Галлагер - Метод конечных элементов. Основы, страница 13

Существует поэтому одно собственное значение, равное нулю, и соответствующий собственный вектор, отвечающий движению элемента как твердого целого (осевому смещению элемента). Можно дать другую интерпретацию вышеизложенной процедуры. Движение тела как твердого целого приводит к нулевому значению потенциальной энергии деформации, так как деформации при таком движении отсутствуют. В терминах главных направлений вклады в энергию деформации даются выражениями в7в[ д; ) Г й 2(йс) Вклады в энергию, обусловленные собствен- Задачи ными векторами, отвечающими движению тела как твердого целого, должны быть равны нулю.

Чтобы это имело место, соответствующие собственные значения должны быть равны нулю. Литература 2.1, Веан(аи Г., йозтап %'. Н., Ноад!еу Р. Сг., Хасае!1 й. М. Созпрн!ег Ме!Пода о1 5!гнс!нга! Апа)уз1з.— Епй!ечгоод СП((з, Х. дл РгепПсе-НаП, 1пс., 1970. 2.2. МееМ Я.

Е. Ма1мх 5!гнс!нга! Апа)уыз.— Хез» уогй, Х. ул Мсбгачг-Н(П Воой Со., 1971. 2.3. узгапд С.К. Мв(г1х Ме(йода о1 51гнс!нга! Апа!уыз, 2пд ед.— 5сгвп(оп, Рал 1п1егпацопа) Техйзоой Со., 1970. 2.4. ззгн!ешз Х., Енсаз 97. Ма!7)х Апа)узм (ог 5!гнс(нга! Епй)пеегз.— Епй)ечгоод СП((з, Х. д.: Ргеп(!се-НзП, 1пс., !970. Задачи 2.1.

!1олучите смешанную форму зависимостей между силамн и перемещениями для балочного элемента (см. (2.3)). 2.2. Для заданной матрицы податливости балочного элемента проверьте, что величина дополнительной энергии деформации равна аналогичной энергии для свободво опертого элемента. '(А() =ВЕ) ~ 3Е б 1(0 ~' Рис. Р2.2. 2.3. Ниже вписана матрица податливости для треугольного пластинчатого элемента, находящегося в плоском напряженном состоянии (рис. Р2.3).

Вычислите »Уз эз »3 3 у,о 2 — э- Г»,, нг Рис. Р2.3. матрицу жесткости элемента и проверьте правильность полученного результата, сравнивая ее с матрицей жесткости, показанной на рис. 3.4. иг хг ! хзхз ) 74»г Уз 1 2 Езхгу ~ - ' эз — 74»гУз ! -74»зУз з Уз Р», 3 № 2547 2, Определения и основные операции с элементами 66 2.4. Киже приводится матрица податливости для треугольного элемента прн и =о,=о =О. Докажите, что величина дополнительной энергии деформацнн совпадает с аналогичной энергией, отвечающей матраце податливости в задаче 2.3. (хг) агут х'г-г Ег.

у, )гх, у,' — — — хгх, г х, г , (сеегегетречее) иг гхг (хг-г)г (хг-г) — (гг хг) -2к — 2 з!пгб + -~" и ДСиипетречнс) р уг ,9 — з)п)) ) совр — 1 ))2 дуг и, ()г)2 г аг "г гг,и~ г, чг Ряс. Р2.6. 2.7. Постройте матрицу ()(1, отвечающую равновесию изогнутого балочного эле- мента, лежащего в плоскости х — у, как показано на рис, Р2.7. м Рхг, Мгг х Рнс, Р2.7. 2.5. Матрицу податливости консольной балки, изображенной на рнс. 2.8(с), можно модифицировать так, чтобы учесть эффект влняння поперечных сдвиговых деформаций. Это можно осуществить путем прибавления (еА 0 к коэффициентам податлнвости, связывающим гиг н ггп т. е. угг=(ИВЕ)+0Аеб)), где А, — эффективная площадь сдвига (эквивалентная йлощцхь постоянного по велнчнне сдвигового напряжения, которая приводит к той же суммарной величине сдвигового усилия, что и получаемое по балочной теории распределение сдвнговык напряжений в реальном поперечном сечении), а б — модуль сдвнга.

Вычислнте соответствующую матрицу жесткости элемента. 2.6. Матрица податливости искривленной балка, нагруженной в ее плоскости, приведена аа рнс. Р2.6. Постройте матрицу жесткостн элемента. 67 Задачи >,и. Проверьте выполнение условий равновесия для третьего и четвертого столбцов матрицы жесткостз треугольного элемента, находящегося в плоском напряженном состоянии (см.

рнс. 5.41. 2.9. Проверьте выполнение условий равновесия для первого я шестого столбцов матрицы жесткости прямоугольного элемента, находящегося в плоском напряженном состоянии (см. рнс. 9.13]. 2.10. Проверьте выполнение условий равновесия для первых двух столбцов матрицы жесткости прямоугольного пластинчатого элемента при изгибе, представленной в табл. !2.1. 2,11.

На рвс. Р2,11 приведена матрица жесткости трехузлового стержневого элемевта. Осуществите коиденсапию этого представления и получите систему уравнений жесткости для и, и из. г, =б! 117 ( — 3 кз 1 ха 2 3 5»з. кз Р»,, п! Рнс. Р2.1!. 2.!2. з(атрица жесткости треугольного пластивчатого влемента, находящегося з плоском напряженном состоянии, задана в координатных осях (х', р'1, причем (Р)=(й((А), где ( А ~= ( и, и,' из о( оз оз ( Пля изображенного нв рнс.

