Л.С.Понтрягин - ОДУ (Понтрягин Л. С. - Обыкновенные дифференциальные уравнения), страница 56

Доказательство теоремы 27. Для того чтобы применить к уравнению (4) метод последовательных приближений, перепишем это уравнение в несколько измененном виде. Для этого положим д ~~~ — дхУУ (~«> х«)> ~ У= > ° ° ° ° « Так как функциональный определитель ~ дд> >>, х) ~ отличен от нуля в каждой точке ф х) открытого множества Г, то матрица В=(Ь«) имеет обратную матрицу В '. Систему уравнений (1) ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯХ 301 перепишем теперь в виде: ~Ь~х/=~~;Ь'х./ — у/(~, х), 1=1, ..., и. (10) / Правую часть соотношения (10) обозначим через Ь'(Ф, х). В силу соотношения (9) мы имеем, очевидно: -д Ь'(ам х,)=0, г, /=1...,, л.

(11) В векторной форме уравнение (10) можно записать в виде: В«=ЬР, х). (12) Применяя к этому соотношению ма~рину В ', получим эквивалентной ему соотношение х=йф, х), (13) где у(С, х)=(х'(Ю. х), ..., д" (Ф, х))=В 'Ь(Ф, х). Ив соотношений (11) следует: 3 д / й (~ю хе)=0. (14) Так как, кроме того, уравнение (13) эквивалентно уравнению (4), а точка (й„х,) удовлетворяет уравнению (4), то она удовлетворяет и уравнению (13), .т.

е. й(ам хе)=хе. (15) тгн Ф=й'И, тРИИ. (16) Мы будем писать (используя «операторные» обозначения) тун = А тр. (1У) Мы перейдем теперь к построению такого семейства ь1 непрерывных функций трф), что оператор А переводит каждую функцию семейства 2 в функцию, также принадлежащую этому семейству, и является сжатым на семействе ьа. Выберем два таких положительных числа 4 и а, что при ~С вЂ” ~„1==„д, 1х — х,!~а (18) точка (г, х) принадлежит открытому множеству Р и для нее выполнены неравенства фа"«, )~ (19) 10 Пннтрнкнн Л, С. К уравнению (13), удовлетворяющему условиям (14) и (1б), мы и применим метод последовательных приближений.

Именно, мы поставим в соответствие векторной каждой функции «=»р(Ф) векторного переменного Ф функцию трн(С), положив 302 довлвлснив ь некотовые вопросы анализа где л — некоторое число, удовлетворяющее условию 0(Д(1. Это ду~(г, х) возможно, так как множество Г открыто, а производная непрерывна и обращается в нуль в точке (1м х,) (см. (14)). В силу формулы (6) 3 21 для любых двух точек (С, х) и (1, у) множества (18) выполнено неравенство 1д(т, х) — д(т, у)1~л1х — у~ (20) (ср.

(19)). Далее, так как фуикпия д(С, х) непрерывна, то су~пествует настолько малое положительное число г~ у, что 1д(~, х,) — д'(С,ь х„)~((1 — л)а при 1а — С,~< г. (21) Полагая в неравенстве (20) у=л,ь мы получаем из (20) и (2!) (при ~ х — ха ! ( а, ~ С вЂ” 1я ) = г); 1д(т, х) — х,!=!д'(1, х) — а(та, ха)! ~ ~ д'(~, х) — д'(г, х,) ! + ! д'(~, х„) — д'(г„х,) ~ ~ ~= Д! х — хо! + (1 — /г) а Таким образом, ~у(т, х) — х,! =а (22) при условии, что !т — т„~~г, 1х — х„)~а. (23) Так как г=с.д, то для любых двух точек (г, х) и (т, у) множества (23) выполнены оба неравенства (20) и (22).

К семейству !3 причислим каждую определенную на замкнутом шаре )С вЂ” Ц=-г непрерывную фун' !ию юр(Ф), удовлетворяющую на нем условию (<р(т) — ха!="а. Из неравенства (22) следует, что каждая функция семейства 11 переводится оператором А в функцию того же семейства, а из неравенства (20) следует, что оператор А является на семействе !а сжатым: !!АФ вЂ” А р!~~41!Ф вЂ” р!! для гнобых двух функций «р, тр семейства !3.

