Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

8.3.1) Вектор параметров предполагаемого поля напряжений Гамма-функция (п, 8.3.1); константа депланацни (п. 13.3.2) 14 Список обозначений г, [Г) (Ж с,р),ь 0 и~рак кр>ккр (и) (Ц Р ( Ха~ П 11р, (1 ',П, (р) о о„, о, о, (и) тир| трз тка Т (Ф) (Щ 1» Смешанные производные степеней свободы (соотноше- ние (12.3!)) Матрица преобразований Вектор узловых смещений Оператор варьирования; бесконечно малое прира- щение Вектор обобщенных деформаций (включает нормаль- ные и сдвиговые деформации) Нормальные деформации Безразмерные пространственные переменные Угловое смещение (угол измерения в гл. 12) Вектор кривизн при изгибе пластин и его компо- ненты Матрица Гессе Вектор множителей Лагранжа Коэффициент Пуассона Вектор функции формы поля напряжений Обобщенный функционал Функционал энергии (нижние и верхние индексы обозначают специальный вид функционала) 3.1416...

Матрица плотности масс материала Вектор обобщенного поля напряжений (включает нормальные и касательные напряжения) Нормальные напряжения Вектор значений напряжений в узлах Касательные напряжения Приращение температуры по сравнению с темпера- турой для свободного от усилий тела Коэффициент теплопроводности Функция напряжений Вектор значений функции напряжений в узлах Угол измерения круговых угловых координат; весо- вой коэффициент для интеграла взвешенных невязок Функция нагружения для изгиба пластин Матрица смешанного типа для сил и перемещений Вектор собственных значений ВВЕДЕНИЕ При проектировании конструкций перед инженером-проектировщиком стоит задача нахождения распределения напряжений, или поля напряжений.

Иногда, чтобы узнать, нарушаются ли заданные зазоры между деталями конструкции, инженеру требуется вычислить перемещение лишь в определенных точках системы. В отдельных же случаях, особенно если нагрузки и поведение конструкции зависят от времени, проектировщику необходимо подсчитать полное распределение перемещений, или поле перемещений. Для рассчитанного поля напряжений должны выполняться в каждой точке условия равновесия, а перемещения при этом должны быть непрерывны (т. е. должны выполняться условия совместности).

Приступая в некоторой задаче проектирования к отысканию напряжений и перемещений, проектировщик должен сначала задать определяющие уравнения, которые в той или иной форме обеспечивают выполнение условий равновесия и совместности. Возникающая в связи с этим основная трудность, ие говоря уже об аспектах разрешимости выбранных уравнений, состоит в решении вопроса: могут ли данные уравнения адекватно отражать выставляемые при проектировании требования к конструкции.

Причем сложность геометрии конструкции, а также характера нагрузок и свойств материала должна быть учтена в этих рассмотрениях. Принимая во внимание возникающие нз-за описанных выше обстоятельств различна в поведении конструкции и ее модели, инженер приступает далее к решению выбранных уравнений. Если изучаемый объект является двумерным илн трехмерным, то его поведение описывается уравнениями с частными производными.

Весьма редко существуют точные решения подобных уравнений, и ненамного чаще оказывается возможным строить адекватные приближенные решения с небольшим количеством членов аппроксимации. Для получения достаточно точного решения требуется большое число этих членов. Появление электронных вычислительных машин коренным образом изменило ситуацию в области решения дифференциальных уравнений с частными производными, Большинству инженеров- практиков в настояшее время стало доступным численно исследовать поставленные перед ними задачи.

Прн этом число учитываемых членов ряда, представляющего поле напряжений нлн перев1ещеннй, может быть велико. Используются также конечно-разностные методы, в которых дифференциальные уравнения аппроксимируются с помощью дискретных значений величин, заданных в выбранных точках. Преимущество этих методов вытекает из длительной истории нх развития, результатом которого стало появление теорем сходимости.

