Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа

517.2 Л 95 УДК 513.88+519.55 Лазара Аронович Люеюернпк, Владимир Иванович Соболев Злементм функпнональиаго анализа Мч 1965 гч 52! стр. с илл. Релзкторы Н.П. Кулцов, В. Н. Биглюцков Теки. Релактор А. А. Благовещенсков Корректор С. Н. Вмельлковн Савко в набор 2/!Х 1965 г.

Подписано к печати 22/Х! 19% г. Бумага 84Х108/ео Фнз. печ. л. 16 И. Условя. печ. л. 26.65. Уч.-изл. л. 24,66. Тираж 20 000 зкз. гу-!ЗГ/8. Цека кяигн! р. 43 к. Заказ 35 18Ц, Изаательство Наука» Главыаа релакпиз физико-математической литературм Москва, З-!1, Ванинский пр., 15. Леиянгралскаа типография уй 2 имени Евгении Соколовой Главполнграфпрома Госуларстаеняиге комитете Совета Министров СССР по печати. Измайловсквй проспект, 28 41-65 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловне ко второму изданию.............. Б в е д е н и е. Обобщение осиовнык понятий анализа, геометрии и алгебры .

Г л а в а 1. Метрические пространства........... 9 1. Функциональная зависимость. Пространство. Упорядоченность 2. Метрические пространства .. . ... .. .. ... . 3. Примеры метрических пространств 4. Полные пространства. Полнота некоторых конкретных пространств . 5. 11ополнение метрических пространств . 6. Теоремы о полных пространствах . 7. Принцип сжатых отображений 9 8. Сепарабельные пространства Г л а в а 1!. Линейные нормированные пространства .

6 1. Линейные пространства . 2. Лннейиые нормированные пространства . 3. Линейные топологические пространства . 9 4. Абстрактное гильбертово пространство . 9 5. Обобщенные производные и пространства С. Л. Соболева Г л а в а 11 !. Линейные операторы..... 9 1. Линейные операторы 9 2. Линейные операторы в линейных нормированных пространствах 6 3. Линейные функционалы .

9 4. Пространство линейных ограниченных операторов 5. Обратные операторы 6. Пространство Банаха с базисом Г л а в а ! Ч. Линейные функционалы . 1. Теорема Банаха — Хана и ее следствия 2. Общий вид линейных функционалов в некоторых функциональных пространствах . % 3. Сопряженные пространства и сопряженные операторы 9 4. Слабая сходнмость последовательностей функционалов и злементоз . Г л а в а Ч. Компактные множества в метрических и нормированных пространствах В 1.

Определения. Общие теоремы . 9 2. Критерии компактности множеств в некоторых функциональных пространствах . й 3. Универсальность пространства С [О, 11 5 7 11 29 33 40 43 53 57 57 68 77 83 95 122 122 133 143 145 153 164 172 173 180 196 212 222 222 236 256 ОГЛАВЛЕНИЕ Г д а в а И. Вполне непрерывные операторы . 9 1 Вполне непрерывные операторы . 6 2.

Линейные операторные уравнения с вполне непрерывными операторами . 9 3. Принцип Шаудера и его применения . й 4. Полная непрерывность оператора вложения С. Л. Соболева. Г лава Н!!. Элементы спектральной теории самосопряженчых операторов в гильбертовом пространстве . 6 1. Самосопряжеиные операторы . ' 2. Унитарные операторы.

Проекционные операторы 3. Положительные операторы. Квалратный корень из положительного оператора . 6 4. Спектр самосопряженного оператора . й 5. Спектральное разложение самосопряженного оператора й 6. Неограниченные линейные операторы. Основные понятия и определения . 6 7. Самосопряженные операторы и теория расширений симметрических операгоров, 6 8. Спектральное разложение неограниченного саиосопряженного оператора. Функции саиосопряженного оператора 6 9.

Примеры неограниченных операторов . !' л а в а И!!. Некоторые вопросы дифференциального н интегрального исчислений в линейных нормированных пространствах ф 1. Дифференцирование и интегрирование абстрактных функций числового аргумента 6 2. Разностные схемы и теорема Лэкса . В 3.

Дифференциал абстрактной функции . 6 4. Теорема об обратном операторе. Метод Ньютона... 6 5. Однородные формы и многочлены . 6. Дифференциалы и производные высших порядков .. 7. Дифференцирование функций двух переменных 6 8. Теорема о неявных функциях . 6 9. Приложения теоремы о неивныхфупкциях. 6 10. Касательные многообразия . 6 11. Задачи на вкстремум . Дополнения !. Классы Г.р, Р > 1 1!. Непрерывность в среднеи функций класса Г.р(6) .