Р2.12 элемента постройте матрицу преобразования к осям (х', у', а'1 глобальной системы координат. (21, 21, 20) (27, 1б, 17) Рис. Р2.12. 2,13. Вычислите собственные значения и собственные векторы матрицы жесткости зля простого изгнбаечого элемента и интерпретируйте результат с точки зрения движения тела хак твердого целого.

2.14. Докажите закон Бетти, разбивая матрицу податливости конструкции н используя теорему взаимности. 2.15. В равд. 2.8 было отмечено, что конденсация матрицы жесткости означает 1довлетворение условиям равновесия, отвечающим исключенным перемещениям.

Обсудите смысл конденсации матрицы податливости. 3» 2. Определения и основные операции с апемвнтамн 2.19. Матрица жесткости стержневого злемента 12! построена в ортогональных оспх х и у и должна быть преобразована к косоугольной системе координат х', р'. Постройте преобразованную матрицу жесткости. е;л Рнс. Р2.16. СПОСОБЫ ГЛОБАЛЬНОГО АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЙ Существуют три основные группы методов построения алгебраических уравнений, отвечающих полному (глобальному) конечно-элементному представлению конструкций: методы перемещений (жесткости), методы сил (податливости) и смешанные методы, Вид этих уравнений аналогичен виду уравнений для элемента, определенных в равд.

2.3. Данные группы методов соответствуют различным формам энергетических принципов, и в дальнейшем бу. дет удобно разрабатывать эти методы, опираясь на энергетические подходы. В данной главе изучаются два различных подхода к построению одного и того же типа глобальных уравнений, а именно уравнений жесткости, в которых роль неизвестных величин играют перемещения в узлах. Чтобы реализовать зти подходы, требуется лишь знание алгебраической формы записи матрицы жесткости конечного элемента и обозначений, введенных в равд. 2.3, Сами же подходы заключаются попросту в учете условий равновесия и непрерывности перемещений в узлах для полной аналитической конечно-элементной модели.

Цель указанных рассмотрений состоит в обеспечении читателя достаточными средствами для построения глобальных уравнений на основе соьтношений для элементов, устанавливаемых в последующих главах, а не в тщательном обзоре возможных средств построения уравнений в методе конечных элементов. Жесткостные представления выбраны для описания потому, что, с точки зрения автора, это наиболее простые и эффективные из известных представлений. Кроме того, необходимо добавить, что использование жест. костных представлений налагает мало ограничений (или вообще не вносит ограничений) на характер задания конкретных уравнений для конечного элемента. Это объясняется тем, что, как показано в равд.

2.6, если уравнения выведены в одной форме (например, в форме уравнений податливости), то их можно преобразовать к другому виду (в данном примере возможно преобразование в уравнении жесткости). 70 3. Способы гпобепьного енепнзе конструкцнп Существует много различающихся деталями вариантов построения глобальной системы уравнений жесткости.

Рассматриваемые в данной главе подходы — это пряхгые методы ягссткости н методы конгруэнтных преобразований. Изложив эти методы, в разд. 3.4 задерекимся для того, чтобы сделать обзор преимуществ (и некоторых ограничений) метода конечных элементов как общей процедуры расчета конструкций. В разд. 3.5 перейдем к изученшо специальных операций над глобальными уравнениями, при этом часть операций необходима, а часть полезна. Сюда входят разбиение на подконструкции, наложение ограничений и использование координат узлов.

В гл. 7 мы вернемся к вопросам расчета конструкции в целом, где уравнения жесткости будут изучены с других позиций. Кроме того, здесь же будут объяснены некоторые свойства решений, которые не моглн быть объяснены прежде, а также изучены альтернативные формы глобальных уравнений (например, глобальные уравнения податливости). Так как в данном тексте основное внимание уделяется вопросам, связанным с построением элементов, то детальному описанию примеров глобальных уравнений отводится мало места. Читателю, интересующемуся подобными вопросами, следует обратиться к многочисленным книгам по матричным методам расчета конструкций (см., например, (3.1 — 3.4)), ЗЛ.

Прямой метод жесткости. Основные понятия Полный набор соотношений между силами и перемещениями для элемента с и степенями свободы, согласно (2.1), имеет вид Е, = ймб, +7гА+ .. +Ф„Л, +... +Ф,„йю г"„=/гпгб, +7г„,б, +... + 'г„,б, +... +й„й„. Предполагается, что преобразование координат уже проведено, поэтому степени свободы отвечают глобальной системе координат конструкции.

Числами 1..й...п обозначены степени свободы в узлах элемента, и для рассматриваемого случая они соответствуют глобальной системе нумерации тех же узлов. В каждой строке уравнений (3.1) имеются все степени свободы. Способ крепления элемен. та не задан. Как только соотношения между силами и перемещениями в элементе определены численно для каждого элемента конструкции, 7! ЗЛ. Прямой метод жнсткостн. Основныв понятия применение прямого метода жесткости заключается в объединении указанных соотношений в алгебраическом виде, как того требуют условия равновесия и совместности в узлах соединения элементов. Эти операции приводят к системе уравнейий, связывающих силы Рис.