Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

В плоском случае, как показано на рис, 2.5(д), имеются две компоненты поверхностных усилий: ҄— нормальная компонента и Т,— касательная компонента. Представим себе (см. рис. 2.5(д)), что нормальные усилия Т„" и Та прилежащих элементов А и В постоянны вдоль соприкасающихся сторон и каждое распределение усилий определяется параметрами, заданными в вершинах соответствующих элементов.

Следовательно, поверх. 2. Определению и основные операции с эпементвмн постные усилия прилежащих элементов будут, вообще говоря, различны и условия равновесия в общем случае не выполняются вдоль соприкасающихся сторон. Аналогичная ситуация может существовать и для тангенциальных усилий Т,. Итак, узловые силы только — — — — перечел(енел ,уеге (Ь) (а) дагерзг (с) (е) Рнс. 2.5.

Источники ошибок в конечно-элементном анализе. (з) деформированные очертания отдельных элементов; (Ь) разрыв перемешеннй вдоль обшей границы соседних элементов; (с) уменьшение различия в перемешениях в результате измельчения сетки; (б) нормальные компоненты поверхностных усилий для отдельных элементов; (е) разрыв значений нормальных компонент поверхностных уси.

лий на обшей границе двух соседних элементов. приближенно удовлетворяют условиям равновесия в дискретных точках и опять существует аналитически предсказуемая ошибка, которую можно уменьшить путем улучшения конечно-элементного разбиения. Следует отметить, что последовательное улучшение (измельчение) сетки элементов, каждый из которых строится на основе одних и тех же предположений относительно напряжений или перемеще- КЗ. Свойства соотиощеиий между силами и леремащеииями ний, не является единственным способом достижения сходимости.

Можно танже сохранить размеры элементов и последовательно улучшать представления для полей в элементе. Элементы, которые отвечают более сложным представлениям полей по сравнению с простейшим для данного элемента полем, известны как элементы более высокого порядка. При расчетах по методу конечных элементов источниками ошибок могут служить два условия: условие равновесия н условие непрерывности перемещений. В большинстве существующих моделей конечных элементов стараются удовлетворить условиям непрерывности перемещений, поэтому можно считать, что погрешности при численном анализе возникают из-за неточного удовлетворения условий равновесия. Полная процедура численного исследования методом конечных элементов позволяет, однако, считать, что возникающие погрешности обусловлены нарушением обоих условий.

Как будет показано, теоретическое исследование метода конечных элементов тесно связано с выяснением, какое из условий выполняется, а какое нарушено. 2.3. Свойства соотношений между снламн н перемещениями для элемента Определим вид соотношений, связывающих узловые силы и узловые перемещения конечного элемента, т. е. так называемые соотношения между силами и перемещениями.

Соотношения между силами и перемещениями для элемента записываются в одном из трех основных видов: (1) уравнения жесткости, (2) уравнения податливости, (3) смешанные соотношения между силами и перемещениями. Уравнения жесткости для элемента являются линейными алгебраическими уравнениями, которые записываются в виде ( Р ) = [ й((А ). (2.1) Матрица (й) — матрица жесткости элемента, а (г') и (гв) — соответственно векторы сил и смешений для элемента. Заметим, что прямоугольная матрица обозначается символом 1 1. Отдельный элемент матрицы (к( назовем коэ4фициенптом жесткости элемента. Если перемещение Ь~ полагается равным единице, а перемещения, отвечающие остальным степеням свободы, полагаются равными нулю (Ь„=О, йФ1), значение силы Р, равно й„.

На рис. 2.6 для треугольного элемента изображен случай, когда перемещение, отвечающее степени свободы 1, полагается равным единице (т. е. Л,=.-1), а перемещения, соответствующие остальным степеням свободы, полагаются равными нулю (Л,=бато =... = Ь„=О). Следовательно, столбец узловых усилий равен столб- 2. Определения и основные операции с элементами цу коэффициентов матрицы жесткости, отвечающему Лы откуда (г)=((с„) ((=(, ..., 6), где (р) ( р с ~т (~ ) ( й л 1т Очевидно, что гт=лтт — сила, обеспечивающая единичное смещение Л„а Рэ=йэт и т. д.— реакции.

Поэтому столбец коэффициенРнс. 2,а, треугольный пластинчлтый элемент. тов матрицы жесткости (ктт) представляет систему уралнолешенных сил, демствуюи(их на элемент. Аналогичная интерпретация справедлива и для других столбцов матрицы жесткости элемента, ~;,нт — ~ — е Гл еа Рис. 2.7. Осевой стержнеиой элемент. рассматривая известные соотношения для стержневого элемента, изображенного на рис.

2.7, получим пример матрицы жесткости элемента )' г"т) ЛЕ ! — ! ) ит Соответствующее уравнение равновесия есть Хг"„=О, что приводит к равенству нулю суммы элементов в каждом столбце. Другим примером может служить простейший нзгибаемый элемент, изображенный на рис.

