектор а,й! е+...+а,й! ? — — х принадлежит пространству Т! ? !.

Тогда имеем: О=С! ' лх=С! '(а,й,'+ ... +а,й'.), ! г а это значит, что вектор а,й, + ... +а„й, принадлежит пространству Т,, и потому числа а„...> а, равны нулю. Выберем теперь максимальную систему векторов ! г йы *е 326 довлвленпе г!. линейнАя АлГеБРА пространства Ть, линейно независимых относительно пространства Т»,. По доказанночу векторы принадлежат пространству Т, и линейно независимы относительно пространства 7ь я; таким образом, систему (6) можно дополнить до максимальной системы 1 > й,,,..., йь — ' (га г~г,) (7) векторов пространства Ть „ линейно независимых относительно пространства Т и я Продолжая этот процесс дальше, мы построим в пространстве Т,(1 >0) максимальную систему векторов Ь"г = Сйг+, (%= !, ...

Ф гг+г! Г!)гг+!). Докажем теперь, что совокупность «;7 всех векторов, принадлежащих всем системам (8), 1=7', 7' — !... 1, составляет базис пространства 7'Ь Доказательство будем вести индуктивно по числу 7. Для /=1 система ~',! совпадает с системой (8) при /=- ! н потому является базисом пространства Т>(Т» — — О).

Допустим, что наше утверждение доказано для системы «, -, и докажем его для системы «;7, !. Допустим, что имесг место соотношение а! Ь' + ., + а, Ь'7+! -~- Ь, й'+ ... + Ь~ 7!'г+ ... = —.О, (9) 7-> ! /+! У+! I ! .г Применяя к соотношению (9) преобразование В', по учаем; а,й!+ ... +а, Ь/+>=О, ! /+1 1 а это возможно лишь при условии а,= ... =а, = — О; таким об- 7+! разом, в соотношение (9) могут входить лишь векторы системы «,7 и, следовательно, по предположению индукции, соотношение (9) тривиалыю. ПУсть тепеРь Š— пРоизвпльный вектОР пРОстРанства Т7 >!.

Так как система (8) при 1 =7' + 1 есть максимальная линейно независимая система относительно пространства Т, то существует такой вектор у = а>Ь).!.! + ... + а, , Ь 7~', 7+! что вектор х — у принадлежит пространству Т и в силу предло>ке- линейно независимых относительно пространства Т! н причем будут выполнены соотношен>>я % 3»1 жоРдлновл ФОРМА млтРнцы ния индукции выражается линейно через векторы системы ~~, а аа1й значит, что вектор Х выражается линейно через гекторы системы ~ Итак, доказано, что система У» есть базис пространства Я~ф Если пространство 8, матрица А и число Л действительны, т!а, выбирая ве!вторы системы (5) действптельныыи, мы получаем деМй вительную систему (6), которую можно дополнить до действителыий системы (7). Продолжая таким образом, мы получаем действа тельную систему»».

Покажем теперь, что система ~» состоит из серий, Имейно, пп кажем, что векторы й;, й;, ... образуют серию с собственным значением Л. Мы имеем: 0= — Сй;=(А — ?Е) Ь"„ так что Ай;=Лй;; далее, й; =Сй'.= (А — Щ й' так что Ай",,=Лй'„-!-йн и т. д. Итак, теорема 30 доказана. .1,:'' В построенном согласно теореме 30 базисе преобразованию Я соответствует уже не исходная матрица А ='(а~; а"'ййй!б!серая павля матрица В=(Ь~), имеиицая особо простую ферму, павываемнчп жордаиовой.

Таким образом, .теорема 30 является тмворвлго!в о приведении иаирицм к в!сордаковой (рорие. Разберем этот вбпроа подробнее. Б) Жордановой клеткой порядка и с собственным значением 1 ! называется квадратная матрица (д') порядка и, определяемая соот- 7 но!ненняын й'.'= л, 7=1..., т; Л"' „,=1, ! — 1, »а 1! ь'.=0 прн ! — !(О и нри ! — ! ~ 1, у т. е. »гатрица Л 1 0 ... 0 0 0 Л 1 ... О 0 о о л ... о о 0 О О ... Л 1 0 0 0 ...

О Л Оказывается, что для каждой квадрап>ой матрицы А пор дка и можно подобрать такую невырожденную квадратную матрицу Я, что матрица 8=ЛАЯ ', получаемая из матрицы А путем трансформации матрицей 8, имеет жордано ау форму, т. е. состоит из одной 328 довлзление и, линеинхя ллгеврл или нескольких жордановых клеток, расположенных по ее главной диагонали, в то время как все элементы ее, пе входящие в жордамовы клетки, равны нулю.

Покажем это. Пусть Я вЂ” координатное векторное пространство размерности а и А — линейное преобразование, соответствующее (в некоторой системе координат) матрице А. Пусть теперь уь ..., у„— бвзис пространства Й. составленный из серий (см. теорему 30). Мы предположим векторы т'н ..., ~„ расположенными в таком порядке, что векторы каждой серии идут в последователюгости ~„..., у'„ один за другим. Обозначим через В=(Ь'.) матрицу преобразования А в базисе у„..., ~'„, Пусть ь!-У„..., ).=У„ — первая серия, входящая в последовательность ~п ..., у„и 1 — соответствующее собственное значение. Тогда, как это непосредственно следует из определения серии, мы имеем: Ь,'=Л, С=~, „т; Ь,',=1; С=1, ...,~ — ~; Ь'=0 при !+1(/==я и при 1 ~~ =т.

Таким образом, первой серии последовательности ~н ..., ~'„соответствует первая жорданова клетка в матрице В. Точно так же второй серии базиса ~п ..., ~'„будет соответствовать вторая жорданова клетка в матрице В, и т. д. Так как переход от матрицы А к матрице В осуществляется при помощи трансформации (см. ф 34, А)), то В=ЯАЬ' '. Таким образом, предложение Б) доказано. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Лятоматического регулирования теория 218 Лзгоиоммые системы уравнений 103, 108, 251, 279 Ллямара лемма !86 Лчплитуда гармонического колебания 30, 75 -- — — комплексная 76 Лсдронов 244., 249 Лндронова — Витта теорема 271 ли!шлируюший миогочлен ма~рицы 309, 3!1, 312 — — — минимальный 309, 813, 3!4, 315 Лиодиый ток триода 244 Лсимптотпчсская устойчивость 205, 213, 252, 269, 272 Втриации постоянных метод !б, 134, 143 Вскгор 46, 2% — дейсгвителы<ый 46 — комплексный 46 рл хлорные Фуикпии векторного переменного !03 15 кторы, комплексно сопряженные 46 .