Л.С.Понтрягин - ОДУ (Понтрягин Л. С. - Обыкновенные дифференциальные уравнения), страница 59

+ ам г~+ „, (3) уравнении (4) мпогочлен гр (г) обращается в нуль на спектре матрицы А в потому в силу ранее доказанного делится на многочлен Ь(г), а так как он имеет степень не выше а — 1, то он тождественно равен мулю. Такпи образом, предложение А) доказано. Ь) Пусть А — действительная матрица; тогда минимальныи аниу-, лируюптий ее мпогочлен Ь(г) действителен (см. ~ 34, Д)) и потому иаряду с каждым его корнем Л, (см. (1)) имеется комплексно сопряженный ему корень Хч той же кратности, Оказывается, что если числа (3) удовлетворяют условиям: эл~кцйн мкп иц — аналитическая функция комплексного переменного г, заданная рядом (8) с радиусом сходимости р, так что при ~г~< р ряд (8) сходится, а при ) г~ ",ьр он расходится.

Для дальнейитего напомним, что ряд $'(г)=а~+2аяг —,'- ... -+та,„г'""+ ..., получаемый из ряда (8) путем формального дифференцирования, имеет тот же радиус сходимости, что и ряд (8), и сходится внутри круга сходимости к производной г'(г) функции ~(х). Может случиться, что, подставляя вместо г в ряд (8) матрицу А, мы получим сходящийся матричный ряд ~(А)=аьЕ+а,А+ ... +а А + ... (9) (Матричный ряд называется сходящимся, если' числовой ряд, составленный из элементов, стоящих в 1-й строке и )-м столбце, сходится при любых г, ) = 1, ..., и.) В этом случае говорят, что функция «(г) определена на матрице А. Т е о р е и а 29. Сохраним обозначения предложения А).

Если, все собственные значения матрицы А лежат внутри круга сходпмости ряда (8), т. е. ~)ч ~(р, 1=1, „«, то матричный ряд (9) сходится, так что матрица «(А) определена. Числа Х(~Д, 1=1... «, (1О) среди которых, возможно, есть совпадающие, составляют совокупность всех собственных значений матрацы У1'А). Далее, если собственные значения 1; матрицы А лежат и в круге сходимоспнгряда, определяющего некоторую функцию д(г), так что матрица и1А) определена, то для совпадения, матриц 1(А) и и 1'А) необходимо и достаточно, чтобы функции г 1г) и и(г) совпадали на спектре матрицы А.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Составим частичную сумму (г) = аь+ а, г+ ... + а г~ ряда (8); тогда при ~г((р мы имеем: ~т()' Ф-сО Пусть, далее, ч,и (г) — мпогочлен степени ~ й — 1, совпадающий с миогочленом г" (г)на спектре матрицы А(см. А)). Так как собственные значения (2) матрицы А удовлетворяют условию ~ Х~ 1(р, 2=1, ..., «, то мы имеем: 11щ ~'яР,.)=~1'1(хд, 1=0, ..., Уг; — 1, 1=1, „„«, 320 дозлвление и.

линвинля алгеврл Из этого в силу предложения А) следует, что последовательность многочлеипв ч (г) покоэффициентно сходится к некоторому много- члену ~р(г) степени =:-И вЂ” 1, причем многочлен ~р(г) и функция р'(г) совпадают на спектре матрицы А. Так как миогочлены р (г) и р (г) совпадают на спектре матрицы А, то мы имеем: ~,„(А) = э,„(А); при т — ьоо правая часть стремится к р(А), а это значит, что и левая часть при и-+со сходится. Таким образом, ряд (9) сходится и матрице р(А) =1 (А).

Докажем теперь, что миогочлеи 1'(г)=1» — Р(Л)]" 1» — Р(Ла)]'" " 1» — Р(Л,)]" аннулирует матрицу р'(А). Для этого рассмотрим многочлен Ф (~)=И (г) — 9 (Л)] 'гр () 9 (Л)] ' '' ° ... (ср,„(г) — ср (Л„)] ' (11) я покажем, что он аннулирует матрицу А. Многочлен ~р„(г) — ~р (Л;) обращается в нуль при г = Лг и погому он делится на дзучлен а — Хв Таким образом, многочлен (11) может быть записал в виде: фи (г) = 1 т (г) Ь (») и потому мпогочлен Ф (г) аннулирует матрицу А, т.

