Галлагер - Метод конечных элементов. Основы, страница 10

7, применения специальнымобразомопределенной методики построения полной аналитической модели. Уравнения податливости для закрепленного элемента выражают 49 2.3. Свойства соотнощвний мвжд сиаами и ов вмвщвниами узловые перемещения (Лт) через узловые силы (ГД, т. е. (А~) ()((рт), (2.2) где (т) — матрица податливости элемента. Отдельный коэффициент податливости г'„есть перемещение Ло вызванное единичной силой Ел Нижние индексы ( у векторов перемещений и сил означают, что у векторов перемещений и сил исключены компоненты, связанныв с условиями закрепления.

Для простоты нижний индекс Д у матрицы [() опущен. Соотношения податливости можно записать только для закрепленных неподвижно элементов, иначе при приложении сил будут возникать неопределенные (бесконечные) перемещения тела как твердого целого. Поэтому из уравнения (2.2) исключены степени свободы для некоторых узлов элементов. Очевидно, что соотношения податливости можно вывести для элементов, закрепленных статически неопределимым способом, однако за некоторым исключением' этн соотношения трудно согласовать с аналогичными соотношениями для других элементов конечно-элементной модели сложной конструкции. Уравнения податливости для элемента можно определить стольким количеством способов, сколько имеется статически определимых условий неподвижного закрепления. Для балочного элемента существуют следующие два возможных вида закрепления. Свободное отшринце (см.

рис. 2.8(Ь)) Консольное закрепление (рис. 2.8 (с)) Коэффициенты матриц податливости различны. Тем не менее, как будет показано в следующем разделе, основная характеристика каждого типа закрепления — дополнительная энергия деформации — у обеих матриц одинакова, Смешанные соотношения между силами и перемещениями определяют соотношения между векторами, имеющими в качестве компонент как силы, так и перемещения, Если силы и соответствующие степени свободы разбиты на две группы, обозначенные нижними индексами з и ), то общее представление смешанных соотношений можно записать в виде 50 2.

Определения и основные операции с элементами Одной из форм смешанных соотношений между силамн и перемещениями является форма, использующая передаточную маптрицу. Силы и пеРемеЩениЯ на одном конце элемента ( ~ Гг Лг 2) пеРепослтсл на противоположный конец ([ Г, А, [) с помощью матрицы [эс[.

Например, для консольной балки, изображенной на рис. 2.8(с), [ ГтЛ~~=~ГтМтш,йт [ и [ Г,т5, [=[ ГэМтпт,О, ~. В этом случае коэффициенты матрицы [Щ можно определить, используя уравнения статического равновесия элемента и матрицу податливости элемента И). В равд. 2.6 будет описана эта методика. Другие виды смешанных соотношений можно получить, опираясь непосредственно на основные понятия конечно-элементной модели. Это описано в гл. б. 2.4. Работа и энергия Работа [Г силы равна произведению величины силы на величину перемещения точки приложения в направлении действия силы.

Так, для вектора сил (Г) и соответствующего вектора перемещений (Л) имеем [е = тв1 сэ [(Г)= /в [ Г 3 (сэ), (2.4) где множитель тт'э отвечает процессу нагружения, при котором нагрузка увеличивается посптепгнно от нуля до своего конечного значения (т. е. силы инерции, обусловленные динамическим пове- Г Е'Ь 2 о Рнс.

2.9. дением, пренебрежимо малы). Из рис. 2.9 видно, что для представленной зависимости, связывающей отдельно взятую силу Гт и соответствующее ему перемещение Ьт (рис. 2.9), работа равна площади заштрихованной области. Соотношение (2.4) можно преобразовать в выражения, содержащие только силы или только перемещения, используя для этого соответственно уравнения жесткости (2.!) или податливости (2.2). Так, [Г= У,[ Л [[й[(Л)=и, (2.4а) или [Г=т/э [ Гт 1 [[[(Гт)= У . (2.4Ь) Как показано в следующих главах, указанные величины определяют энергию деформации У элемента и дополнительную энергию 51 Х5.

Свойства взаимности деформации (/а. Видно, что обе величины (/ и (/а суть квадратичные функции параметров ( т5 ( и ( Гг ( соответственно. Как указывалось в разд. 2.3, всем возможным формам матрицы податливости для данного элемента отвечает одна и та же дополнительная энергия деформации. К примеру, рассмотрим вновь балочный элемент. Если балка свободно оперта (см. рис. 2.8((т)), то Чтобы сравнить с консольной балкой, вначале необходимо выразить силу Р, через моменты М, и М,. Из условия равенства моментов относительно правой точки опоры (точки 2) получим Р,= — (М,+ +М,)//..

