Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Глобальные оси координат задаются для всей конструкции„описываемой многими конечными элементами. Локальные (или элелмнглные) оси координат связаны с отдельными элементами. Так как элементы, вообще говоря, различным образом ориентированы друг относительно друга (ситуация наглядно отражена в гл. 1 при изложении примеров численного анализа авиационных конструкций, судов и реакторов), то локальные оси координат также в общем случае различно ориентированы. На рис. 2.2(а) локальная система координат обозначена штрихами. И наконец, ориентации систем координат, определенных в точках соединения элементов, различны, вообще говоря, для некоторых или для всех элементов, соединенных этой точкой.

Эти оси координат отмечаются двумя штрихами. В книге координаты помечаются одним и двумя штрихами только в том случае, если различные координатные системы сравниваются или появляются в одном и том же месте текста. Если же рассматривается одна из координатных систем, то штрихи не пишутся. Локальные координаты используются в большинстве случаев при формулировке уравнений для отдельных элементов, и ниже описываются способы введения локальных координат для элементов и нумерации узлов элемента. Глобальные координаты фигурируют в основном в гл. 3 при выводе в равд.

3.! и 3,2 уравнений для всей конструкции (глобальные уравнения). Значение и характер применения координат с началом в узловых точках становятся яснымн в п. 3.5.3. 2. Определение и основные операции с элементами На рис. 2.2 (Ь) изображен принятый в книге способ введения систем координат и нумерации узлов для плоских конечных элементов. Ближайший к началу координат или совпадающий с иим узел принимается за узел 1, Далее следующему в положительном иаправлении оси х узлу иа плоскости х — у присваивается номер 2. туси киарРииати у — с иатаиеет е уееак (з) еэкаебиие сси бтее леепекбта А ° у т 3 т тйатУЕЕбими еси Рнс. 2.2.

Осн координат н правило нумерации узлов. (з) Типы координатных осей, (Ь) осн координат н правило нумерации узлов. Способ нумерации соответствует движению против часовой стрелки. Так определяются плоские элементы (пластиичатые в плоском иапряжеииом состоянии или при изгибе, а также элементы в случае плоской деформации), лежащие в плоскости х — у. Иначе нумеруются элемеиты поперечных сечений осесимметричиых тел.

Правила для нумерации узлов в трехмерных элементах аналогичны вышеприведенным. Зная основные свойства упругого поведения коиечиого элемента или конструкции в локальиой системе координат, можно легко осуществить преобразование сил и перемещений к глобальной системе координат. 41 2.2. Идеализация с помощью основных навечных элементов 2.2. Идеализация с помощью основных конечных зпементов Для того чтобы оценить значение различных альтернативных подходов при формулировке конечно-энементных соотношений, полезно изучить взаимосвязь между простой моделью поведения конечного элемента и поведением реальной конструкции.

Эта модель наглядно характеризует поведение элемента, хотя существуют и другие равноценные способы рассмотрения основополагающих концепций метода конечных элементов. Действительно, подход, основанный на энергетических или вариационных принципах (гл, 6),— это, по-видимому, наиболее широко используемая схема реализации метода конечных элементов.

Однако в этом подходе основополагающие концепции метода конечных элементов рассматриваются с других позиций, нежели в настоящей главе. Для рассматриваемой здесь простой модели каждому конечному элементу в реальной конструкции отвечает распределенное поле напряжений. Однако для построения математической модели напряженное состояние представляется силами — обобщенными силами — в точках соединения, или узлах элементов. Соответственно смещения этих точек — степени свободы — используются для описания перемещений элемента. Реальное и идеализированное поведения типичного элемента сравниваются на рис. 2.3. Действительное распределение напряжений на границе элемента изображено иа рнс.

2.3(а); действительные (а) (Ь) Рис. 2.З Конечно-элементное представление поведения тела, (а) Реальное поведение (о„— реальное нормальное напряжение), (Ь) основной этап идеализации (о„.— идеализированное нормальное напряжение); (с) идеализация, необходиьыя на этапе расчетов смещения имеют такой же нерегулярный характер.

На рис, 2.3(Ь) показан основной этап идеализации, а именно непосредственное представление предполагаемого поведения элемента. Считается„что поля напряжений, деформаций и перемещений имеют упрощенный вид. И наконец, на рис. 2.3(с) показана идеализация, необходимая иа этапе проведения расчетов. Здесь распределенные вдоль края напряжения заменены обобщенными силами в узлах.