Кроме того, возникающие в этих методах алгебраические уравнения, которые необходимо численно решить, часто имеют особенно простой внд. Метод конечных элементов является аналитической процедурой, интенсивная разработка которой велась в течение сравнительно короткого промежутка времени. Ключевая идея метода при анализе поведения конструкций заключается в следующем: сплошная среда (конструкцня в целом) моделируется путем разбиения ее на области (конечные элементы), в каждой нз которых поведение среды описывается с помощью отдельного набора выбранных функций, представляющих напряжения и перемещения в указанной области. Этн наборы функций часто задаются в такой форме, чтобы удовлетворить условиям непрерывности описываемых ими характеристик во всей среде. В других случаях выбранные представления полей не обеспечивают непрерывности и, тем не менее, дают возможность получить удовлетворительное решение.

При этом в отличие от полностью непрерывных моделей, нет полной уверенности в сходимости решения. Если поведение конструкции описывается единственным дифференциальным уравнением, то получить приближенное решение этого уравнения можно как методом конечных элементов, так н с помощью техники разложения в ряды нли конечноразностных схем. Если же конструкция в целом неоднородна н состоит из большого количества отдельных конструктивных элементов, поведение каждого из которых описывается своим дифференциальным уравнением, то в этом случае, как правило, можно непосредственно применить лишь метод конечных элементов.

Наряду с указанными альтернативными методиками численного решения прикладных задач механики конструкций в методе конечных элементов требуется строить и решать систему алгебраических уравнений. Особые преимущества метода заключаются в удобстве формировании уравнений н возможности представления совершенно нерегулярных и сложных конструкций и условий нагружения.

Как отмечалось выше, метод конечных элементов стремительно развивается. Начиная с 1955 г. метод распространился с второстепенных областей на наиболее перспективные направления числен- гт 1.1. Кратная история развития метода конечных зпементов ного исследования задач математической физики. Термин «математическая физика» используется здесь для обозначения широкого круга аналитических задач — расчет конструкций, теплопередача, течение жидкости, распространение электромагнитных волн — и при этом не имеется в виду, что указанные задачи стоят далеко от проблем, возникающих на практике и при проектировании конструкций.

Популярность метода и интерес к нему как раз и объясняются указанной выше возможностью отражать реальные аспекты, возникающие в прикладных задачах проектирования. Распространение практических применений метода конечных элементов является следствием развития технологии в середине пятидесятых годов. Основной указанной выше предпосылкой развития метода является возможность автоматически эффективно построить и решить систему алгебраических уравнений высокого порядка.

Распространение электронных вычислительных машин в середине пятидесятых годов позволило удовлетворить этим требованиям. В течение этого же периода выкристаллизовались теоретические концепции метода конечных элементов. Представляется интересным проследить далее историю развития этих концепций. 1.1. Краткая история развития метода конечных элементов *' Несмотря на то что периоду с 1850 по 1875 г. непосредственно предшествовал период выдающихся достижений таких представителей французской школы теории упругости, как Навье и Сен-Венан, все же по логике вещей именно этот период можно считать отправной точкой нашего обзора.

В это время благодаря усилиям Максвелла 11.П, Кастильяно 11,21 и Мора 11.3! были выработаны основные концепции теории анализа стержневых конструкций. Эти концепции являются краеугольным камнем матричных методов строительной механики, которые окончательно оформились лишь спустя 80 лет и в свою очередь явились основой метода конечных элементов. Развитие теории и вспомогательных дисциплин, относящихся к методу конечных элементов, было особенно слабым в период с 1875 по 1920 г. Это происходило в основном из-за наличия реальных трудностей при решении алгебраических уравнений, как только число неизвестных становилось большим.

Необходимо, кроме того, заметить, что для конструкций, представляющих наибольший интерес в то время,— рам и ферм — почти всегда применялся под- то В используемой нумерации разделов, ссылок, рисунков и перекрестных ссылок для уравнений первая цифра соответствует главе, а последующие цифры— очередности внутри главы.

Характеристики

Список файлов книги