Дополнительная энергия деформации для консольной балки имеет вид После подстановки полученного выше выражения для Р, в формулу для (/а и проведения выкладок приходим к выражению для (/а в зависимости от М, и М„полностью совпадающему с приведенным выше. 2.5. Свойства взаимности Коэффициенты податливости и жесткости для линейно-упругого тела обладают свойством взаимности (/тт=/м и йы=йм). Этот факт имеет важное значение с точки зрения эффективности вычислительного процесса и может быть также полезен при проверке прааиль- Рт, Ьт Рис. 2 1О. ности коэффициентов, получаемых численно или аналитически. Чтобы доказать теорему взаимности и тем самым определить пределы ее применимости и налагаемые при этом ограничения, рассмотрим выражения для работы, производимой над закрепленной конструкцией, изображенной на рис.

2.(0, последовательно прикладываемыми нагрузками Р, и Р,, Обозначим указанную работу через 2. Определения и осноанме операции с элементами 52 Я7н При постепенном приложении нагрузки Р, Ять '/э(Ь1)ЬРт '/эдттР1)Р1, (2.5) где нижний индекс у В', и справа от круглых скобок, содержащих Л,, означает соответствие сале 1. Прикладывая теперь Р, и оставляя неизменной Р„с использованием аналогичных обозначений получим УРь ='/,(/5,),Р,+ ( Ь,),Р, = '/,Д„Р,) Р,+ Я„Р,) Рм (2.6) поэтому полная работа В'! равна йГ,=)рь+йт, =т/э/тт(Р,)э+э/э/эя(Рэ)э+/тэРяРт. (2.7) Меняя теперь порядок приложения сил и вновь подсчитывая вклад каждого слагаемого в работу, получим для нагружения силой Р, (работу для указанной последовательности нагружений обозначим через %'н) У«и,='(э(/хэ) яРя='/Л (Рэ)' и для прикладываемой вслед за этим силы Р, у//и — — т/,(/хт)тР,+(/5э)тРэ=т/Д,(Рт)э+/этРтР„(2.6а) так что В'и=)рти+)Ри,=т/э/ээ(Рэ)'+'/Д,(Рт)'+/„Р,Р,.

(2.7а) Так как для линейного упругого тела последовательность приложения нагрузок не влияет на величину производимой работы, можно приравнять полученные выражения для В' и, сократив подобные члены, получим (2.8) В общем случае будем иметь /ы=/н. (2.9) Зто утверждение известно как теорема взаимности Максвелла. Так как матрица, обратная симметричной матрице, также симметрична, а матрица жесткости является обратной к матрице податливости, то имеем Аы=йть (2.!0) Теорема взаимности Максвелла обычно устанавливается как специальный случай закона Бетти, который гласит, что работа, производимая системой нагрузок (Р,) на перемещениях (А,), вызванных системой нагрузок (Р,), равна работе, производимой системой сил (Р,) на перемещениях (Ат), вызванных силами (Р,).

53 2.6. Преобразование соотношений жесткости и податливости 2.6. Преобразование соотношений жесткости и податливости Имея для элемента один тип соотношений между силами и перемещениями, можно получить другие типы соотношений с помощью простых операций. Рассмотрим сначала преобразование соотношений жесткости в соотношения податливости. Проиллюстрируем этот случай на примере плоского элемента, изображенного на (а) — а йх, Гу! Рис. 2.

Н. Плоский элемент. (а) Незакрепленный; рн закрепленный. рис. 2.11(а). Как указано в равд. 2.3, при построении соотношений податливости элемент должен быть закреплен таким образом, чтобы исключить движение его как твердого целого, и система должна быть статически определима. Указанный способ закрепления элемента изображен на рис. 2.11(Ь). Величины, отвечающие закреплению, обозначаются нижним индексом з, а величины, соответствующие оставшимся степеням свободы,— нижним индексом г. Итак, разбиваем матрицу жесткости следующим образом: (2.!!) где для случая, изображенного на рис.

2.11(Ь), каждан из подматриц (((см) и т. д.) является (ЗхЗ)-матрнцей и (р ) ! с л р ~т (р ) ! к р и ~т (Ат)= ) и, изо, )т, (Аа)= ( изо, из ~т. т (2'2! Тзк как из-за условий закрепления (Л,)=0, то 2. Определении и осноенмв опервции с алементеми Уравнения, записанные выше линии, разделяющей матрицу, представляют собой независимую систему уравнений, связывающую внешние силы (Гг) с соответствующими допустимыми узловыми смещениями.