Н.Ф. Степанов - Квантовая механика и квантовая химия, страница 6

Кроме женной на числовой множитель, определяющий в конечном итоге нормировку функции ®(х; Е). Отметим, что сводка основных формул, определяющих свойства о-функций, дана в Приложении 2. того, если ср и ф — два решения временного уравнения Шредингера, то любая их линейная комбинация Ч' = с,«р + с,ф также будет являться решением этого уравнения, и коль скоро у нас нет критериев, какие из этих решений не отвечают физической картине мира (кроме очевидного условия конечности волновой функции), то с самых ранних этапов создания и развития квантовой механики в ней было введено утверждение, носящее постулативный характер и получившее название иринцииа суперлозииии: если «р и ф— волновые функции двух физически реализуемых квантовых состояний, то всегда можно создать ~акие начальные условия, при которых произвольная линейная комбинация этих функций будет волновой функцией физически реализуемого квантового состояния.

Принцип суперпозиции и требование линейности операторов квантовой механики, отвечающих наблюдаемым физическим величинам, весьма родственны, хотя и не тождественны. Далее мы будем широко использовать свойство линейности, тогда как принцип суперпозиции будет играть роль некоторой исходной посылки. б. Эрмитоаость операторов.

Как уже говорилось в 5 1, среднее значение физической величины, которой отвечает оператор А, в состоянии ф определяется выражением «а > = )'1р АЧвй - « ~р~ А ~ ~р >, где интегрирование ведется по всей области изменения пространственных переменных, от которых зависит функция ф. Это среднее значение наблюдаемой, очевидно, должно быть вещественным, так что ( а > =~'~р(Ац~)*Шт = «А~рфр > «а > . Используемые в квантовой механике операторы, все средние значения которых вещественны, называют эрмитовыми, или самосопряженными, хотя эти два термина имеют несколько различный смысл в математике (см. заключительный пункт настоя щего параграфа). Эрмитовость оператора можно определить и следующим образом: линейный оператор А эрмитов, если для любых двух функций «р и ф выполнено соотношение ( ~р)А(ср > = ( ~р(А(р > = «А~р((р > = ( ~р)А(~р >* .

(1.33) Следовательно, эрмитов оператор может переноситься от символа второй функции (т.е. «р) в обозначении скалярного произведения к символу первой функции (т.е. ф). При этом скалярное произведение переходит в комплексно-сопряженное исходному произведению. эрмитов оператор. При переходе от классических выражений к квантовомеханическим операторам за этим обстоятельством надо тщательно следить. в.

Собственные функции и собственные значения. Если оператор А переводит функцию ~р в функцию, отличающуюся от ф лишь числовым множителем Аф =~ф, (1.3.5) то говорят, что эта функция есть собственная функция оператора А, а числовой множитель Х вЂ” собственное значение этого оператора на функции ф. Примеры: 1. При поворотах С (а) в трехмерном пространстве Я, вокруг оси г на произвольный угол и любой вектор, направленный по оси г, не меняется, т.е. переходит в себя. Следовательно, он является собственным для таких операторов поворота вокруг оси г с собственным значением„равным 1.

При отражении о в плоскости ху каждый из этих векторов умножается на — 1, тогда как любой вектор (х, у, О), лежащий в плоскости ху, при этом не меняется: о (О, О, г) = — 1 (О, О, г) и о (х,у, О) = = 1.(х, у, О), так что такие векторы являются также собственными для оператора о (выше символ (х,у, г) обозначает вектор с декартовыми компонентами х, у и г соответственно). 2. Пусть заданы функции двух переменных Дх„х,), например ~ = х12х2. При перестановке местами переменных х и 1 х„что можно представить себе как результат действия (линейного) оператора перестановки Р, „функции Дх„х,) переходят в новые функции фх„х,) и Дх„, х ), в указанном примере — в 2 1~ 2 2~ функцию х1х2.

