Н.Ф. Степанов - Квантовая механика и квантовая химия, страница 8

Так, собственной функции ф, отвечает вектор из коэффициентов Х,, у которого лишь первая компонента равна 1, а все остальные равны О. Следовательно, при действии на ф, оператора координаты получается функция ~р = = хф, = ~~» н;ф;, у которой коэффициенты р.

определяются матрич- ~-1 ными элементами х, матрицы Х: всегда могут быть нормированы на единицу: с; с; = 1. Если последовательно выписать вектор-столбцы с, в виде строки (с„с„..., с ), то получится квадратная матрица С. Умножим зту матрицу слева на матрицу А. Тогда по классическому правилу "строка на столбец" в полученной матрице на месте столбца с, получится столбец Ас, т. е. каждый столбец с умножится на соответствующее число а,: АС = (а,с„а,с„...„а с ), а зто в свою очередь будет означать, что матрица С умножится справа на диагональную матрицу а, составленную из собственных значений а.: АС = Са.

(1.4.11) Поскольку столбцы матрицы С взаимно ортогональны и нормированы на единицу, эта матрица неособенная и более того — унитарная (либо ортогональная, если А — вещественная): С~С= 1, что в конечномерных пространствах означает и справедливость равенства СС = 1. Умножая соотношение (11) на С~ слева, придем к выражению С~АС= а, показывающему, что эрмитова матрица А может быть преобразованием базиса с помощью унитарной (ортогональной) матрицы С сведена к диагональному виду.

В зависимости от того, какая система базисных функций выбрана, оператор А будет представляться различными матрицами, однако у всех этих матриц собственные значения будут одни и те же. г. Каммутирующие операторы. Возьмем два каких-либо зрмитовых оператора А и В, которые коммутируют: АВ = ВА. Например, для одной частицы в трехмерном пространстве таковыми являются операторы х и у, х и р, х и 1 = ур — 2р и др. У' Х Я У Пусть далее ф, — собственная функция А с собственным значением Х,: Аф, = Х,ф,. Подействуем на левую и правую часть этого равенства оператором В и учтем то, что он линеен и коммутирует с А: ВА~, = А(В~,) = Х,(В~,). Функция В~„как показывает последнее равенство, также есть собственная функция оператора А с тем же самым собственным значением Х„что и исходная.

Если данному собственному значению Х, принадлежит лишь одна собственная функция ф, (с точностью до произвольного множителя), т.е. это собственное значение является невы- рожденным, то сформулированное в предыдущем предложении утверждение означает справедливость равенства: Вф = рф так 58 < щ)В~М, > = ,'~ Ь;, <Ч~~Ч; > = ~и /-1 Следовательно, коэффициенты Ь, представляют собой матричные элементы эрмитова оператора В в базисе функций ф,.

Они образуют эрмитову матрицу В размерности Ах1 (т.е. порядка А). Вместо исходных функций ~, можно ввести их линейные комбинации %~ =,~ "цЧу (1.4.12) от коэффициентов и. которых потребуем, чтобы ~р. были линейно независимы, и более того — ортонормированы. Такое условие всегда можно удовлетворить, поскольку независимых соотношений ортонормировки <~р ~~р > = о, будет ~(1 + 1)/2 ~для ортогональности: число сочетаний из А функций по две, что равно А(А — 1)/2; для нормировки: К тогда как число исходных произвольных коэффициентов и, равно Й', что при А > 1 всегда что функция ~, одновременно является собственной и для оператора В с собственным значением р.

То же самое можно сказать и о любой другой невырожденной собственной функции оператора А. Если же некоторое собственное значение Х вырождено, то что получится тогда? Вырождение собственного значения означает, что имеется несколько линейно независимых функций ф, принадлежащих этому собственному значению, которые можно считать к тому же ортонормированными. Будем пока предполагать, что кратность вырождения, равная 1 (т.е. максимальное число таких линейно независимых функций), конечна: ~ = 1, 2, ..., Е. Поступая так же, как и в невырожденном случае, при действии оператора В найдем: А(В~р) = ЦВ~,). Очевидно, В~~, — функция, собственная для оператора А с собственным значением Х, но уже не обязательно совпадающая с ~р..

Единственно, что можно утверждать, так это следующее: В~ есть линейная комбинация функций, собственных для А с собственным значением Х, так что ВЧ; = "~ !ар; ~за1 Умножая это равенство слева на ф,' (1 = 1, 2, ..., А) и интегрируя по всей области изменения переменных, от которых зависят функции ф, а также учитывая ортонормированность этих функций, получим: больше Аф + 1)/2~. Вводимая таким образом матрица С из коэффициентов и, будет произвольной унитарной матрицей.

Для унитарного преобразования характерно то, что матрицей, обратной С, является С», т.е. матрица, эрмитово сопряженная б. Следовательно, '~ (0 ) . ((/); - '~ и„и;; = Ь ., что позволяет выразить из (12) ф, через (р при умнджении обеих частей равенства на и,, и суммировании по «: ч'» = К'»'»ч; . (1.4.13) Подставляя это выражение в матричные элементы оператора В в базисе функций ф,, можно представить их через матричные элементы этого же оператора в базисе функций (р: ./ Ь~~'~ = "~ и ~ «р ~В~~р» ) ин - '~ (») ),» Ь»~~(());~, «,й что в матричном виде запишется следующим образом: В~~~ = 1РВ(ч)/С и В((Р) = СВ(~~ $Р.