Из этого следует (ср. стр. 167 — 168), что в семействе Я существует единственная функция у, удовлетворяющая условию (24) или, иначе, тождеству (23) ~р(е)=д(~, р®), которое эквивалентно тождеству (5). Докажем теперь, что если точка (т, х) принадлежит множеству (23) и удовлетворяет уравнению (4) (или, что то же, уравнению (13)), то ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯХ она удовлетворяет н уравненшо х ч (г). (26) В самом деле, в силу (20) мы имеем: ~х — р(1)!=1д(1, х) — д(1, р(1))~==й'х — ~р(1)~. Но так как А«~1, то это возможно лишь в случае, если х=~р®. В частности, так как точка (Ф„х,) удовлетворяет условию (6), то она удовлетворяет и условию (7).

Итак, мы построили ре1пение х=~р(1) уравнения (4), Определен- ное на открытом множества О, определяемом неравенством 1ь — Ц«. г, и открытое множество Ц, содержащее точку (вь, хь), определяемое неравенствами ~ С вЂ” 1, ~ (г, ! х — х, ((а, для которого имеет место единственность. Таким образом, теорема 27 доказана. Теорема 28. 7ак же как в теореме 27, предположим, что функциональный определитель отличен от нуля в каждой точке (в, х) открытого ииозкест- ва Г; кроме того, предположим, что частные производные дУ~(Г, х) р=), ..., й;1=1, ..., и, дгг также определены и непрерывны на всем множестве ь'.

Оказы- вается тогда, что любое решение х=~р(Ф)=(~ра(Ф), ..., ар-(в)) д~р~ (С) уравнения (4) имеегп непрерывные частные производные — „, р= дг" =1, ..., и, 1=1,, и, на всем 'открытом множестве О опре- деления этого решения, Доказательство. Пусть 1ь — произвольная точка открытого множества О, на котором определено решение х=~р(1) уравнения (4) и х,=гр(Ф,). Покажем, что в некоторой окрестности точки Ф, частные дт~ производные --'р существуют и непрерывны.

Пусть а и д — такие положительные числа, что при 1с — Гь!=.- д, ) х — х,1~а точка (1, х) принадлежит открытому множеству Г, точка ф принадлежит открытому множеству О, а функция гр(Ф) удовлетворяет условию ~ ср(1) — хь )(а. ,цля вычисления производной — р обозначим через вр единичный вектор /ымерного векторного пространства Т, направленный по р-и 10' 304 довлвлвнив к нвкотогыя вопяосы лнллизл осн, и положпм г„=Г,+~ер, где Ф, — вектор пространства 7, а т —. действительпое число.

Тогда мы имеем: = 11ш (28) Таким образом, функция ~'(Гн )= т "),™ (29) Д„ф является предварительным частным прп вычисления производной — р. ~Р' Выберем настолько малое положнтельпое число г, что прн ~Г1 — т»~к г, ~я~(г векторы а, н Ф, удовлетворяют условию ~С,— Г,~ С.(1, ~~,— Ь,~<'Ц. Множество (27) выпукло, и потому к разности У'(г гРА)) — У*И чА)) которая равна нулю, мы можем применить лемму Адамара. Именно, мь1 имеем: ~'(г, гр(гя)) —.г'»и грЫ) = л л = 'Я Н,'(Гь т)((',— Н,)+ '!>', К',(Фн я)(ч,'И~) — ~'Ж)=0 ! ! (30) где Л',(гь я) и К'($~ т) определены и непрерывны при 1Г, — Г„1 ~~г ~ с(с г. Так как К,.р,, 0)= ~,-у*(г„х,), а функциональный определитель отличен от нуля, то при достаточно малом гопределитель 1К'(Еь т)~ отличен от нуля.

Считая, что т-ЕО, и деля соотношение (30) на т, получаем. к~ (~ ) у~ (г,~) ею' (г, ) (31) 7 =. ! Эта система уравнений относительно функций ф1(йп я) разрешима, и мы получаем: Ф~Иь т)=Х (гь ') (32) где фУнкциЯ У фь ~) непРеРывна и опРеделена пРи Условии 1г — Г„1< "г, 1я~(г, не исключая значения т=0, так как коэффициенты н пра- теоэемы о неявных вунхциях вые части системы (31) определены для этих значений и определитель этой системы отличен от нуля. Соотношение (32),где слева стоит функция, определенная лишь при я ~ О, а справа — функция, определенная и непрерыюгая при произвольном ~т~< г, при переходе к пределу дает: 11 )'(Иь т)=)('(ть О).

