Л.С.Понтрягин - ОДУ (Понтрягин Л. С. - Обыкновенные дифференциальные уравнения), страница 58

Таким образом, существует вектор х, для которого Г(А)х=Ь'~ьО, и мы имеем О=Л(А)х=(А — ЛЕ) Г (А)к= =(А — >Е) К и, следовательно, Ай'=)К так что )с есть собственное значение матрицы А. Итак, предложение Е) докааано. Координатно вектор>сое пространство Я, смотря по надобности, может рассматриваться как действительное, когда в нем берутся только векторы с действительными координатамн„илн как комплексное, когда в нем берутся векторы с комплексными координатами. Если х=(х',..., к") есть вектор комплекс>юго пространства тс, то х=(к',..., х=) есть вектор, комплексно сопряженный в х, Если 8 есть подпространство комплексного пространства >х, .о подпространство Я, составленное из всех векторов, комплексно сопряженных с векторами из 8, считается комплексно сопряженным с подпространством Я. Комплексное (или действительное) пространство )с считается разложенным в прямую сумму своих подпространств Я, и 8м если каждый вектор к из Я может быть, и притом единственным спосо- Г>ом, записан в виде суммы: к=к,+хь гле вектор к; принадлежит подпростраистиу Я,, 1= 1, 2.

>К) 11усгь Л(л) =Л,(а) Ла(г) — разложение минимально>о ацнулирующего матрицу А многочлена на два взаимно простых множителя. Обозначим через 8, (У= 1, 2) линейное подпространство пространства Я, состояп~ее из всех векторов к из Я, удовлетворяющих условию Л;(А) к=О, где А — преобразование с матрицей А. Оказывается, что пространство Й распадается в прямую сумму своих подпространств 8, и Я,. (Если матрица А комплексиа, то в формулированном здесь утверждении пространство >с следует считать комплексным.) Допустим теперь, что матрица А действительна; тогда следует отметить два важных случая.

1) Множители Л>(г) и Ла (а) действительны; тогда пространство Я и его подпространства 8, и Яа можно считать действительными. 2) Множители Л>(г) и Л,(г) комплексно сопряжены мемсду собой; тогда пространство Й следует считать камиле>ссным, а его подпространства Я> и 8я оказываются комплексно сопряженными., Докажем предложение Ж). Так как множители Л> (г) и Л„(г) взаимно просты, то имеет место тождество 1 =Р> (а) Л> (а)+Ря (а) Лэ(з)> ь1ИНИМАЛЬНИЙ АННУЛИРУЮЩИИ МНОГОЧЛЕН где р,(г) и р«(г) — падле;кадки образом подобранные многочлены (см. (б)).

Заметим, что если множители Л,(г) и Л«(г) действительны, то многочлены р,(г) и р,(г) могут быть выбраны действительными, так как они получаются при помощи алгоритма деления из много- членов Л,(г) и Л„(г). Пусть теперь х — произвольный вектор из ф в силу (7) имеем-. х = р, (А) Л, (А) х + р, (А) Л, (А ) х. Полагая х~ — — р«(А) Л«(А) А", х, = р, (А) Л, (А) х, мы получаем разложение х= х, + х,„причем Л,(А) х, = Л,(А) р«(А) Л„(А) х=р,(А) Л(А) х=О, Л«(А) х« = Л, (А) р, (А ) Л, (А ) х = р, (А) Л (А) х = О, так что вектор х; принадлежит подпространству 8и Если теперь х= х~ + х« — какое-либо разложение вектора х в сумму, в которой х'; принадлежит 8д (7=1, 2), то в силу (7) мы имеем: х ~ — — Р1 (А) Л » (А) х~+ Р«(А) Л«(Ф х~ —— Р«(А) Л«(А) Ф + х«) = хь точно так же ха=х«, и единственность разложЕния доказанж Если матрица А действительна и множители Ь,(г) и Л«(г) действительны, то, исходя из действительного вектора х, мы получаем действительные векторы хт и х,.

