Галлагер - Метод конечных элементов. Основы, страница 14

3 1. Типичпыа узел внутри плоской конструкпии. Рис. З,2 Анализ равновесии в направлении Р; — Ьп и перемещения в узловых точках элементов для конечно-элементной модели всей конструкции. Чтобы проиллюстрировать эту методику, рассмотрим вывод уравнения связи между силамн и перемещениями в точке д в направлении х для изображенной на рис.

3.1 аналитической конечно- элементной модели. Обозначим величины, отвечающие направлению л в точке д, нижним индексом й Все изображенные элементы — три 3. Способы глобального анализа конструкций треугольника и четырехугольник — лежат в плоскости х — у. Для удобства на рис. ЗА показаны степени свободы для всех узловых соединений, но только одна сила, представляющая внешнюю нагрузку Р„которая действует в направлении х в точке д. Согласно условиям равновесия в узле соединения, приложенная нагрузка Р, равна сумме внутренних сил, действующих в соответствующих элементах, прилежащих к узлу *>.

Чтобы пояснить это, покажем на рис. 3.2 элементы, прилежащие к рассматриваемому узлу. Из условия равновесия в направлении х имеем Р Рл+Ра+Рс+Ра где Р", — сила (внутренняя), действующая в направлении х в эле. менте А. Соотношения между напряжениями и смещениями для элементов, имеющие вид (ЗА), приводят к выражениям для Р(з,... ..., Ра, записанным в терминах соответствующих степеней свободы элемента Л,..., Лотт. После подстановки указанных выражений в (3.2) приходим к соотношению Р (ьАЛА+йАЛА ( ( йАЛА) ( (йвЛч ( йВЛВ +(йапЛ +й,,Ла+ +йомЛ'з,), (3 3) а так как для А, В, С и 0 в силу условия совместности смещения Лт одни и те же для каждой степени свободы (Л,"=Л~=Лс=Л~'= =Л,), то Рг (Угтлг+ йе + йст, + й,"т) Л, + (йа, + Я Л, + +(йлз+йе „( йь +да) Л + +(й~ +Ьа ) Л (3 4) или Рг К тЛт+КттЛз+КтзЛз+...+КтттЛтд.

Это окончательная форма записи искомых уравнений. Обозначенные прописными буквами Кы, Ксь К„,..., Клм величины суть глобальные коэффит(менты жесткости, а уравнение (3.4) есть глобальное уравнение жесткости. Важно отметить, что каждому из четырех элементов, которые соприкасаются в указанном узле соединения, отвечают коэффициенты жесткости с одинаковыми нижними индексами (например, й"„, йвт, щ, йа). Если нижние индексы для двух или нескольких различных элементов совпадают, то элементы имеют общую степень свободы, которая обозначается вторым нижним индексом.

Тогда з~ Для этого соединения следует обраткть внимание ва важную деталь обозначений Внутренние силы в узле (клв силы в элемекте) обозпачаются ель~волом г, а внешние силы в узле — через Р е соответсгвующвмя верхними к нижними индексама в каждом случае Здесь ве вводятся отдельные символы для моментов в элементе л внешних моментов в угле, так как нигде в одной н той же задаче ке будут фигурировать все велкчакы сразу. тз 3 2, Прямой метод жесткости. ОБщая методика уназанные коэффициенты складываются и получается один коэффициент в уравнении жесткостгй которое отвечает силе, представленной первым нижним индексом. 3.2.

Прямой метод жесткости. Общая методика Для дальнейших построений предлагаетси следующий алгоритм получения уравнений, связывающих прнкладываемые нагрузки и перемещения для всей конструкции 1. Перед вычислением каждому коэффициенту жесткости для элемента приписывается два нижних индекса (к„). Первый инденс 1 определяет силу, для которой записывается уравнение, а второй индекс 1 — соответствующую степень свободы.

2. Вводится массив (квадратная матрица), размерность которого равна числу степеней свободы всей системы с учетом того обстоятельства, что каждая сила связана соотношением с каждым перемещением системы. Каждый элемент массива обозначается двумя нижниии индексами. Первый нижний индекс (строка) отвечает соответствующему уравнению для силы, второй индекс (столбец) — рассматриваемой степени свободы. В качестве иллюстрации на рис. З.З представлен массив, отвечающий двумерной конструкции с общим числом степеней свободы, равным и.

Если встречается элемент, в обозначении которого имеется индекс 1, то он располагается в первой строке, в столбце с номером, равным второму нижнему индексу. Например, й„располагается, как указано на рис. З.З(а). 3. Операции на шаге 2 выполняются для степени свободы с номером 1 до тех пор, пока все элементы не будут найдены. Каждый раз, ногда коэффициент засылается в позицию с отличным от нуля значением, его значение прибавляется к последнему.

