Н.Ф. Степанов - Квантовая механика и квантовая химия, страница 9

При этом прибор регистрирует отвечающее этому состоянию собственное значение Ь,. Вероятность ~. перевода исходного состояния (ф) в г-е собственное («р,) определяется квадратом модуля коэффициента с в разложении функции 1р по функциям «р, (считая, что совокупность (~.~ представляет собой полный набор базисных функций): »у =Хс;~р,, и', скунс,~ (1.4.19) 1-1 При измерении свойства Ь с вероятностью ~Г сс ~ с,~' получается результат измерения о,: В«р = Ь~,. Если имеется множество систем, каждая из которых находится в состоянии ф, то при измерении свойств каждой из этих систем собственные значения Ь, будут появляться с вероятностью„ пропорциональной ~ с, ~', так что среднее значение физической величины Ь в состоянии «р будет представлено выражением: <ь> = '» Ь,.»»; -АХь,.~с,~', с где А — некоторый коэффициент пропорциональности. С другой стороны, если воспользоваться для ф рядом (19), считая ради простоты, что все функции «р, нормированы на единицу, то можно написать: « ц~(В)ф > - '» с; с < ср,(В(ср > = '» с; с,Ь, < ~р;)ср, > =Хс;САЬ;, -ХЬ;!с;~' 1,/ Сравнивая этот результат с предыдущим равенством, приходим к выводу, что при нормированных базисных функциях, в качестве которых используются собственные функции оператора В, коэффициент пропорциональности А равен единице и ~ с,~' дает непосредственно вероятность ~Г.

Этот результат по существу не изменится, если у оператора В все или часть собственных значений относятся к непрерывному спектру. Если же прибор устроен так, что он сразу регистрирует некоторое среднее по множеству отдельных "элементарных" актов измерения, то это среднее должно совпадать с <о>. Для такого среднего можно, учитывая вероятностный характер отдельных значений, ввести понятие дисперсии и считать, что те дисперсии, которые фигурируют в соотношении неопределенностей, как раз и имеют смысл дисперсий измерения физических величин для системы, находящейся в квантовом состоянии 111. Поэтому соотношения неопределенностей допускают еще одну интерпре- 3 — 1395 быть собственным, переводится в некоторое нестационарное состояние с определенным лишь средним значением энергии, которое к тому же может меняться с течением времени. Для энергии появляется некоторая полоса значений, в которую и попадают измеряемые величины энергии такой системы.

Энергетический уровень перестает иметь точное значение, перестает быть бесконечно узким и приобретает некоторую конечную ширину. 1. Пусть матрицы ~6) и ~7) операторов координаты и импульса пред~:тавлены лишь верхними диагональными блоками второго порядка: 1/2 -1%я — 1б/9л 1/2 Написать коммутатор для этих неопределенностей, используя в нормированный вектор О 8/3 Р = (ИЯ) р матриц и вывести соотношение качестве функции произвольный С1 с= Сг 2. Сделать то же, что и в задаче 1, но с верхними диагональными блоками матриц Х и Р третьего порядка. 3. Найти собственные значения и собственные векторы матриц в задачах 1 и 2„каков их физический смысл? (Предварительно вспомнить, что собой представляют векторы и в каком базисе для рассматриваемых задач они заданы.) 4.

Найти общий вид эрмитовых, унитарных и эрмитовых унитарных матриц второго порядка, если их элементы — комплексные числа. 5. Найти общий вид матриц второго порядка, удовлетворяющихусловиям: а) ААт+ АтА =1; б) ВВт — ВгВ =1. Могут ли матрицы А и В быть эрмитовыми? 6. Пусть имеются 3 эрмитовых матрицы Я, Я и $ второго порядка и матрица 8, диагональна. Найти вид матриц 8, и Я„если для матриц 8, справедливы равенства: ~5. Одномерное движение. Задача о гармоническом осцилляторе а. Общая характеристика одномерного движения.

Стационарная задача о движении частицы в одном измерении уже отчасти была рассмотрена в ~ 2 на примере различных прямоугольных потенциалов. В общем случае любой гладкий потенциал 'можно приблизить ступенчатой функцией ~рис.1 5.1), причем для каждой ступеньки решение одномерного уравнения Шредингера имеет достаточно простой вид: ц~,= А;е"'" + В;е "'", где к,= 2тЯ вЂ” Е), К вЂ” постоянный потенциал ступеньки с номером ~, Š— энергия частицы с массой и, А, и  — постоянные, определяемые условиями сшивания функций <р и их первых .производных в точках скачка потенциала. Выбирая ширину ступенек достаточно малой, придем к решению, близкому к точному во всей области изменения переменной х.

Если ~' < Е, то к может быть представлено как Ж, с вещественным Х, т.е. в этой области ~р есть линейная комбинация япХх и сокХх. Если же Г> Е, то к, вещественно, и в качестве решения выступают экспоненты от вещественного аргумента, затухающие по мере проникновения под потенциальный барьер. Функции, которые представляют собой решения одномерного уравнения Шредингера при условиях, что для каждого собственного значения Е потенциал всюду справа от некоторой точки х, и всюду слева от некоторой точки х, превосходит Е (~ — Е > О при х > х и при х < х,), отвечают финитному движению, т.е. движению в конечной области, и обладают интегри- ! 2 2 ! 3~ 2 3 3 2 !~ 3 ! ! 3 2' 7.