Если же матрица А действительна, а множители Ь,(г) и Ь«(г) комплексно сопряжены, то векторные подпространства 8, и 8, в силу самого своего определения комплексно сопряжены. Таким образом, предложение Ж) доказано. 3) Пусть А — линейное преобразование п-мерного пространства )т', Ль Ля ° Л« — совокупность всех собственных значений этого преобразования, Ь (г) =(» — Л,)"~ (г — Л,)ь~...(г — Л,)ь« — минимальный аннулирующий многочлен преобразования А и 0 (г) = ( — 1)" (г — Л,)«~ (а — Л«)«~... (г — Л,)«« -- характеристический многочлен преобразования А. Так как многочлен 0(а) делится на многочлен Ь(г), то 7=1, ..., г. В силу предложения Ж) пространство К разлагается в прямую сумму своих подпространств 8п 8«, ..., 8„где 8, состоит из всех векторов х, удовлетворяющих условию (А — Ъ гЕ) ' х = 9.

ЛОПАВЛП1ИЕ Н. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Оказывается, что размерность пространства 8> равна >у>. Число >у> называется нратностаю собственного значения ), ЛЛокажем, что размерность пространства 8, равна >)>. Пространство 8, инвариантно относительно преобразования А, т. е. А8, содержится в 8>, Таким образом, если в пространстве 8; выбран некоторый базис, то преобразованию А„ рассматриваемому на 8п соответствует некоторая матрица А, порядка рн где р, — размерность пространства Ь;. Если базис пространства лс составить из базисов всех пространств 8п то в полученном базисе преобразо.

ванию А будет соответствовать матрица А, состоящая из магриц А„.. „А„расположе>шых вдоль диагонали матрицы А. Из этого видно, что характеристический многочлен преобразования А прос>- ранства )с будет равен произведению Р>(3) Рл(а) ... Р (а), где Р>(а) — характеристический мпогочлен преобразования А, рассматриваемого на подпростраистве Ь;.

Так как д;(г)=(г — Л>)»> есть. анпулирующий мпогочлен преобразования А на подпространстве 8п то преобразование А па Ь; имеет лишь одно собственное значение Л,, и потому характеристический многочлен Р; (г) имеет вид ( — 1)л>'( — Л;)Р>, ибо степень его равна порядку ма>риц». А>, т. е. размерности р> пространства 8;. Следовательно, мы имеем Р(г) = а=( — !)" (д — Л>)>'> (а Лл)Р> ... (» — Л )~~, и потому яу> = >7> (см. (8)). Таким образом, предло>кение 3) доказано. ф 35. Функции матриц В этом»араграфе мы пе будем делать разли'шя между преобразованием А и соответствующей матрицей А, так как система координат не будет меняться. Кроме того, в этом параграфе будут использованы неко>орые сведения из теории функций комплексного переменного (см., н>п>ример, И. И.

П р и в а л о в, Введение в теори>о функций комплексного перел>еппо>о„ф:>зл>атгиз, 19>10). Матричные степенные ряды Л) (!усть д(г)=(г — Л>)"'(г — Лл) "...(а — ).,)"" 1>>)0, 1=1, ..., г, Л>+Ля+...+й,=>г — минимальный анпулирующпй многочлеп ма>рицы А, причем Л,Л„..., )., (2) — его попарно различные корни. В силу предложения Е) ф 34 числа (2) составл ног совокупность всех собственных значеш>н ма>рицы А. Функции млтгиц 31т Говорят, что на слеггтре малтрпцы А задана функция Ю, если каждому собственному значению Л,. матрицы А поставлена в соответствие последовательность чисел 1рч01 () Я) и/11) (Л,) 1г [аг ы (Л,) г 1 г (3) Если Ф(а) — некоторая функция комплексного переменного з, голоморфная в точках Л,, то, понимая под числами (3) значение самой функции и ее производных до порядка Ь,— 1 в точке Лн мы получаем функцию, заданную на спектре матрицы А.

