Л.С.Понтрягин - ОДУ (Понтрягин Л. С. - Обыкновенные дифференциальные уравнения), страница 57

и" (х). Докажем теперь нижеследующее важное предложение: допустим, что функции (41) независимы, а функция тв(х) такова, что система функций по переменному х, Иначе говоря, функция тп(х) ватраааваевасм через функции (41). Для доказательства этого предложения дополним независимую систему (41) до независимой системы (43) и введем при помощи ней новые координаты по формуле (36) примера 1, положив у=и(х), Пусть х=е(у) — обрашение этого соотношения (см. (37)). Положим 1Р'(у) = тв (о (у)).

(46) Определенная таким образом функция %" (у)= Ю(у', ..., у") в действительности зависит только от переменных у', ..., у (это мы докажем ниже) и является искомой функцией 1Х'(у', ..., у ). В самом леле, подставляя в соотношение (46) у=и(х), мы, в силу тождества (39), получим: )р'(и'(х), ..., и'(х)) =то(х), что совпадает с локазываемым соотношением (45), Остается доказать, что функция (46) не зависит от переменных у"+', ..., у", Для доказательства обозначим через у" одну нз этих переменных и докажем, что —,- =О.

дК (у) дуп (47) Мы имеем: и дтТг(у) Чь1 дтв (х) до' (у) ду~ .~~ дкт дуг ~=! (48) ~~'(х).. ", ~~'(х), ~ (х) (44) уже зависима. ТоМа существует такая функция %'(у', ..., уа) с непрерывными производнымит что выполнено тождество тв(х) = 1ь'(и'(х), ..., иь(х)) . (45) 308 довлвлвннв !.

некотогые вопгосы лнллизл Так как система (41) независима, а система (44) зависима, то градиент функции га линейно выражается через градиенты функций (4!), т. е, дш (х) ди' (х) див (х) —; — =а, —,-+...+ая — —, г=1...,, и, (49) дх дл "' дх где ан .. ая — некоторые функции от х. Умножая соотношения (49) д.г(„)' ма — и суммируя по г, получаем: ду' (у) ., ~~! ди" (х) да (у) (б ду',!~~ дх ду' ''' ( ~ ! дх! ду' г=! г=- ! Но мы имеем, очевидно, ди' (х) ди! (у) ду* я=1, ..., !г М=! (ибо г > гг). Таким образом, правая часть соотношения (50) равна нулю и соотношение (47) доказано. ДОБАВЛЕНИЕ !1 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА В этом добавлении излагаются те результаты линейной алгебраа, которые используются в некоторых, наименее элементарных парагра фах книги. Следует отметить, что $36 опирается только на резула таты $34 и совсем не использует результатов $35; ф 34.

Минимальный аииулырующый многочлен Собственные значения и собственные векторы А) Каждой квадратной матрице А =(а'.), 1, ~=1, 2...., и, порядка и, элементами которой являются действительные или комплексные числа, соответствует линейное преобразование А векторногф координатного пространства Й размерности л; именно: вектору х = (х', ..., х") пространства !с ставится в соответствие вектор Ах = у = (у', ..., у"), определяемый соотношением у'= Ха'х' ! Нулевой матрице О (все элементы которой равны нулю) соответствует при этом нулевое преобразование О, переводящее каждый вектор в нуль. Единичной матрице Е= (3,',) 3'. = соответствует единичное, или тождественное преобразовзние Е пространства гС: Ех=х.

ДОБАВЛЕНИЕ 11. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Если в пространстве )с введены новые координаты х . .., х', свял В ванные со старыми координатами х', ..., х" формулами перехода х' = ~~', з';х1, или в матричной записи то преобразованию А в новой системе координат будет соответствовагь матрица А' = Ь' А Ю '. (1) Докажем соотношение (1), Мы имеем: у'=Яу=8Ах=-8АЮ 'х'. Б) 11усть А — линейное преобразование и А — матриц~, соответствующая преобразованию А в некоторой системе координат.

Отличный от нуля вектор Ь называется собственным авмл1ором преобразования А, а число Л вЂ” собственным значением этого преобр»- воваиия, соответству1ощим вектору 1а, если выполнено соотношение Ай = — -М. (2) Детерминант матрицы (а — «й2); 1 1 0 («) = ! о! — «й 2 ! =- ! А — ., Е! называется характерист11ческпм многочленом матрицы А. Оказывается, что коэффициенты мнсч очлена О(«) не зависят от выбора системы координат, а полностью определяются преобразованием А. Поэтому многочлен 0(«) называется также характеристическим многочленом преобразования А.