е. (р„(А) — р (Л,)Е]" 1ч.(А) — р.(Л,)Е]гн ... ... 1р,„(А) — р,„(Л ) р:]" = 0. Переходя в этом соопкииеиии к пределу при гл-~-со, получаем; К(А) — У(Л~) Е]"!У(А) — У(Ля) Е!'-' ... У(А) — У(Л,) Е]" =-- О, а вто и значит, что многочлеи Г(г) аннулирует матрицу г'(А). Из доказанного, в частности, следует, что все собственные значения матрицы р'(А) содержатся среди чисел (10) (см. % 34, Е)).

Докажем, что каждое число (1О) является собственным значением матрицы р'(А). Пусть Ь; — собственный вектор матрицы А, соогвегствуюший собственному значению Ли так что АЬ, =Л,Ие В силу формулы (6) $ 34 из этого следует: ~,„(А) Ь; =,Р,„(Л;) Ь;. Переходя в атом соотношении к пределу при ию оо, получаем: т (А) Ь~ — )" (Лч) Ьп Таким образом, число „~(Л,) есть собственное значение матрицы г'(А).

321 функции млтриц Допустим теперь, что круг сходимости функции е.(г) также содержит все собственные значения матрицы А. Тогда в силу доказанного матрица д(А) определена и существует миогочлен ф(г) степени «-л — 1, совпадающий с функцией д(г) на спектре матрицы А, причем ф(А)=п(А). Если теперь ~(А)=й(А), то у(А)=ф(А), м ° силу предложения А) многочлены ср(з) и )(г) совпадают на вцентре матрицы А, а следователыю, и функции г"(з) и д(з) совпадают на спектре матрицы А. Обратно, если функции у(з) и д(з) совпадают на спектре матрицы А, то многочлены у(г) и ф(г) также совпадают на спектре матрицы А, и потому в силу А) в (А) = ф (А), но тогда и ~(А)=е'(А). Таким образом, теорема 29 доказана.

Неявные функции матриц Пусть г" (г, те) — функция двух комплексных переменных, заданная рядом г" (г,та)=а+ Ьг+ств+Ыгэ+егте+Рма+... (12) При перемене порядка сомножителей в членах этого ряда (например, ири замене произведения з"аР на теЬх') функция Р(з, тв) не меняется. Поэтому при подстановке в ряд (12) матриц А и В вместо еге аргументов г, те естественно ограничиться случаем, когда матрицы А и В перестановочны между собой. Если ряд (12) сходится при любых значениях переменных д, а~, то можно доказать, что, подставляя в этот ряд вместо з и та любые перестановочные матрицы А и В, мы получим сходящийся матричный ряд, который определит некоторую матрицу, обозначаемую через г".(А, В). Однако доказывать сходимость эгого ряда в общем случае мы не будем, так как ниже рассматриваются лишь такие частные случаи, в которых имее.гся к о и е ч н о е ч и сло членов, зависящих от г, так что фактически речь идет о сходящихся рядах одного комплексного переменного те.

В) Пусть г" (з, те) — аналитическая функция двух переменных, определенная рядом (12), сходящимся при всех значениях г, тв, и А — заданная матрица, Пусть, далее, каждому собственному значению Х, матрицы А поставлено в соответствие число ри удовлетворяющее условиям д г'Р. Р)ФО 1=1,..., Г. (13) д Тогда существует перестановочная с А матрица В, удовлетворяющая условию Г(А, В)=0. (14) Далее, если коэффициенты ряда (12) и матрица А действительны и если для каждых двух' комплексно сопряженных собственных довлвлщ!ие !!. лг!неп!!Ая АлГеБРА вначений Л! и Л~ — — Л! матрицы А соответствующие числа рч и р. также комплексно сопряжены: р,=р,, то существует действительная перестаповочная с А матрица В, удовлетворяющая услови!о (14).

