Л.С.Понтрягин - ОДУ (Понтрягин Л. С. - Обыкновенные дифференциальные уравнения)

л. с. понтрлгип ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИЗдЛШИт Ч!СТВ!!! ТОт! Л мутттени Мчттистевстч ттт встстттеео и си Вчесо сп иии и ио,о о лт т:ооиччи СССР В Каис'Стсте дчебчс си О тв Стидтч!ттти ттчииеттет т ' О 1!ЗЛАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАК11!1й Ф! !31!КО-А!АТЕМАТИЧЕСКО1т! Л1!ТЕ!тЛТУ!>!т! ЫОСКБА !974 22,161.6 П 56 УДК 517.9 УЧЕБНИК УДОСТОЕН ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПРЕМИИ СССР ЗЛ 1976 г, 1702050000 в 155 053 (02)-82 СОДЕРЖАНИЕ От автора Г л а в а п е р в а я. Введение 8 1.

Дифференциальное уравнение первого порядка 9 2. Некоторые элементарные методы интегрирования 8 3. Формулировка теоремы существования н единственности ... 8 4. Сведение общей системы дифференциальных уравнений к нормальной 8 5. Комплексные дифференциальные уравнения 8 6. Некоторые сведения о линейных дифференциальных уравнениях Г па в а в т о р а я. Линейные уравнения с постояннымн ноэффи цнентамн 8 7. Линейное однороаное уравнение с постоянными коэффициентами (случай простых корней) 8 8, У!инейное однородное 1уравнсппе с постоянными коэффициентами (случай кратных корней) $9.

Устойчивые мпогочлены й 10. Линейное нсодиородное уравнснис с настоянными коэффициентами 8 !1. 3!стол исключения ч 12. Метод комплексных амплитуд ч 13. Электрические цепи 6 !4. Нормальная лнпсйпал однородная система с постоянными коэффициентами 8 !5. Автономные системы дифференциальных уравнений и пх фазовыс пространства $ !6. Фазовая плоскость линейной однородной системы с постояппымп коэффициентами Г л а в а т р с т ь л. Линейные уравнения с переменными коэффициентами, й !7. Нормальная система линейных урависний !8. Линейное уравнение и-го порядка 19. Нормальная линейная однородная система с периодическими коэффициентами Г л а в а ч е т в с р т а я.

Теоремы существования $20. Доказательство теоремы существования и единственности для одного уравнения 8 21. Доказательство теоремы существования и единственности для нормальной системы уравнений 1' $ т Т 13 М 83 6Т 7$ 88 10$ 12$ 12$ 138 14$ 158 содппжднив 22. Непродолжаемые решения 173 23. Непрерывная зависимость решения от начальных значений н параметров 178 4 24 Днфференцируемость решения по начальным значениям я параметрам 185 9 25. Первые интегралы 196 Гла ва пятая. Устойчивость 204 6 26.

Теорема Ляпунова 205 9 27. Центробежный регулятор (ясследованяя Вышнеградского) 218 $ 28. Предельные циклы 224 9 29. Ламповый генератор 244 9 30. Положения равновесия автономной системы второго порядка 251 9 31; Устойчивость периодических решений ........,..... 268 Добарление ), Некоторые вопросы аяалнза ............ 284 $ 3$ Топологические свойства евклидовых пространств ....... 284 9 38. Теоремы о неявных функциях 298 Добавление 11. Линейная алгебра ...........,....... 309 9 34. Минимальный аннулирующнй многочлен,............ 309 , ж 35. Функции матриц 316 36, Жорданова форма матряцы 323 Предметный указатель 329 ОТ АВТОРА Эта книга написана на основе лекций, которые я в течение ряда лет читал на механико-математическом факультете Московского государственного университета. При составлении программы лекций я, исходил из уверенности, что выбор материала не должен быгь случайным и не должен опираться исключительно на сложившиеся традиции.

Наиболее важные и интересные применения обыкновенные дифференциальные уравнения находят в теории колебаний и в теории автоматического управления. Эти применения н послужили руководством при выборе материала для моих лекций. Теория колебаний и теория автоматического управления, несомненно„играют очень важную роль в развитии всей современной материальной культуры, и потому я считаю, что такой подход к выбору материала для курса лекций является, если и не единственно возможным, то во всяком случае разумным. Стремясь дать студентам не только чисто математическое орудие, пригодное для применений в технике, но также продемонстрировать и сами применения, я включил в лекции некоторые технические вопросы. В книге они изложены в й 13, 27, 29.