Таким образом, процесс построения соотношений в методе конечных элементов 42 2. Определенна и основные операции с элементами начинается с определения напряженно-деформированного состояния, показанного на рис. 2.3(Ь). Затем выполняются алгебраические преобразования, приводящие к математической модели, показанной на рис. 2.3(с). Основная идеализация должна осуществляться таким образом, чтобы модель аппроксимировала реальную конструкцию при уменьшении размеров элементов, (а) <ь> (с) (а! Рис. 2.4. Сравнение особенностей расчета фермовых конструкций матричными ме. толами строительной механики и методом конечных элементов.

(а) Ферма; (Ь) ти. пичиый фермовый элемент; (с) тоикаи пластина; (й) конечио-элементное представление; (е) типичный конечный элемент Для пояснения причин, обусловливающих применение идеализации, показанной на рис. 2.3(с), можно воспользоваться задачей проектирования, представленной на рис. 2,4. Если требуется перекрыть пролет между точками А и В фермовой конструкции, изображенной иа рис.

2.4(а), то для расчета удобно применить матричные методы механики конструкций, которые, как уже отмечалось, предполагаются известными читателю. Из фермы выделяются отдельные элементы, и для типичного осевого элемента, изображенного на рис. 2.4 (Ь), выписываются соотношения, связывающие силы и перемещения в узлах. Реальную ферму можно заменить теперь математической моделью, рассматривая равновесие сил в каждом узле. Предположим теперь, что пролет необходимо перекрыть тонкой пластинчатой конструкцией, изображенной на рис.

2.4(с). Описанная выше процедура применима и для данной задачи, если, согласно рис. 2.4(с(), конструкция моделируется в виде совокупности треугольных элементов, изображенных на рис. 2.4(е), для которых определены соотношения, связывающие силы и перемещения в узлах 2.2. Идевниэвцив с помощью основных конечных эвемен в элемента.

Затем аналогично численному исследованию фермовых конструкций следует математическое моделирование пластинчатой конструкции. Гл. 3 посвящена описанию этой процедуры. Существуют важные различия между представлениями фермой и пластиной. Суммируя покоординатно силы в каждом узле элемента фермы и приравнивая результирующие к соответствующим прикладываемым нагрузкам, мы полностью удовлетворим условиям равновесия внутри фермы.

Соединение элементов фермы полностью обеспечивает перемещение фермы как конструктивного целого без каких-либо разрывов, смещений. Решение задачи для фермы является точным в рамках предположений о том, что соединения осуществлены при помощи шарниров и отсутствуют деформации изгиба. Если каждый из элементов фермы разбить на более мелкие элементы и рассчитать конструкцию с учетом этого более точного представления, то решение не изменится. Однако решения методом конечных элементов для сплошных конструкций, таких, как тонкая пластина, изображенная на рис.

2.4 (е), пространственное деформируемое тело, изгибаемая пластина и оболочка, не являются точными. Для иллюстрации этого утверждения предположим, что треугольные элементы, изображенные на рис. 2.4(д), построены в предположении, что для поля перемещений вдоль сторон элемента имеет место квадратичный закон распределения. На рис. 2.5(а) изображено деформированное состояние двух выбранных элементов, Если соединить элементы, как указано выше, то, вообще говоря, будет нарушена непрерывность перемещений вдоль линии, соединяющей два элемента (см.

рис, 2.5(5)). Соединения в вершинах элементов обеспечивают непрерывность только в этих точках. Квадратичная функция однозначно определяется по трем точкам, а так как только две концевые точки соприкасающихся сторон участвуют в определении формы смещений вдоль ребра, перемещения краев элементов будут различаться, за исключением некоторых частных случаев. Если использовать большее количество элементов, как указано на рис. 2.5(с), то различие в смещениях на сторонах соседних элементов станст меньше н вызванная указанным обстоятельством погрешность решения также уменьшится.

Эта ошибка конечна для любого конечного числа элементов,' поэтому решение является приближенным. Аналогичные доводы остаются в силе и для условий равновесия. Силы в узлах статически эквивалентны поверхностным силам или распределенным нагрузкам.

Характеристики

Список файлов книги