Попробуем найти такие функции ~, которые были бы собственными для Р,,: Р,,~ = Х~. Подействуем на правую и левую части равенства еще раз оператором Р: Р (Р, Д = 1,2' 1,2 1,2 = Х(Р,,Д. Полученное соотношение показывает, во-первых, что функция у = Р,,~ наряду с ~ также является собственной для оператора Р,, (что, конечно, достаточно тривиально). Оно, вовторых, показывает, что (Р,, Р, „)~ = Х~ и, поскольку Р,,Р,, ничего не меняет в функции~(так называемая единичная операция), 2— то Х = 1. Следовательно, если у Р,, есть собственные функции, то собственные значения для этого оператора на таких функциях равны +1.

Собственное значение +1 означает, что функция ~ не меняется при перестановке переменных х, и х,, т.е. такая функция является симметричной (или, что то же, полносимметричной) относительно перестановки переменных х, и х,. Так, в приведенном выше случае х, х ° х2х,, тогда как сумма х, х+ х х, при перестановке Р,, не 2 2 меняется, т.е. она является полносимметричной.

С другой стороны, разность х, х — х2х, при перестановке Р,, меняет знак, т.е. она также является собственной для оператора Р, „но уже с собственным значением — 1. Такие функции называют антисимметричными относительно перестановки Р 3. Найдем теперь функции ф, собственные для оператора импульсар = — Й д — Й вЂ” ~~1(х) = Ь~(х). д дх Решения такого дифференциального уравнения первого порядка для одномерного случая имеют вид чф(х, А) = Ае'~~ (1.3.6) где А — произвольная постоянная, а собственное значение А может принимать любое значение на вещественной числовой оси.

Эта величина имеет смысл постоянного импульса свободной частицы, движущейся вдоль оси х. В трехмерном случае собственной функцией для операторов р,, р, и р будет следующая: М(г К)= А д /л (1.3.7) где г — радиус-вектор частицы, а К вЂ” так называемый волновой вектор из собственных значений операторов р (и = х, у, г), т.е. из А,,А ий,. 4. Наконец, еще один пример, который был фактически рассмотрен выше: если потенциал для квантовой системы явно от времени не зависит, то волновую функцию, являющуюся решением уравнения Шредингера, можно записать в виде произведения двух сомножителей, из которых один зависит только от времени, а другой (функция Ч~) — только от пространственных переменных.

Сомножитель Ч~ является решением стационарного уравнения Шредингера ИФ =ЕЧ', представляющего собой не что иное, как уравнение на собственные значения. Собственные значения оператора Гамильтона Н в общем случае могут относиться к дискретному спектру (задача предыдущего параграфа о частице в потенциальном ящике с бесконеч- она также является собственной для А с тем же собственным значением а: А(с,<р + с,»р) = с,А(р + с,А»р а(с,~ + с,»р) Запишем интеграл <»р~с,<р + с,~р> = с,<~фр> + с,«»р~»р> и подберем коэффициенты с, и с, так, чтобы правая часть этого равенства обратилась в нуль. Ради простоты при этом будем предполагать, что функция ф обладает интегрируемым квадратом модуля. Следовательно, с, можно выбрать равным — с,«»р~~р>/<Ч»~»р>.

<»р~(р > Тогда новая функция Ф = с,(1) + с,ф = с,(г1)— ф) будет <»р~»р > собственной для А с собственным значением а и, кроме того, ортогональной ф, так что вместо двух исходных функций (р и ф можно взять без потери общности эквивалентный им набор двух линейно независимых функций ф и Ч», которые уже являются взаимно ортогональными. Таким образом, собственные функции эрмитова оператора всегда можно считать взаимно ортогональными, независимо от того, принадлежат ли они разным или одинаковым собственным значениям. Для дискретного спектра они к тому же могут быть выбраны нормированными на единицу.

Средние значения опера- тора А на таких функциях, как уже было сказано, равны соответствующим собственным значениям А на исходных функциях. д. Полнота системы собственных функций зрмитова оператора. В задаче о потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками мы получили собственные функции 2. пк А Ч»„= — Йп — х + —, и = 1, 2, ... ( — Х,/2 ~ х ~ Х.!2), (1.3.10) Х. А 2 которые при таком выборе постоянного множителя перед синусом нормированы на единицу и, как нетрудно убедиться, взаимно ортогональны.