(33) Соотношения (28), (29) и (ЗЗ) показывают, что производная — ' ьрт(г,) существует и непрерывна при ~ Ф, — 1, ~ < г. Таким образом, теорема 28 доказана, 11 р и м е р ы 1. Пусть Я вЂ” пространство переменных х',,„, х", а — некоторая точка из Й и иГ(х)=и~(х', ..., х'), /=1, ..., и, (34) — система функций, определенных на некоторой окрестности точки а. Мы будем предполагать, что эти функции, так же как их частные дит(х) производные —; —, непрерывны и что определитель функцио- И 7(х)1 пальной матрицы ~ †,. ) отличен от нули при х=а. Тогда в силу дкг непрерывности он отличен от нуля и в некоторой окрестности точки а. Пользуясь функциями (34), мы можем в некоторой окрестности точки а вместо координат х', ..., х" точки х ввести новые координаты у'..., у" той же точки, положив у~=и'(х', ..., х"), 7'=1, ..., и, (35) или в векторной форме у=и(х).

(36) Действительно, в силу теоремы 27, систему скалярных уравнений (35) или, что то же самое, векторное уравнение (36) можно разрешить относительно х. Именно, можно получить векторное реше- ние х=п(у). (37) у=и(о(у)) ' (38) по переменному у, причем и (Ь)= а. В силу теоремы 28 компоненты э'(у), ..., и"(у) вектора е(у) имеют непрерывные производные по переменным у',, „> у". определенное в некоторой окрестности точки Ь = и (а) переменного у, удовлетворяющее тождеству 306 ДОВАЕЗ!ЕНИЕ !. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА Докажем, что наряду с тождеством (38) имеет место тождество (39) х=о (п(х)) по переменному х.

Лля этого рассмотрим уравнение ( )=- (з) (40) гп!Коснчельио неизвестного вектора г= — (а!, ..., г"). Мы имееа! очевидное ре!пение з=х этого'уравнения. 1)оде!гвим теперь в тождество (38) вместо у фуикцшо гг(х); тогда мы получим тождество ио х: п(х) =п(о(м( ))), ц!(х)==в/(х1, ..., хл), /=-1,, л (4 1) — система функций, определенных иа некоторой окрестности точки о. М!а будем предполагать, что функции (41), так же как их частные дмт(х) производные —, непрерывны, В фупкниональной матрице —,-), г=1...„, л, )=1, ..., /;, ~ —.-) ° = дн!(х)! дх! (42) будем считать, что индекс ~ указывает номер строки, а ! — номер столбца, так что матрица (42) имеет А строк и и столбцов. Заметим, что ~-я строка диг(х) д!!1(х)~ д' "" д' ) представляет собой градиент функции и'(х). Если ранг этой матрицы в точке !х равен !)г, то, в силу непрерывности, он равен А и в некоторой окрестности точки а. В этом случае функции (41) называются иезав!!спмаоги.

В случае, если ранг матрицы (42) меньше А на некоторой окрестности точки а, функции (41) называ!отся заадсплты,мг!. которое показывает, что решением ураи!ения (40) является функция а=о(и(х)). г)о, в силу единственности, это решение должно совпадать с ранее указанным ре!иеинсм г=х, и потому мы имеем х= =-о(и(х)). Таким образом, тождество (39) имеет место. Тождества (38) и (39) и показывают„что преобразования (36) и (37) явля!отся взаилшо обратнь!ми и могут служить для дифференцируемого преобразования координат х', ..., х" в координаты у', ..., у" и обратно в некоторой окрестности точки а пространства Й.

2. 11усть )с — пространство переменных х', ..., х", а — иекоторги! точка э!ого пространства и ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯХ Если й< л и система функций (41) независима, то ее можно дополнить функциями и"+' (х)...,, и" (х) до независимой системы функций и!(х) иь(х) ип(х), (43) В самом деле, матрица (42) при х=а постоянна и строки ее линейно независимы. Эту матрицу можно дополнить постоянными стро каин ло квадратной невырожденной. Добавленные строки можпф считать градиентами линейных функций ивы(х)...