Н.Ф. Степанов - Квантовая механика и квантовая химия, страница 2

в выбранном базисе и набором чисел 5,. = (е;,е ), Этот набор чисел можно записать в виде матрицы Я с элементами 5, причем индекс ~ есть номер строки, а индекс~ — номер столбца этой матрицы. Для базиса ортогональных векторов (е., е.) = О при ~ ~ у. Кроме того, будем всегда предполагать (если не оговорено противное), что в качестве базисных выбираются векторы единичной длины: (е, е ) = 1 для любого г (что обозначается как % ). Другими и словами (е. е.) = о, причем о.. — символ Кронекера, равныи Р ) с'р' з Ц при ~ = ~ и равный нулю при ~ ~~. Такой базис называется ортонормированным. Компоненты у.

Ц = 1, 2, ..., и) вектора у допускают запись в виде матрицы с и строками и одним столбцом, т.е. в виде вектор-столбца: (0.5) где п — единичный вектор в направлении х. На векторном пространстве Я можно определить линейные операторы А как некоторые преобразования, переводящие векторы из Я вновь в векторы из этого же пространства Я «в более общем случае — в векторы другого пространства Я'): у =Ах, (0.6) и удовлетворяющие требованиям линейности: 1". А(ах) = аАх, где а — произвольное число; 2". А(х+ у) =Ах+Ау. (0.7) Д каждого вектора наряду с длиной может быть определена и его ориентация относительно выбранного базиса с помощью направляющих косинусов углов между вектором х и единичными базисными векторами е.: сояф.

= (х, е.)/х = (х/х, е.) = (и, е.), Поскольку х и у можно представить в виде (1)„то соотношение (б) перепишется с учетом линейности оператора А: ~ у,. е, -А ~~'х,.е,. = ~'х,Ае; . (0.8) 1=1 ~=1 Каждый из векторов Ае. можно тоже разложить по базису векторов е,.; Ае,. = "' а,;е,, так что: ~~~ (у — ~~~ х;а;)е = О, Е или, если учесть, что базисные векторы е., по определению, линейно независимы, то у =~а;х;, (0.9) 1=1 что в матричных обозначениях будет выглядеть следующим образом: у = Ах, где х и у — вектор-столбцы, А — матрица с элементами й...' й й11 й12 ... й1 й21 й22 " й2л й п1 йл2 *" ' йпп Очевидно, что любой линейный оператор, определенный на Я, допускает представление в виде матрицы А.

6. Для матриц при их классификации вводятся следующие определения. Если числа строк и столбцов у матрицы одинаковы, то она квадратная, если нет — то прямоугольная ( имеет вид прямоугольника). Матрица А =- А' с элементами, определенными требованием й;, = й, называется транспонированной по отноше- Р ~с нию к А, а матрица А с элементами (й').. = (й..)* — комплексно (/ Ц сопряженной А. Если у матрицы А элементы таковы, что й.. = й, ~.1 Л ' то она симметрична, если й..= — й, то кососимметрична.

Если (/ ~! все элементы матрицы А при разных индексах ~ и 1 равны нулю, то она диагональна, если к тому же у диагональной матрицы все элементы равны одному и тому же числу й, то она называется скалярной, а при условии й = 1 — единичной матрицей Е (или 1). Сумма диагональных элементов матрицы А называется ее следом и обозначается либо как ЯрА, либо как 1гА. 10 Определителем, или детерминантом квадратнои матрицы А порядка л называется многочлен, каждый член которого — снабженное определенным знаком произведение и элементов матрицы А, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца: В этом выражении суммирование проводится по всем перестановкам Р .

° * 'п чисел 1, 2, ..., и, и перед произведением берется знак "+", если перестановка четная и знак " †", если перестановка нечетная. Таким образом, многочлен (10) содержит л! членов, из которых пУ2 входят со знаком "+" и лУ2 — со знаком "— ". Для определителя матрицы А приняты обозначения Йе1А, ипи Йе$~~а.,1. Так, ппя матрицы второго порядка й11 й12 с$е$А = ЙИ = й11й22 й12й21 й21 й22 ля матрицы третьего порядка Де1А = й й й й12й21й33 13 22 31 ййй +ййй + 11 22 33 13 21 32 и т.д Основные свойства определителей: 1". Определитель не изменится, если в матрице А строки заменить на столбцы, а столбцы — на строки, т.е.если матрицу А транспонировать: де1А' = Йе1А.

2". Определитель меняет знак, если поменять местами любые две строки (или два столбца) матрицы А; отсюда следует, что если две строки (или столбца) матрицы А пропорциональны, т.е. й..= ~й„. для любого 1, где ~ — некоторое число, то де1А = О. 3". Общий множитель всех элементов любой строки (или с о т лбца) матрицы А можно вынести за знак определителя. "-л бо 4'. Определитель не меняется, если к элементам какой-ли о его строки (столбца) добавить элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель. Отметим, что в качестве элементов й., матриц А могут выступать и функции, например й,.(х, у, ~). Тогда определители де$А также будут в общем случае функциями соответствующих переменных; они называются функциональными определителями.