Докажем предложение В). Из соотношений (13) в силу теоремы о пеявпых функциях комплексного переменного следует, что для любого 1=1,..., г существует функция И'(г)=Ж;(д), определенная для значений х, близких к 1ч, и удовлетворяющая условиям е(г, ю(г))=0, Г(Л,.)=рч, 1= — 1,..., г. (15) (16) Для нахождения производных 1т'1~'(Л;) функции В'(а) в точке г=Л! нужно последовательно дифференцировать соотношение (15) по г, подставляя в нем затем а=Л,; (1 7) Из этих соотношений мо:кпо последовательно определиггь числа В"~'(Л!), у= 1,..., л; — 1, 1=1,..., г. (18) Исходя нз чисел (18), (18), построим ыпг>го!лен ср(г), удоплегпоряющий условиям (4).

Покажем, что матрица В=ср(А), очевидно, перестаповочпая с А, удовлетворяет условию (14). Для доказательства подставим и ряд (12) значение то= ~(а). Мы получим тогда фуикци!о Ф(а)=Г(г, ср(г)) переыенноио г. Для докавательства равенства (! 4) достаточно установит!ч что функция Ф (д) равна нулю на спектре матрицы А (см. теорему 29). При вычислении производных Ф! ! (Л;) функции Ф(а) в точке Лн /= О, 1,..., л, — 1, мы можем многочлен у(г) заменить функцией 1р'(а), так как у этих функций производные порядков О, 1,..., /г! — 1 в точке Л, соответствещю равны.

11о при замене в Г(х, у(а)) многочлена м(х) функцией %'(а), определенной вблизи Лн мы получаем тождественный нуль (см. (1о)). Таким образом, функция Ф(г) обращается в нуль па спектре матрицы А. Дока>кем теперь, что если коэффициенты ряда (12) и матрица А действительны, а числа р; удовлетворя!от условиям сопряженности, т. е. 1р'(Л,) = Ю'(Л!), г = 1, ..., г, то многочлеп т(а), а следовательно, и матрица В = 4~ (А) действительны. В самом деле, прл этих предположениях числ1 !1:ч" (Л,), вычисляемые из условий (17), удовлетворяют условиям (б), и потому многочлен ~(~) действителен (см.

Б)). Итак, предложение В) доказано. жОРдАноВА ФОРмл матрицы Г) Аналитическая функция е' комплексного переменного и определяется рядом ' =1+'+гТ+ "'+ 1+ '"' (10) который сходится при всех значениях переменного я. Как известно, для двух произвольных комплексных чисел л и гв имеет место тождество е'+"=е' ея', вытекающее нз свойств ряда (10). Отсюда слеаует, что для двух перестановочных между собой квадратных матриц А н В имеет место тождество еА+  — еА. ев (20) Оказывается, что для любой невырожденной матрицы А существует перестаповочная с А матрица В, удовлетворяющая условию ев — А (21) Далее оказывается, что для любой действительной невмрожденной матрицы А существует действительная матрица Вт, нараагнмннощан с А и удовлетворяющая условию ев~ Аа Для доказательства разрешимости уравнения (21) отмфснтельнф В достаточно применить предложение В) к функции Р(х,тн) же~ — д.

В самом деле, так как матрица А ненырождана, то все ее собственные значения Л; отличны от нуля, и потому существуют числа 1ь ° удовлетворяюшие условию е~я — Л;=О (см. первое из соотнотненнй (13)), причем второе из соотношений (13) здесь, очевидно, выполнено. Для доказательства существовании действительной матрицы Ва, удовлетворяющей условию (22), достаточно к функции Р(х, м)~ е~ — я' применить вторую часть предложения В). В самом делаь если Л; есть действительное, положительное или отрнцательиоа чясло, то положим р;=1пЛ1, взяв действительную ветвь логарифма, Если же Л,— комплексное число, то за В(Л,.) н Ю(Ц) можно принять комплексно сопряженные числа. Итак, предложение Г) доказано.