Эти вопросы составляют неотьемлемую органическую часть моего курса лекций и, соответственно, этой книги. Кроме материала, излагавшегося на лекциях, в книгу включены некоторые более трудные вопросы, разбиравшиеся на студенческих семинарах. Они содержатся в 9 19, 31 книги. Материал, дэдержашийся в й 14, 22, 23, 24, 25, 30, излагался на лекциях частично и не каждый год. Для удобства читателя в конце книги приведены два добавления, которые содержат материал, не входящий в курс обыкновенных дифференциальных уравнений, но сушественным образом использующийся в нем, В первом добавлении (отсутствовавшем в предыдушем издании) изложены основные топологические свойства множеств ОТ АВТОРА расположенных в эвклидовом пространстве, и дано доказательство теорем о неявных функциях; второе добавление посвящено линейной алгебре, В этом, втором издании по новому изложены теоремы о непре- рывноИ зависимости решениИ от начальных значений' и параметров, а также о дифференцируемостп решений по этим величинам.

Сделаны также многие более мелкие исправления. В заключение я хочу выразить благодарность моим ученикам и ближайшим товарищам по работе В. Г. Болтянскому, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко, помогавшим мне при подготовке и чтении лекций, а также при написании и редактировании этой книги. Мне хочется также отметить решающее влияние на мои научные интересы, оказанное выдающимся советским специалистом в области теории колебаний и теории автоматического управления Александром Александровичем Андроповым, с которым меня связывали долголетние дружеские отношения, Его влияние существенно сказалось на характере и направленности этой книги.

Л. С Понтрягин ГЛАВА ПЕРВАЯ ВВЕДЕНИЕ Эта глава посвящена в первую очередь определению тех понятий, которые будут изучаться в дальнейшем, "1то такое система обыкновенных дифференциальных уравнении, что называется ее решением и как много этих решении существует — таковы главные вопросы, на которые дается ответ в этой главе. Количество решений определяется теоремами существования и единственности, которые здесь не доказываются, а только формулируются. Доказательство этих и ряда других теорем того же типа дается в четвертои главе, а до этого сформулированные в первоИ главе 1еорекы многократно используются, чем выясняется их значение.

Кроме этих основных сведений, в первоИ главе приводятся решения дифференциальных уравнений нескольких простеИших типов. В конце главы рассматриваются комплексные дифференциальные уравнения и их комплексные решения и приводятся простейшие замечания относительно систем линейных дифференциальных уравпепиИ. В 1. Дифференциальное уравнение первого порядка Дпфференциаланымн уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного 'или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Если неизвестными функциями являются функции многих переменных, то уравнения называются уравнеппячи в чаегнных ироизеооных, в противном слу.гае, т.

е. при рассмотрении функций только одного независимого переменного, уравнения называются сбыкновеннылш дифференциальными уравненяями. В дальнеИшем мы будем иметь дело только с последними. Так как в ряде фнзйческих применении независимым перемепныи, от кбторого зависят неизвестные искомые функции, является время, которое принято обозначать через 1, то всюду в дальнейшем независимое переменное будет обозначаться через 1. Неизвестные функции будут обозначаться через х, у, а и т. д. Производные функции по 1 введсння 1гл. $ гх ~~х будут, как правило, обозначаться точками: х = †, х = †, и т.

д. ~й ' ЙР В тех случаях, когда это неудобно или невозможно, мы будем указывать порядок производной верхним индексом в скобках; например, 4и) ~ '" с~' В первую очередь мы займемся рассмотрением о д н о г о д и фференциального уравнения первого порядка, т. е. уравнения, в которое входит лишь первая производная неизвестной функции. Уравнение это может быть записано в виде: Р(Е, х, х)=0. Здесь 1 — независимое переменное, х — его неизвестная функция, я'х Х= — — ее производная, а Р— заданная функция трех переменных. яг Функция Р может быть задана не для всех значений ее аргументов; поэтому говорят об области В задания функции Р.

Здесь имеется в виду множество В точек координатного пространства трех переменных 8, х, х. Решенпвлт уравнения (1) называется такая функция х= у(1) независимого переменного 1, определенная на некотором интервале г> <" 1(г, (случаи г,= — оо; гя=+оо не исключаются), что при подстановке ее вместо х в соотношение (1) мы получаем тождество на всем интервале г,(1(гя Интервал г,<'1< га называется интервалом определения решения у(~).

Очевидно, что подстановка к=у(1) в соотношение (1) возможна лишь тогда, когда функция у(1) на всем интервале г,< Е(гт имеет первую производную (и, з частности, непрерывна). Для того чтобы подстановка х= я (1) в соотношение (1) была возможна, необходимо также, чтобы при произвольном значении переменного 1 из интервала г,(1(гя точка с координатами (8, ьЩ ф(1)) принадлежала множеству В, на котором определена функция Р. Соотношение (1) связывает три переменные величины 1, х, У.

В некоторых случаях оно определяет переменное .Ф как однозначную неявную функцию независимых переменных 1, х. В ятом случае дифференциальное уравнение (1) равносильно дифференциальному уравнению вида ,к ~Я, х). (2) Дифференциальное уравнение (2) называется разрешенным относительно производной; оно в некоторых отношениях более доступно для изучения, чем общее дифференциальное уравнение (1).