Вывести соотношения неопределенностей для операторов: а) р 2/2т и х ' б) р и Х, . 5.1. Аппроксимация гладкого енчатой функцией. руемым квадратом модуля. В противном случае они принадлежат непрерывному (существенному) спектру и нормируемы на Ь-функцию. Собственные функции для одномерного гамильтониана, как и для любого эрмитова оператора, ортогональны, если они относятся к разным собственным значениям. Более того, в одномерных задачах функции, отвечающие финитному движению„всегда невырождены, т.е. каждому собственному значению принадлежит лишь одна собственная функция. Если же энергия такова, что она отвечает непрерывному спектру, то кратность вырождения не превышает двух. Эти два утверждения (как, впрочем, и ряд других, представленных ниже) следуют из теории линейных дифференциальных уравнений второго порядка, и на доказательстве их мы останавливаться не будем, т.е.

будем принимать как должное. К числу таких утверждений относится и следующее. Пусть одномерный потенциал ~(х) ограничен справа (х > х) и слева (х < х,) бесконечно высокими стенками, так что на границах в точках х и х, волновая функция обращается в нуль. Тогда, при расширении потенциального ящика, т.е. при переходе к новым границам х ' > х и (или) х,' < х„все собственные значения понижаются (Е,' < Е,), а при его сужении повышаются. Для прямоугольного ящика с постоянным потенциалом внутри него (~ = О при х,~ х ~х ) это очевидно, коль скоро уровни энергии, согласно уравнению (2.3), обратно пропорциональны квадрату ширины ящика.

Еще одно полезное утверждение заключается в том, что волновая функция низшего по энергии состояния дискретного спектра не имеет узлов, т.е. обращается в нуль лишь на концах интервала, где потенциал конечен. По мере увеличения номера собственного значения число узлов растет, причем оно оказывается равным А, где А — номер уровня (если номер низшего уровня принят равным О).

Это — так называемая теорема Гильберта. Если потенциал ~(х) непрерывен на отрезке х, ~ х ~ х, а вне его обращается в бесконечность, то система собственных функций стационарного уравнения Шредингера с потенциалом $'(х) является полной в пространстве 9, функций, заданных на этом отрезке, так что любую функцию Ях), х Е ~х„х 1 можно разложить в ряд Фурье по собственным функциям такой системы. Что же касается непосредственного нахождения решений для одномерных задач, то здесь положение таково. В ряде случаев для сравнительно простых потенциалов удается свести стацио- нарное уравнение Шредингера к одному из стандартных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, для которого известны аналитические решения либо в замкнутой форме, либо в форме рядов, коэффициенты которых определяются но известному алгоритму.

Обычно подобного типа задачи и бывают представлены в учебниках по квантовой механике. Само существование таких решений не столь уж и важно для качественного анализа решений уравнения Шредингера при рассмотрении конкретных систем. Однако существует множество одномерных задач, которые приближенно сводятся к предыдущим, что дает возможность пользоваться различными процедурами уточнения при поиске их решений, опираясь на результаты точно решаемых задач.

К тому же при первом знакомстве с квантовой механикой аналитические выражения оказываются весьма полезными, ибо позволяют отчетливо представить характер и особенности решений, а также связь различных решений между собой. Как правило, аналитические решения одномерных задач представляются с помощью полиномов специального вида, а уравнение Шредингера после некоторых простых преобразований сводится к уравнению вида рг(х) — + р (х) — + ро~ = 0 „ д~ ф' ~г (1.5.1) где р,(х) — полинам от х не выше второй степени; р,(х) — полином не выше первой степени и р, — действительное число.

Такие дифференциальные уравнения имеют решения в виде так называемых гипергеометрической, вырожденной гипергеометрической, цилиндрической и других подобных функций и детально изучаются в теории специальных функций (см., например: Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Основы теории специальных функций.— М.: Наука, 1974).

Ниже мы не будем рассматривать общие конструкции со специальными функциями, а лишь познакомимся с некоторыми частными случаями таких функций и их свойствами на примерах конкретных задач о гармоническом осцилляторе и атоме водорода. И прежде чем переходить к задаче о гармоническом осцилляторе подчеркнем лишний раз, что решения большинства задач квантовой механики, в том числе и одномерных, все же ищутся либо численно, либо в рамках тех или иных приближенных подходов.

6. Гирмонический осииллятор. Задача об одномерном гармоническом осцилляторе, т.е. о частице, движущейся в одном 70 (1.5.13) где А — нормировочные коэффициенты. Графически эти функции представлены на рис.1.5.2, причем для наглядности каждая из функций изображена возле отвечающего ей уровня энергии, так что для каждой из функций по оси ординат отложено ее значение (а не энергия!), и нулем отсчета служит соответствующий энергетический уровень. Полиномы О(у), обычно называемые полиномами Эрмита, были впервые исследованы русским математиком П.

Л. Чебышевым (1359 г.) и французским математиком Ш. Эрмитом (1864 г.). Они допускают несколько различные представления, в частности 2 Д 2 5„(у) = (-1)" еУ е " . (1.5.14) Иу При такой записи полиномов Эрмита для функций ~) (6)„которые по аналогии называют функциями Эрмита, нормировочными множителями служат величины В = (2"и( ~Б ) "2, так что ц~„=(2"лЬ/л) ч~о„(у)е У '2. (1.5.15) Множители В связаны с коэффициентами А в равенствах (12) весьма просто: А = В 2"", если и четное, и А = 2'"")" В, если и нечетное. в. Оиераторы иовышения — юонижения. Задача о гармоническом осцилляторе играет весьма заметную роль в квантовой рируемым квадратом модуля (и могут быть нормированы), а как собственные функции эрмитова оператора Н в уравнении (3) они должны быть к тому же взаимно ортогональны. В этом спектре все соседние уровни отстоят друг от друга на одну и ту же величину а.