Галлагер - Метод конечных элементов. Основы, страница 12

2,3) характеризует два осевых смещения. Этот элемент в глооальной системе координат (рис. 2.13) описывается шестью компонентами смещений. Обозначая направляющие косинусы осей элемента в системе координат к, у н г через с', „св „и т.

д., представим преобразование координатных осей ьо с Олределенил и основные ооерации с элементами в виде < и,[ <[.„[„„1„, О 0 и;! [О 0 О [,, [мь (Для удобства в точке 2 показаны только глобальные (без штриха) компоненты, а в точке 1 — только осевая компонента и,'.) 2.8. Нондеисацмя Термин лонденсацил означает снижение размерности системы уравнений при помощи исключения некоторых степеней свободы Чтобы сократить общее число исходных степеней свободы, редуцированная система уравнений (конденсированные уравнения) должна быть выражена в терминах заранее выбранных степеней свободы (Л,), которые хотят оставить, а также через дополнительные степени свободы (Ль), т е [ Л [=~ ~Ль [( Л, [ 1 Исходные уравнения представляются следующим образом (2 32) (2 33) Рассмотрим подход, в котором кондеисироваиие основано на преобразовании координат.

Итак, задача состоит в построении соот- ношений (2 34) где 1Г,1 — искомая матрица преобразований. Для этого решим сначала верхнюю часть уравнения (2 32) (Ль)= — 1[сьь[ '[[сьс1(Лс)+[[сьь[ '(Рь). (2 35) Так как второй член в правой части соотношения есть константа зля заданных нагрузок, соотношения жесткости между степенями свободы (Л,) и (Ль) задаются с помощью матрицы — [й„[-'[йь,[ Замечая такаье, что (Л,)=[[1(А,), можно записать следуощее и редуцируются (конденсируются) к виду [й„[(Л,) =(Р,). и, Уа И~а и, оа ьпа 2 8 Конденсация преобразование координат о' д = ! (Дс) = Р'о1 (Дс) (2 38) Применяя указанное преобразование к уравнению (2.32) как обычное преобразование координат, получим соотношения (2 33), где [йоса = [[йсс1 — [йсэ1 [йЬЬ1 ' [РЬЛ (2 37) (Р,) = [~о3'~ )'= (Рс) — [йсь1 [йьь) '(Рь) (2 38) г (рь1, Заметим, что данное преобразование, полученное на основе соотношений, связывающих лишь степени свободы, можно применять также для преобразования векторов в правосторонней системе координат.

Эти результаты можно непосредственно получить, если подставить (2 35) в нижнюю часть уравнения (2 32), однако конденсация на основе преобразования степеней свободы (Го) оказывается полезной при анализе динамической и упругой устойчивостей и может оказаться удобной с точки зрения программирования даже для линейных задач статики Для иллюстрации рассмотрим вновь консольную балку, изображенную на рис 2 8(с), и исключим с помощью конденсации степень свободы й,. Опорная матрица жесткости получается из представ- оо Может вначале показаться, что преобразование, задаваемое с помощью (236), должно содержать постоянный вектор (Ль)=(й~ь!-'(Гь), входящий в (235), и записываться в виде (2 Зба) Однако можно доказать, что наличие вектора ( Ььо )ие оказывает влияния на преобразование Вектор( Аьо ! отвечает движениютела как твердогоцелого хотя преобразование, включающее движение тела как твердого целого, нзыеняет пол ную энергию системы, алгебраические уравнения, которые задают поведение конструкции (например, уравнения жесткости (2 !!), выводятся из условия ста ционар ности энергии, а иа это условие движение тела как твердого целого ие ели я ет Можно убедиться в этом, подставляя (2 Зба) е выражение для потенциальной энергии После подстановки в укаэанное выражение соотношений (2 Зба) и последующего дифференцирования по (Ьь) приходим к результату, совпадающему с результатом, получаемым, если применить преобразование (Го! Представления, поясняющие эту последовательность операций, содержатся в гл.

б и 7. 2. Определения н основные ооерации с элементами ленной в разд. 2.3 матрицы с помощью вычеркивания третьих и четвертых столбцов и строк. В результате имеем 2Š— 3Ц 1Е, 1 1М,1 Так как исключению подлежит верхняя строка, то йьь=4ЕЫ., Аь,— — — 6ЕЕЕт. Поэтому матрица преобразования, используемая для конденсации, имеет вид Применяя это преобразование к матрице жесткости следующим образом: 1Гя!т=1йПГа! и к правой части в виде [Га1т(Р), получим ЗЕ! — щ=Е+ — М. 3 2Е Откуда, выражая втт, получим л,та М,тя щ — + ЗЕЕ 2ЕГ т.