Сумма двух матриц А и В, имеющих ~ди~ак~~ое ~~сл~ строк и одинаковое число столбцов, т.е. двух матриц одинаковой П ои размерности, определяется как матрица с элементам .. Ь . роизведение С двух матриц А и В определяется как матрица с элементами с..= ~~а Ь ы и, следовательно, для существования произведения С необходимо, чтобы число столбцов у А равнялось числу строк у В. В общем случае произведения АВ и ВА различны, т.е.

другими словами, матрицы А и В не коммутируют. Квад атная матрица А, определитель которой не равен нулю, называется несингулярной, или неособенной, в противном случае — сингулярной, или особенной. Если для квадратной матрицы А найдется такая матрица В, чтоАВ =Е тома трица В называется обратной по отношению к А что то обычно указывается просто символом А '. Отметим что АА ' = А 'А = Е.

Определитель произведения двух квадратных матриц одной и той же размерности равен произведению их определителей. Отсюда следует, что если у матрицы А есть обратная, то она неособенная, т.к. деФ(АА ') = деФА де1А ' = деФЕ = 1. Это же соотношение показывает, что де1(А ') = (де$А) '. а. Поскольку при действии матрицы А на вектор х вновь ° получается некоторый вектор к, то с учетом (3) можно определить скалярное произведение вектора к и, например, вектора у; так, в ортонормированном базисе ~У, х) (у, Ах) = ~~'у,.г,. ~)'.~. ~ ~ ~~ т г и так как сумма не зависит от обозначения индекса суммирования, в последнем выражении можно поменять индексы ~ и А местами. огда (0.11) где А — матрица с элементами (а~);; = а;;, т.е.

матрица, одновременно транспонированная и комплексно-сопряженная по отношению к А. Т акая матрица называется зрмитово-сопряженной матрице А. В том сл ч р . случае, когда А = А, матрица называется эрмитовой, или самосопряженной.

В вещественном пространстве зрмитова матрица является симметричной. Матрицы, преобразующие векторы простРанства Я без изменения их длины: х — Ах, так что (Ах, Ах) = (х, х) для любого х Е Я, называются унитарными, либо в вещественных пространствах— ортогональными. Вектор х, сохраняющий с точностью до знака свое направление при действии на него матрицы (оператора) А, но, быть может, меняющий свою длину: АХ =ХХ, (0.12) называется собственным вектором этой матрицы, а число Х— соответствующим ему собственным значением.

Соотношение (12) может быть переписано в виде (А — ХЕ)х = О, (0.13) показывающем, что имеется система линейных однородных уравнений относительно неизвестныхх,', нетривиальное решение у такой системы существует только при условии, что определитель матрицы А — ХЕ равен нулю: де~(А — ХЕ) = 0 . Это условие, называемое вековым уравнением, требует обращения в нуль полинома, не превышающего, очевидно, по своей степени числа строк или столбцов квадратной матрицы А, т. е.

ее порядка. Определив Х как корни такого полинома, далее из системы уравнений (13) можно найти компоненты х, вектора х с точностью до некоторого постоянного множителя, общего для всех компонент. Характерной особенностью эрмитовых и вещественных симметричных матриц является то, что их собственные векторы образуют полный набор, т.е. для этих матриц порядка и, действующих на векторы и-мерного пространства, число линейно независимых собственных векторов также равно и. Следовательно, собственные векторы могут быть выбраны в качестве базиса в Я.

К тому же они и ортогональны, так как для двух собственных векторов х и у с собственными значениями Х, и Х справедлива цепочка равенств Р~ (у, х) = (у, Х х) = (у, Ах) = (Ау, х) = (Х у, х) = Ху (у, х), (0.14) и, если Х ~ ~, то (у, х) = О, а если Х, = Х, то любая линейная комбинация векторов х и у в силу линейности оператора А будет вновь собственным вектором с тем же собственным значением.

Поэтому, например, вместо вектора у можно будет взять вектор с,х + су, собственный для А с тем же собственным значением, что и для вектора х, но с такими коэффициентами с1 и с~, при которых он будет ортогонален х. Равенства (14) при х = у одновре- менно показывают, что Х, = Х, т.е. собственное значение эрмито- вой матрицы А (или эрмитова оператора А) на произвольном векторе к также всегда вещественно: (л, Ал) =(Ал, к) =(г, Ал).

(0.15) г. Для множества функций ср,, ср„..., ср,, ... также можно определить операции сложения и умножения на число с удовлет- ворением всех требований, предъявляемых к операциям векторного пространства. Следовательно, это множество может рассмат и- ваться как линейное (векторное) пространство, элементами (векторами) которого служат функции ср,. Естественно, что в зависимости от того, как определены эти функции, могут получать- ся разные пространства: например, пространство В непрерывных на отрезке ~а, 01 функций ср,(х) отлично от пространства функций, непрерывных на этом отрезке вместе со своими первыми произ- водными; пространство функций, обращающихся на концах этого отрезка в нуль: ср(а) = ср(Ь) = О, отлично от пространства функций, обращающихся на одном из концов, скажем а, в нуль вместе со своей первой производной и т.п.