Галлагер - Метод конечных элементов. Основы, страница 11

Решая указанные уравнения путем обращения матрицы [йм1, получим (А/) = [11 ( Г/) (2,!4) где [!1=[й„[- . (2.!5) (Заметим, что операция обращения матрицы обозначается степенью — !.) Матрица [11, по определению, состоит из искомой совокупности коэффициентов податливости элемента.

Поэтому соотношения податливости выводятся из соотношений жесткости путем статически определимого закрепления тела с последующим исключением столбцов и строк матрицы жесткости, отвечающих компонентам закрепления, и обращением матрицы из оставшихся элементов. Чтобы осуществить обратный процесс построения полной матрицы жесткости по известной матрице податливости, необходимо начать с обращения матрицы податливости. Итак, (Г/)=[11 (А/)=[й/ДА/). (Г.)=[1[1(Г/) и прн помощи подстановки уравнений (2.16) получим (Г )=1~1[!1 (Ау)=[[с 11(Ау), (2.!7) (2.!8) так что [Км[=[КН[1-~. [2.!9) Для получения остальных составляющих полной системы уравнений жесткости исследуем предполагаемую конечную форму этих соотношений, т.

е. уравнений [2. ! !). Работа, выполненная внешними нагрузками (Г,) на соответствующих им перемещениях (А/), должна равняться работе, производимой оставшимися силами (Г,) на соответствующих им перемещениях (А,), если считать, что (Г~) становятся реакциями опоры. Это можно записать в матричном виде следующим образом: '/а[ Г.[(А.)='/.~А/1(Г!) (2.20) Так как в результате транспоиироваиия соотношений (2.

!8) ~Г,[= [ Аг ) [йм)т, то (2.20) можно записать в виде / [ Ат )[й/1т(А ) 1/а[ А/ [(Г!). (2.20а) Так как матрица податливости отвечает статически определимому неподвижному закреплению, то соотношения, связывающие внешние силы и реакции опоры, легко устанавливаются путем выписывания уравнений статического равновесия. Эти соотношения могут быть записаны в виде 55 2.6.

Преобразование соотношений жесткости и податливости Поэтому (2.2!) (Рг)=[йм!'(л.) =[йы!(б.) Следовательно, с учетом (2.!9) получим [йм[=[!! ЧК1т. (2.22) Принимая во внимание окончательный вид матрицы жесткости (см. (2.11)), можно вывести из условий равновесия те же соотношения, что и в (2.17). Подставляя (2.21) в (2.17) н учитывая (2.22), приходим к равенству [К![в[-т[К)т(а ) [ 1(а ) (2.23) Поэтому конструируемая матрица жесткости принимает вид И'! [11'М' ~ 1= ~1К~[1)от[[КЦ[1а*[К)'~' (2,24) Поэтому стоящая в правой части равенства матрица 2к2 есть матрица [К1. Читатель может проверить, что использование матриц 1К и 1К! в (2.24) приводит к указанной ранее матрице жесткости для балочного элемента.

В итоге оказывается, что матрица жесткости строится путем обращения матрицы податливости и матрицы 1 К[, которая получается из условий статического равновесия элемента. Исходная матрица [1! является симметричной. Так как [йг,[ получается в результате транспонирования [[со[, то указанные блоки результирующей матрицы жесткости симметричны. Также видно, чтоблок [й„[ представляется в виде произведения трех матриц, причем первый сомножитель получается транспонированием последней матрицы. Указанное тройное произведение, называемое конгрузнтным преобразованием, дает симметричную матрицу, если центральная матрица в произведении симметрична. Следовательно, так как !Н симметрична, то и [(с„[ симметрична. Соотношения (2,24) представляют общую формулу преобразования матрицы податливости в матрицу жесткости с учетом степеней свободы, отвечающих движению тела как твердого целого.

Число з усилий в опорах предопределено требованиями неподвижности и статической определимости системы, а на число внешних сил 7' нет ограничений (т. е, отсутствуют ограничения на размерность матрицы податливости). Чтобы проиллюстрировать эту процедуру, рассмотрим консольный балочный элемент, изображенный на рис. 2.8(с). Матрица податливости [1! была выписана ранее, а уравнения для реакций имеют вид 2. Опредепения и основные операции с эпементами Теперь в нашем распоряжении имеются все соотношения, позволяющие построить определенные в равд. 2.3 соотношения между усилиями и перемещениями смешанного вида.

В этом представлении величины ~Р, А, )' выражаются через ~ г", А, ). Решая сначала (2.17), имеем (Р,)=(К) - (Р,). (2. 17а) (2.24Ь) Тогда, используя (2.17а) и (2.24с), приходим к соотношению А,) = (1~-[К)ст! — -'-Кт А, (2.3а) Квадратная матрица, стоящая в правой части данного уравнения, играет роль матрицы Ю! из (2.3). Символом нуль в правом верхнем углу матрицы (2.3а) обозначена нулевая матрица, т.

е, матрица, со- стоящая полностью из нулевых элементов. 2.7. Преобразование степеней свободы Часто уравнения, записанные для некоторых степеней свободы (А'), необходимо записать относительно других степеней свободы (А). Наиболее распространен случай, когда исходные степени свободы отвечают одной системе координат и требуется, чтобы уравнения задачи были записаны для степеней свободы, отвечающих другой системе координат. Иными словами, разыскивается преобразование координат. В общем случае преобразованные степени свободы могут не иметь определенного физического смысла, а нх число не обязательно должно совпадать с числом исходных степеней свободы.