!Д. Теорема Боля — Браузра . !И Два определения и-й производной функции вещественного переменного Литература Предметный указатель . Указатель обозначений 261 261 268 287 295 305 305 3!О 3!7 322 333 349 359 370 390 406 406 423 434 44! 449 456 465 467 473 480 489 493 493 499 502 508 51! 520 ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ С момента выхода в свет первого издания настоящей книги прошло свыше десяти лет. За это время происходило как всестороннее развитие функционального анализа, так и интенсивное проникновение идей и методов функционального анализа в различные разделы математики, да и не только математики. Функциональным анализом начинают все более широко пользоваться механики и инженеры, не говоря уже о физиках, которые одни из первых стали применять функционально-аналитические понятия и методы в своих теоретических исследованиях. Поэтому нет необходимости обосновывать значимость функционального анализа и его место в системе математических дисциплин.

Развитие функционального анализа и все возрастающий интерес к нему со стороны широких кругов математиков. физиков н механиков имели следствием появление ряда превосходных курсов и монографий, посвященных общему функциональному анализу. Достаточно назвать книги Л. В. Канторовича н Г. П. Акнлова [12[, А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина[14[, В. И. Смирнова[29[, Б.

3. Вулнха [6[, Н. И. Ахиезера и И. М. Глазмана [3[, Ф. Рисса и Б. Секефальви-Наля [27[, Н. Данфорда н Дж. Т. Шварца [!0[ н др. Однако наи кажется, что предлагаемое второе паланке настоящей книги не дублирует названные курсы и монографии. Во втором издании в основном сохранен элементарный характер изложения, н поэтому наша книга нам представляется более доступной для начинающего по сравнению с другими книгами. По сравнению с первым, второе издание книги перепланнровано, выпущен ряд небольших по объему вопросов, чаше всего либо несколько выпадавших нз общего плана изложения, либо носивших иллюстративный характер, доба- б ПРСДИСЛОВИВ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ влено довольно много нового материала.

Наиболее значительными добавлениями является включение пространств С. Л. Соболева и теорем вложения для этих пространств, теории Рисса — Шаудера линейных операторных уравнений с вполне непрерывными операторами в произвольных банаховых пространствах, принципа неподвижной точки Ю. Шаудера, основ спектральной теории неограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве. Вместе с тем, как и в первом издании, не развиваются или не рассматриваются такие важные разделы функционального анализа, как топологические линейные пространства, нормированные кольца, теория представлений, полуупорядоченные пространства, обобщенные функции и их приложения и пр. Авторы исходили из известного принципа К.

Пруткова о невозможности объять необъятное и отсылают читателя, интересующегося указанными вопросами, к другим монографиям. Подготовляя второе издание нашей книги, мы использовали ряд курсов и монографий по функциональному анализу. Это в первую очередь книги Л. В. Канторовича и Г. П. Акилова, В. И. Смирнова, Ф. Рисса и Б. Секефальви-Надя. При изложении спектральной теории линейных операторов в гнльбертовом пространстве мы в основном следовали плану и идеям А.

И. Плеснера 524, 255, котозый был горячим пропагандистом спектральной теории линейных операторов, да и функционального анализа вообще, в годы, когда начиналось широкое развитие этого раздела математики в нашей стране. Рукопись книги прочитали А. И. Перов, Л.

А. Райков и В. Б. Рутицкий, сделавшие много ценных замечаний. Ряд предложенных ими улучшений изложения использован в книге, и мы приносим им искреннюю благодарность. Авторы ВВЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИИ И АЛГЕБРЫ В начале настоящего столетия возникла новая аналитическая дисциплина, так называемый ф у н к ц и о н а л ь н ы й анализ. Основные понятия и методы функционального анализа постепенно складывались в недрах более старых областей математического анализа: в вариационном исчислении, в теории дифференциальных уравнений, в теории представления и приближения функций, в численных методах анализа и особенно в теории интегральных уравнений.

Сущность функционального анализа состоит в том, что ряд понятий и методов из злементарных глав математического анализа (и смежных областей алгебры и геометрии) переносится на объекты более общей и более сложной природы, причем широко используются геометрические и алгебраические методы. Такое перенесение, связанное с обобщением основных понятий анализа, позволяет подходить с единой точки зрения к вопросам, ранее рассматривавшимся изолированно в специальных аналитических дисциплинах, устанавливать связи между, казалось бы, далекими математическими теориями и тем самым способствовать открытию новых математических фактов.