е. точное уравнение податливости для этой конструкции. Интересно отметить, что конденсация матрицы жесткости означает удовлетворение условиям равновесия, которые соответствуют исключаемым элементам. Возможность использовать данный подход для конденсации представится в разд. 3.5. Он будет также применяться в книге и для ряда других целей. 2.Ф. Выделение мод движения тела как твердого целого Обычный подход к построению определенных типов элементов, особенно искривленных, делает затруднительным выявление числа и типов мод движения тела как твердого целого, содержащихся в получаемой матрице жесткости. В настоящем разделе определяются алгебраические операции, которые необходимо проделать с матрицей жесткости элемента, чтобы получить эту информацию.

Включение степеней свободы, отвечающих движению тела как твердого целого, в совокупность уравнений жесткости элемента приводит к линейной зависимости некоторых уравнений от других. Линейная зависимость существует в системе уравнений, если одно из иих можно записать как линейную комбинацию других уравнений системы. Можно также интерпретировать линейную зависимость и с геометрической точки зрения: систему уравнений п-го 2.9, Выдепенне глод двнженнв тела квн твердого целого порядка можно представить как систему из п векторов с проекциямп [компонеитами) на п осей.

Если два вектора — в нашем случае наборы коэффициентов двух уравнений — коллинеарны, то имеет место линейная зависимость. Коэффициенты системы уравнений жесткости элемента, вообще говоря, связаны, т. е. внедиагональные коэффициенты отличны от нуля. Поэтому каждая строка есть вектор с отличными от нуля проекциями на более чем одно из и главных направлений. Указанные строки можно преобразовать в векторы, соответствующие и главным направлениям, Эти векторы имеют одну ненулевую компоненту, лежащую на главной диагонали матрицы, и образуют в совокупности диагональную матрицу.

Если пара исходных векторов коллинеарна, то один из диагональных элементов окажется равным нулю (число главных направлений меньше, чем размерность исходных векторов на единицу). Если существует з наборов коллинеарных векторов, то на диагонали матрицы, задающей главные направления, будет з нулевых элементов, Исходя из вышеизложенного, число мод движения тела как твердого целого, содержащихся в матрице жесткости элемента, можно определить, преобразуя матрицу жесткости к диагональному виду (к главным направлениям); число диагональных нулевых элементов равно числу указанных мод.

Чтобы вьпюлнить требуемое преобразование, найдем собственные векторы и соответствующие им собственные значения матрицы жесткости. С этой целью определим вначале характеристическое уравнение для матрицы !й!. Характеристическое уравнение для матрицы [й[ есть алгебраическое уравнение, получающееся в результате раскрытия детерминанта [й — ег[ [=О. Если [к[ — матрица порядка ах и, то для го получается алгебраическое уравнение и-й степени, а корни уравнения го„...

ыо ..., ге„являются собственными значениями матрицы [к[. Собственный вектор, отвечающий собственному значению гоо есть ненулевой вектор (д,), удовлетворяющий уравнению [[г[(д,)=(д;)гоо При условиях, широко распространенных в анализе линейных систем, собственные векторы ортогональны по отношению к матрице [й), Согласно этому свойству, для двух произвольных собственных векторов (д,), (дз) ([чь[) справедливо ( б, )[й[(Ц=0. (2.

39а) Кроме того, если (д,) нормировать таким образом, чтобы ! д; ~ (бЦ=[, то ~ д, [[й)(бг)=гв!. (2.39Ь) Рассмотрим теперь (пхп)-матрицу Тв[, столбцы которой суть собственные векторы матрицы [й[, т. е. [Р.[=[( Ц... (б,)... (бп)[. (2,40) 2. Определения н основные операции с влементемн Если построить конгруэнтное преобразование матрицы (к1, используя !Гл) в качестве матрицы преобразования, то свойства (2.39) гарантируют получение диагональной матрицы жесткости, называемой модальной матриией жесткости Г й ), Поэтому Г й. ) =(Г.)т(й)(Г„).

(2.41) Очевидно, число независимых уравнений в [к) определяется ненулевымичленамивмодальнойматриие жесткости Гй [. Число нулевых главных диагональных элементов дает число мод движений тела как твердого целого. Собственные векторы, отвечающие указанным строкам матрицы, описывают внд соответствующих смещений тела как твердого целого. Так как главные диагональные члены являются также собственными значениями, поиск мод движений тела как твердого целого сводится к нахождению нулевых собственных значений. Чтобы проверить высказанные соображения, рассмотрим матрицу жесткости для изображенного на рис.

2.7 стержневого элемента. В этом случае соответствующая задача на собственные значения может быть записана в виде АŠ— — 0) АЕ 7 Раскрывая детерминант, получим сав†(2АЕ(1.)со=О, так что со= =О, 2АЕ/Е, а нормализованные собственные векторы имеют вид Наконец, применяя преобразование (2.41), приходим к соотноше- нию Здесь стержневой элемент обладает одной степенью свободы движения тела как твердого целого.