После завершения операции на указанном шаге все элементы в первой стропе достигают своего оксбтчательного значения, Следовательно, для г-й степени свободы Ко=ХА„, где суммирование распространяется на все элементы, имеющие степень свободы й 4. Операции, проведенные на шагах 2 и 3, повторяются для всех остальных степеней свободы В результате получают полный набор коэффициентов уравнений жесткости всей конструкции (глобальнгкх уравнений жесткости), однако без учета условий закрепления.

5. Граничные условия учитываются, во-первых, выделением перемещений, равных нулю, с последующим устранением из уравнений коэффициентов жесткости, которые стоят сомножителями при указанных степенях свободы *'. В результате получается больше *~ Распространенная альтернатива этой процедуры заключается в выделении с самого начала условий аакреплення и построений матриц жесткости элементов только для незакрепленных степеней свободы. Тогда операции на шаге 2 — 4 приводят непосредственно к редуцированной матрице жесткости и ша~ Б исключается.

3. Способы глобального анализа конструкций уравнений, чем неизвестных. Дополнительные уравнения отвечают внешним нагрузкам в точках закрепления, т. е, реакциям опоры, Эти уравнения выделяются и хранятся для последующих преобразований. лч дт аз ду в (а) Р» (ь) рнс. З.З. Основные аспекты задания глобальной матрицы жесткости. (а) Способ цостроення козффнциента д;у в глобальной матрице жесткости и расположение козффнцнента а,е; (ог типичный окончательный вид строки матрицы жесткости.

б. Образовавшаяся после выполнения операций на шаге 5 система уравнений решается относительно неизвестных степеней свободы. Внутренние силы, действующие в узлах элемента, определяются в результате подстановки найденных значений степеней свободы в соотношения, связывающие силы и перемещения в эле. менте. Нахождение указанных величин может потребовать преобразования глобальной системы координат в локальную систему координат с последующим вычислением напряжений. 75 3.2. Прямой метод жесткости. Общая методика Выполняемые в процессе реализации алгоритма алгебраические преобразования запишем в матричном виде. Предполагается, что операции на шаге ! — 4 выполнены и глобальные уравнения жесткости выписаны и имеют вид (Р)=(К)(Ж. (3.5) Далее предположим, что соответствующие закреплению степени свободы (Л,) можно сгруп1шровать, а уравнение (3.5) разбить на блоки так, чтобы выделить сгруппированные степени свободы (на практике эта операция не является необходимой и неудобна, но применяется здесь для большей ясности изложения).

Итак, У УУ' Ут ( У Заметим, что нижние индексы вводятся в соответствии с равд. 2.6. Так как (Л,)=0, то (Р~)=1)(уу)(Ж) (Р )=!КО!(И. (3,7а, Ь) Общее решение уравнения (3.7а) получим в следующем символическом виде: Р~)=1!~п! (Р~)=1 ~1Р~) (3.8) где матрица 1Л вЂ” совокупность глобальных коэффициентов влияния для пгрглтгтттгний. Подчеркнем, что операция обращения матрицы является символической. На практике, если рассматривается относительно небольшое число условий натруженна (Ру), наиболее эффективный способ реализации этого процесса состоит в решении указанных уравнений с известной правой частью. Реакции опоры (Р ) находятся в результате подстановки уравнения (3.8) в (3.7Ь): (Р,) =[К,УИ Г1(РУ).

(3.7с) Чтобы определить распределение внутренних сил в 1-м элементе, можно подставить вычисленные степени свободы данного элемента, обозначаемые ниже через (Уат), в матрицу жесткости элемента 1йт), что приведет к вычислению усилий (Рт) в узлах соединения этого элемента. Чтобы получить напряжения, а не усилия в узлах, зная перемещения, необходимо перед выполнением расчета вывести обычные соотношения, связывающие напряженна в элементе с соответствующими значениями степеней свободы в узловых точках, а именно (3.9) (о') =-15т1(Ат), 3, Способы глобального аналк»а конструкцнй где (пг) — величины напряжений, характеризующих напряженное состояние внутри (-го элемента, а!3«) — соответствующая матрица жестносгпи элемента.

Вектор (и') объединяет величины напряжений в заданной точке элемента. Таким образом, при этом подходе, если вектор перемещений для элемента вычислен, то для определения напряжений необходимо умножить его слева на соответствующую матрицу жесткости. В предыдущих рассмотрениях не было уделено внимание некоторым основным свойствам глобальных уравнений жесткости. Во-первых, свойство симметрии коэффициентов жесткости элементов обеспечивает симметричность коэффициентов глобальных уравнений жесткости, поэтому необходимо держать в памяти ЭВМ лишь диагональные элементы матрицы и элементы по одну сторону от диагонали. Во-вторых, как было указано, отвечающие данной степени свободы уравнения жесткости (уравнения равновесия) зависят от степеней свободы тех элементов, которые прилежат к узлу, где задана исходная степень свободы. Изображенные на рис.