Далее, число Л тогда и только тогда является собственным значением преобразования А, когда оно есть корень многочлена О(«). Докажем независимость многочлена О(«) от выбора системы координат. В новой системе координат преобразованию А соответствует матрица Ь'Ао ', где о —. иекоторая невырожденная матрица (см. (1)). Мы имеем: ~ЮАЯ ' — «Е|= ~ Ь АЬ' ' — «ЯЕЬ ')=~ 8(А — «Е) Я '~= = ) Я~-1 А — «Е~ ° ! о ' ~ =~ Я~ ° ~А — «Е~. (Я~ 1=! А — «Е1. Запишем теперь в координатной форме соотношение (А — ЛЕ) 11 = О, раююсильиое соотношению (2): Х (а'; — йl) й2= О, 1= 1, ..., и. 2 1 Эта система однородных уравнений тогда и только тогда допускает нснулевое рен1ение !11,,„, 11", когда детерминант 0(Л) этой системы $341 минимйльный лнкудивв|ошии ииогочлен З11 равен нулю.

Таким образом, каждый корень Л многочлена 0(а) является собственным значением преобразования А и обратно. В) Если собственные значения Ль ..., Ль преобразования А попарно различны, то соответствующие им собственные векторы Ь„„„Ь линейно независимы Доказательство индуктивное — по числу Ь. При Ь = 1 это утверждение очевидно. Допустим, что спо верно для Ь вЂ” 1 вектора, в докажем его для Ь векторов.

Допустим, что а,Ь, + ... + а„Ь„=О. Применяя к этому соотношению преобразование А, полу шм: аешь,+ ... +а,Л„Ь,=О; с другой стороны, Л„(а,Ь, + ... +а,Ьв) = О. Составляя разность найденных соотношений, получаем: аь(Ли — Лв)Ь!+ ... +ав 1(Л„1 — Ль)Ьв 1 —— 6.' Отсюда, по предположению индукции, следует, что а, = ... = па, — О, и исходное соотношение сводится к а„Ьа=О, откуда а„=О. Таким образом, если все корни характеристического многочленв ,О(я) различны между собой, то мы можем принять за базис пространства Я собственные векторы Ьь ..., Ь„преобразования А.

В этом базисе преобразованию А соответствует диагональная матрица. В общем случае приведение матрицы преобразования к диагональной форме невозможно, и возникает необходимость построения сравнительно сложной теории, к изложению которой мы и переходим, Минимальный аннулируюший многочлен Г) 1(вадратные матрицы порядка и по известным правилам могут складываться и перемножаться между собой, а также умножаться на числа; этим операциям над матрицами соответствуют те же операции над преобразованиями. Таким образом, если ~(г)=а,а~+а,г~ '+, „+а — многочлен с действительными илн комплекснымк коэффициентами относительно переменной а, то, подставляя вместо г в этот много- член матрицу А, мы получаем матрицу .г(А)=авА +а,А '+... +а,„Е, являющуюся многочленом от матрицы А.

Аналогично определяется многочлен г (А) от преобразования А. Если ~(г) ф О, а матрица ~(А) является пулевой(в этом случае преобразованием(А) также, очевидно, является нулевым), то многочлеп Д(г) называется анмулвруащплг матрицу А и преобразование А. Оказывается, что характе- 312 ДОБАВЛЕНИЕ Н. ЛИНЕИНАЯ АЛГЕБРА ристический многочлен 0(г) матрицы А аннулирует матрицу А: 0(А) =О.

11ля доказательства рассмотрим п-мерное векторное пространство Я с базисом еь е„ ..., е„ и рассмотрим соответствующую этому базису координатную систему, так что е) =(О, ..., 1, ..., О), или, что то же, ~', (а'.Š— ййА) е, = О.