Коль скоро матрица В эрмитова, то при соответствующем ~~р) выборе унитарного преобразования она может быть сведена к диагональной матрице В с диагональными элементами о. Это ((р в свою очередь будет означать„что базис функций (р представляет собой набор собственных для оператора В функций с собственными значениями Ь.: В(р. = Ь(р..

Таки ./ ./ ./ аким образом, коммутация операторов А и В и в этом случае будет означать, что у них может быть выбрана общая система собственных функций. Все функции ~~.будут относиться к одному и тому же собственному значению оператора А, но каждая из них — к вполне определенному собственному значению О оператора В (которые могут хотя бы отчасти и совпадать друг с другом). д. Соотногиения неоиределенностей.

Если операторы не коммутируют, то для них рассуждения предыдущего пункта справедливы уже не будут. Тем не менее, и здесь можно получить ряд весьма полезных результатов, правда уже не для волновых функций и собственных значений, а для средних значений операторов. Итак, пусть А — ВА = «С, где, как нетрудно убедиться, оператор С эрмитов, если эрмитовы А и В: а) (А — ВА)» = (АВ)» — (ВА)» = В»А» — А»В» = = ВА — АВ = -(А — ВА); б) ««'С)» = «*С» = — «С».

60 Сравнивая правые части этих равенств с исходным соотношением коммутации, приходим к выводу, что С» = С, т.е. С вЂ” эрмитов. Возьмем теперь некоторую функцию состояния ф, из которой построим две новые функции: Аф и Вф, после чего возьмем следующую их линейную комбинацию: Ч' =Аф+ Й,Вф = (А+ Й.В)ф, (1.4.14) где Х вЂ” вещественный числовой множитель. Очевидно„что Рр~' /т. О, причем равенство нулю выполняется, только если Ч' = О.

Учтем теперь то, что Ч' имеет вполне конкретный вид (14), и преобразуем данный интеграл: у~»р~-Нт ~(А»р+(»В»р) (АМ+В~В»р)~/т =/ М (А где учтено то, что операторы А и  — эрмитовы, а «при комплексном сопряжении меняет знак. Произведение операторов под интегралом может быть записано через коммутатор «С операторов А и В: фЧ1 Ит=«'»р*~А +Х В +й(А — ВА))цк/т= „» / (~Р~б~»г»+(»Р~ Это неравенство должно выполняться при любом Х. Интеграл при Х неотрицателен (как и свободный член этого выражения), 2 поскольку «ф В Щ»р> = <В»р ~ В»р> = фВ»р~ Шт.

Квадратный же трехчлен с положительном коэффициентом перед Х при любом Х 2 может быть неотрицателен только тогда, когда дискриминант соответствующего квадратного уравнения меньше или, в крайнем случае, равен нулю: В'( А'( «»р)С/»р ) — 4 (»р) Таким образом, 1 2 »р) а — (ц~(С~»р) 4 А'! (1.4.15) Прежде чем двигаться дальше, отметим еще одно обстоятельство. Если А — ВА = «С, то и (А — аХ)( — ~3Х) — ( — Щ(А— — оУ) = «С, где и и Р— некоторые вещественные числа, а 1— единичный оператор, который далее ради простоты выписывать не будем. По этой причине соотношение (14) будет справедливо Отметим, что оценку типа (18) для задачи о движении частицы в потенциальном ящике мы уже получили в и.

б ~2, не имея еще, как такового, соотношения неопределенностей для координаты и импульса. 2. Еще один простой пример некоммутирующих операторов для одной частицы: оператор координаты, к примеру х, и некоммутирующий с ним оператор момента импульса Х, или Х: хХ вЂ” Х, х = х( р„— хр,) — (~р„— хр,)х = а(хр„— р„х) = И~, так что оператор С равен Ь2. Соотношение неопределенностей в этом случае будет иметь вид г <(Лх) > <(3Х )2> ~ — < ~ > 2 4 В отличие от того, что было получено для координаты и импульса, здесь правая часть зависит от квадрата среднего значения координаты г, т.е.

от величины, присущей заданному квантовому состоянию частицы. Поэтому подобные соотношения несколько менее популярны, хотя и они подчас позволяют получить полезные выводы. В качестве достаточно тривиального вывода можно отмети~ь, например, тот, что если функция 111, с которой вычисляются все величины в последнем соотношении неопределенностей, собственная для оператора Х, с нулевым собственным значением, то <~> также должно равняться обязательно нулю.

ж. Результаты измерений. Соотношения неопределенностей в квантовой механике очень часто связывают с разбросом значений, получаемых для физических величин при экспериментальных измерениях. Сама по себе проблема измерений в квантовой теории достаточно сложна, хотя бы уже потому, что измерительные приборы являются макрообъектами, тогда как измеряются величины, относящиеся к микрообъектам. В настоящем курсе у нас нет возможности сколько-нибудь детально входить в эту проблему, а потому мы остановимся лишь на одном из наиболее часто используемых при ее обсуждении подходов (хотя он в целом и не бесспорен). Предполагается, что при воздействии измерительного прибора на микрообъект последний переводится из исходного квантового состояния, описываемого волновой функцией 1р, в одно из состояний, собственных для оператора В, который представляет измеряемую физическую величину Ь.