Если для двух функций комплексного переменного г значения (3) соответственно совпадают, то говорят, что эти две функции совладают на слекире матрицы А. Оказывается, что два многочлена У'(г) и Лг(г) тогда и только тогда совпадают на спектре матрицы А, когда У(А)=Ь(А). Далее оказывается, что, каковы бы ни были произвольно заданные числа (3), всегда существует единственный многочлен ~ (г) степенп :,Ь вЂ” 1, значения которого на спектре матрицы А совпадают с числами (3), т. е. усп(1ч)=ру"1(Л,), у=0, ..., Ь,— 1,' 1=1, ...„.г.. (4) При этом коэффициенты многочлена у(г) являются линейными функциями величин (3) и потому непрерывно зависят от них. Докажем эти утверждения. Положим Ь (з) =у (з) — х (г).

Если ~(А)=у(А), то Ь(А)=0. Далее, если значения многочленов ~(г) и д(г) на спектре матрицы А совпадают, то функция Ь(г) на спектре матрицы А обращается в нуль. Таким образом, чтобы доказать ту часть утверждения А), которая относится к многочленам у(г) и Ьг(г), досгагочцо доказать, что многочлен Ь(г) тогда и только тогда аппулнрует матрицу А, когда он обращается в нуль на спектре этой матрицы. Докюкем э1 о. Допустим, что многочлен Ь (г) аннулирует матрицу А; тогда в силу предложения Д) Э 34 он делится на много- член А(г) и потому имеет число )ч своим корнем крапностн не меньше Ь,.

(см. (!)), а нз этого следует, что он обращается в пуль па спектре матрицы А. Если многочлеп Ь (г) обращается в нуль на спектре матрицы А, то он имеет число Л; своим корнем кратности не меньше Уг, и потому делится на многочлен Ь(г) (см.

(1)), откуда следует, что Ь(А)=0. Докажем теперь ту часть предложения А), которая относится к функции ср (г). Совокупность соотношений (4) можно рассматривать как систему линейных уравнений относительно коэффициентов многочлена ~р(г); система эта имеет Ь уравнений и Ь неизвестных. Для доказательства утверждения А) достаточно установить, что детерминант этой системы отличен от нуля, а для этого в свою очередь достаточно доказать, что в случае обращения в нуль правых частей этих уравнений имеется лишь нулевой многочлен у(г), удовлетворяюцшй условиям (4).

В случае обращения в нуль правых час~ей ДОБАВЛЕНИЕ Н, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА %"'!(Л!)=ЪГ"'(Л,), 7'=О...,, й,— 1, 1=1, ..., г, (6) то многочлен !у(г), определенный соотношениями (4), действителен, и потому матрица ср(Л) также деиствительна, Для доказательства предложения Б) обозначим коэффициенты мвогочлена 4!(г) через ~!...,, у~. Систему уравнений (4) относительно неизвестных ср!...„ср» можно, не вникая в подробности, записать теперь в ниде: Система эта в силу условий (б) обладает тем свойством, гго наряду с каждым ее уравнением в ней имеется и комплексно сопряженное ему уравнение, т. е. уравнение ~~~~ ~а <~а а=! 11ерейдем теперь от равенств (6) к сопряженным им равенствам » "! ', с".

Г= Е (7) Совокупность соотношения (7) представляет собой систему линейных уравнений относительно неизвестных ~р», ..., 1!~. Однако ввиду формулированного свойства системы (6), система уравнении (7) совпадает с ней, отличаясь, быть может, лишь порядком нумерации уравне!гий. Так как система (6) имеет отличный от нуля детерминант, то два ее решения рг, ..., у" и !уг, ..., р» совпадают между собой; я'= р", а = 1, ..., !(, а это и означает, что числа с»», ..., '»» действительны. Такнл! образом, предложение Б) доказано. Пусть у (а) = а» -!- а! г + ая г'- + „.