Соотношение, связывающее указанные две системы степеней свободы, можно записать в виде (А') =(Р)(А). (2.25) Предположим, что уравнения, которые требуется преобразовать, имеют вид (й') ттА') = (Р'). (2.26) Используя далее (2.24) (верхний блок), записываем верхнюю часть соотношения (2.11) в виде уравнении (Р,) =(1)-т(А,)+1(1-т1 К) ~ (А,). (2. 24 а) Разрешая относительно (А,), получим (А,) =1 1)(Р,) — (К)'(А,).

После подстановки (2.17а) для (Гт) имеем (А,)=11)(К) т(Г,) — [К)т(А,). (2.24с) 7.7. Преобразование степеней свободы 57 Предположим также, что каждая компонента Р; вектора усилий (Г') производит работу т/,Р;А,' на перемещении А[, а ее работа вдоль любой другой компоненты перемещения (А') равна нулю. Если выполняются указанные условия, т. е. условия справедливы при действии сил и ортогональных направлениях, то такие векторы спл и перемещений называются сопряженными вектпоратяи. Обе системы векторов (А'), (Г') и (А), (Г) выбираются сопряженными. Чтобы величина работы оставалась инвариантной при заданном преобразовании, необходимо выполнение равенства ~ Г' ! (А')= = [ Г [(А), откуда с учетом [2.25) имеем ! Г' ! Т[(А)= [ Г ! (А), следовательно, ~ Г [1П= [ Г [, или после транспонирования [Г[ (Г')=(Г), (2.

27) где символом [-) обозначена совокупность сил, полученная в результате преобразования (Г'). Откуда вытекает, что преобразование перемещений (2.25) подразумевает преобразование сил согласно [2.27). Преобразования сил и перемещений называются кантраградиентнами, если оговорены условия сопряженности. Если преобразование сил задано, то матрица преобразования перемещений получается в результате транспонирования сил, Принцип контраградиентности очень важен в том случае, когда преобразования перемещений (или сил) легко находятся, исходя из физического смысла, а преобразование сопряженного вектора осуществить нелегко.

Это имеет место, например, если уменьшение числа степеней свободы осуществляют путем процедуры преобразования, описанной в равд. 2.8. Для уяснения следствий проведенных выше рассмотрений, касающихся соотношений жесткости элемента, удобно иметь дело с введенными в равд. 2.4 величинами энергии деформации и внешней работы. Потребуем снова, чтобы величина работы оставалась инвариантной при заданном преобразовании. Выполняя непосредственную подстановку (2.25) в [2.4а) и [2.4), получим 2 [к 1(А ) 2 [~ 1 ([с 1[~ 1(А) 2 [[с1(А) (2.4 ) [Г = — (Г') = — Щ' (Г') ==- (Г). [2,4с[) Следовательно, преобразованная матрица жесткости, отмеченная знаком ("), дается выражением [й[=[г[т[й'![Г[, [2.

28) Вектор сил, естественно, преобразуется согласно (2.27). Задаваемое соотношением (2.27) преобразование [[с'1 в [Й имеет вид конгруэнтного преобразования. Таким образом, если Пс'1 — симметричная матрица, то и преобразованная матрица [[с! должна быть симметричной.

5а 2. Определения и осноенме олереции с елементеми Если осуществляется преобразование для ортогональных осей координат, то указанные формулы можно получить более непосредственно, проведя, однако, несколько больше выкладок. Предположим, что преобразование компонент перемещения задается в результате непосредственного рассмотрения соотношений, связываю- У У ;~с Рнс. 2.12. щих векторы смещений (ся') и (А). Вместо того чтобы принять со. отношение (2.27) в качестве преобразования векторов сил, предположим, что это преобразование задается независимо, в результате непосредственного рассмотрения соотношения, связывающего векторы сил (Г') и (Г).

Запишем указанное преобразование в виде (Г')=[Г[(Г). (2.29) Поэтому, подставляя (2,28) и (2.29) в (2.26), получим [й 1[ГЦЛ)=[ГЦГ) или [Г[-~[й ПГ](Л)=(Г), (2.30) Преобразование координат в случае ортогональных координатных осей обладает свойством [Г1[Г1 "=[11, где [11 — единичнал матрица, т. е. диагональная матрица, все элементы которой равны единице. Так как, по определению обратной матрицы,[Г)[Г! '=[!1, то (2.3!) Если матрица обладает свойством (2.3!), т. е. ее транспонированная матрица равна ее обратной матрице, то такая матрица называется ортогональной. Подставив (2.3!) в (2.30), приходим к определению [й[, данному в (2.28). Предположим, к примеру, что матрицу жесткости для плоского элемента, заданную в системе координат х' и у', показанной на рис. 2.

12, требуется задать в системе координат х и у. Для векторов, отнесенных к произвольной точке р элемента, имеем преобразование 2.7. 0 еобрвзовенне стеееней воболы асов чт — з(п ~Р1 Поэтому, если весь элемент содержит и!2 узлов (т. е, в рассматриваемом плоском случае п степеней свободы), искомая матрица преобразования всего элемента имеет вид [Г~= П,) (символом ) ) обозначается диагональная матрица). Так как не требуется обращать матрицу преобразований, а нужно лишь транспонировать ее, то можно определить неквадратные матрицы преобразования координатных осей. Матрица жест- .е, и Рнс. 2.13. кости стержневого элемента (равд.