2.8(а), для которого матрица жесткости может быть записана в виде (детали построения указанной матрицы 2.3. Свойстве соотиощеиий между силами и пе емещеииеми содержатся в разд. 5.2): Лт В 6 — ЗЬ вЂ” 6 — ЗЬ ч М, 2Е( — 3(. 26' ЗУ. („т Рт (-' — 6 Зй 6 ЗЕ М, ', — Зй г'.э 3( 2(.т гв, 0) Ю„ О, М„Р, «и — ь г, и' Мгв М,,а, Мгдг М,,аг / ф (с) Р„жг (Ь) (а) йг1 жг Рнс. 2.8. балочный элемент. (а] Элемент общего вида; (Ь) свободное опирание; (с) консольное закрепление. При рассмотрении указанного алгебраического представления заслуживают внимания несколько аспектов.

Во-первых, усилия, приложенные к элементу, суть непосредственно силы (Р„гт) и моменты (М,, М,), а перемещения отвечают поступательным (иг„гв,) и вращательным (0„0,) степеням свободы. Поэтому, если используются обобщенные понятия силы и леремеп(ения, то эти понятия можно отнести не только непосредственно к силам и прямолинейным перемещениям, но также к моментам,и угловым перемещениям, высшим производным от перемещений (например, г(эггггсгхг) и связанными с ними силовыми параметрами н даже к обобщенным перемещениям и силам, не имеющим физического смысла. Во-вторых, следует отметить, что условия равновесия сил, отвечающих каждому столбцу матрицы жесткости, определяются не только приравниванием нулю суммы элементов в указанном столбце. Сумма коэффициентов жесткости, соответствующих сидам г„г"„действующим в направлении х, согласно условиям равновесия Ъ'Е,=О действительно равна нулю.

Однако для оставшихся коэффйциентов необходимо учесть уравнение равновесия для моментов, Для столбца 1, например, рассмотрев моменты относительно точки 2, получим э',М,=(бг'.— 31.— ЗЬ)=0. В-третьих, порядок задания компонент векторов сил н перемещений приводит к тому, что за всеми величинами, относящимися где угловые перемещения О,= — 4шЯх ь, О,= — г(пг/г(х )э. Как отме- чглось в равд. 2.1, знак минус возникает потому, что вращениям н положительном направлении (по часовой стрелке) концевых точек элемента (0„0,) отвечает отрицательное смещение гв. г. Определения и основные ооерации с влемвнтами к узлу Е следуют все величины, соответствующие узлу 2.

Сущест. вует также возможность построить указанные векторы так, чтобы в столбце за всеми силами, действующими в направлении оси г, следовали моменты, т, е. ) Р, г, М, М, ), и соответственным образом построить вектор перемещений. Выгода от выбора той или иной формы записи зависит во многом от особенностей вычислительного процесса и простоты представления векторов В книге используются обе формы записи. Кроме того, если сравнить эту матрицу жесткости с матрицей растягиваемого стержневого элемента, то выясняется, что коэффициенты последней матрицы суть константы, а среди компонент первой матрицы имеются как константы, так и величины, зависящие от длины, например 6, ЗЬ, 2Ь'.

Отношение этих величин может быть достаточно большим, что существенно влияет на точность численного решения системы линейных алгебраических уравнений, образованной при помощи матрицы жесткости, Помимо аспектов, касающихся точности численного процесса, очевидно, что можно добиться больших удобств и значительной эффективности вычислительного процесса, если коэффициенты жесткости элемента не зависят от характерных размеров элемента, т. е. записаны в безразмерном виде. Матрице жесткости изгибаемого элемента можно легко придать безразмерную форму, если иначе определить величины узловых усилий и перемещений. Так, угловые смещения необходимо заменить линейными смещениями О,Ь и О,Ь, а моменты — силами М,!Ь и М,/7.

Таким образом, величина Ь исключается нз вторых и четвертых столбцов и строк и происходит обезразмеривание коэффициентов жесткости. Однако скалярный множитель, стоящий перед матрицей, зависит от характерных размеров и механических свойств элемента. Ббльшая часть матриц жесткости в данной книге имеет размерные коэффициенты, однако в принципе их можно записать в безразмерном виде, переходя к новым переменным для перемещений или используя процедуру факторизации. Последняя процедура будет описана на примере треугольного элемента в равд. 5.2. Наконец, полная система уравнений жесткости для элемента связывает все узловые силы элемента с его степенями свободы. Когда это требуется, в число степеней свободы включается и движение тела как твердого целого.

Так, для балочного элемента исключенные перемещения, отвечающие любому из изображенных на рпс. 2.8(Ь) и (с) условию закрепления, суть совокупность перемещений, связанных с движением тела как твердого целого. Если выделить такого рода степени свободы и силы, то можно более кратко описать жесткостные свойства элемента. Однако это потребует, как показано в гл.

Характеристики

Список файлов книги