Положим: г 6(а) аа ! / Здесь 1.'. (г) есть мпогочлеп относительно т единица, а г степени нуль или (Е' (а)) — матрица, составленная из мпогочлепов. Алгебраическое дополнение элемента 1.;(г) ы этой матрице обозначим через М,'(г), так что имеет место соотношение М! (а) 1./' (а) = 6! 0 (а). (4) Умножая соотношение (3) слева па мпогочлеп М!(А) и суммируя ! полученное соотношение по ~, получаем, согласно (4)'. '5, 'Л,' (А) (а,'Š— В,'А) е, = "~!', М! (А) У.~ (А) е, =,5 О,'0 (А) е,, = 6, ! л/ А = 0(А) е; = — О.

Таким образом, преобразование 0(А) переводит все базисные векторы пространства Я в нуль и потому является нулевым, а значит и соответствующая преобразованию 0(А) матрица 0(А) также является нулевой: 0(А) =О. Л) В множестве всех мпогочленов, аннулирующих матрицу А (или преобразование А), имеется единственный, с точностью до чис- где координата 1 стоит на /-м месте. Обозначим через А преобразование, которому в выбранном базисе соответствует матрица А.

Тогда мы имеем: Ае~ —,'~ а'е, МИНИМАЛЬНЫЙ ' АННУЛИРУЮШИЙ М! ~ОГОЧЛВН З1З $341 лового множителя, многочлен 4Л(г) л4инималь44ой степени; этот много- член Ь(г) является делителем всех остальных многочленов, аннулирующих матрицу А; он называется мпми.4гальны.44 многочленом, анцулирующим матрицу А.

В дальнейшем будет предполагаться, что коэффициент при старшей степени многочлена Ь (г) равен единице. В случае, если матрица А действительна, многочлен Ь (а) действителен. Для доказательства предложения Д) напомним, что если у (г) и д(а) — два произвольных многочлена, а И(г) — их. общий наибольший делитель, то имеет место тождество: 1(а) = р (а)1(а)+ Ч (а) а(а) где р(г) и д (а) — подходящим образом выбранные многочлены. Существование тождества (5) доказывается прн помощи алгоритма деления многочленов.

Из соотношения (5) следует, что если много- члены у(а) и д(г) аннулируют 'матрицу А, то их общий наибольший делитель ь((я) также аннулирует матрицу А. Из Г) следует, что многочлены, аннулирующие матрицу А, существуют. Пусть теперь 4Л(л)— многочлен минимальной степени, аннулирующей матрицу.А, и,у(д)— произвольный многочлен, также аннулирующий матрицу А. Если бы многочлен г'(г) не делился на многочлен 4Л(г), то общий, наибольший делитель этих многочленов имел бы,степень, меньшую чем много- член 4Л(г), и также аннулировал бы матрицу А, а. Это по предположению. невозможно. Пусть теперь матрица .

А действительна; тогда О= Ь(А)=Ь(А)= Ь(А). Таким образом, многочлен Ь (г) аннулирует матрицу А и потому делится на й(г), а это возможно лишь при Л(г)=4Л(г). Таким образом, предложение Д) доказано. Е) Пусть Ь (а) — минимальшлй апнулируюший мпогочлен матрицы А. Число Л тогда и только тогда является собственным значением матрицы А, когда оно есть корень многочлена 4Л(а). Для доказательства обозначим через А преобразование и-мерного координатного векторного пространства, соответствуюгдее матрице А. Заметим, что если г (а) — произвольный многочлен, то из АЬ=ЛЬ следует ~(А)Ь=/(Л)Ь.

(О) В самом деле, мы имеем: ЕЬ=Ь, АЬ=ЛЬ, А'Ь=АЛЬ=ЛтЬ,..., АчЬ=Л"'Ь. умйожая эти соотношения на коэффициенты многочлеиа 1'(а) и складывая их, получаем соотношение (6,'. Допустим, что Л есть собственное значение матрицы А; тогда существует такой вектор Ь 4 О, что АЬ = ЛЬ, и из (б) СлЕдует Ь (А) Ь =Л (Л) Ь; но так как 4а(А) = О, то Л(Л) = О. Обратно, довлвленив и, линейная ллгввил пусть ). — корень многочлена Л (г).„тогда Л (г) = (л — >) Г(г). Так как Л (а) есть минимальный аннулирующий многочлен матрицы А, то многочлен Г(г) не является для нее аннулирующим и потому матрица Г (А), а следовательно, и преобразование Г (А), отличны от нуля.