Галлагер - Метод конечных элементов. Основы, страница 7

Агпег Сопсге1е 1пв1., Маг 1967, 64, 14о. 3, р !52 — 163. 1.21 байааЬег й. Н ).агае-3са!е Согпри1ег Ргоагаюв 1ог 31гисЬига! Апа1уяв.— )п Оп Оепега) Ригрове Р~п!1е Е!егпеп1 Согпригег Ргобгагпв, Р Н Магов! (ео ), АЕМЕ 3рес~а1 РиЬ!!саг!оп, 1970, р 3 — 34 1.22 Л1агса! Р ч'. Зигчеу о1 Оепега) Ригрове Ргобгагпв !ог Г!пйе Е!еп~еп! Апа!ув!в.— !п. Абчапсев !и Сопгри(а1юпа! Мерподв !и 31гис(ига! МесЬап!св апг1 Оеябп, Л Т Одеп, е1 а) (ео.), Оп~ч о1 А1аЬагпа Ргевв, Ип!чегв!1у, А!а, !972.

1.23 Оа)!абйег й Н, Ъеп)г!еиг!св О. С 091ппигп В!гоп!ига! Оев!Вп — Жегч ТогЫ, )4 Уп ЗоЬп 4)г!1еу 3г 3опв, 1пс., 1973. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ С ЭЛЕМЕНТАМИ Наряду с гл. 3 и 4 настоящая глава является во всех отношениях вводной при изложении основ метода конечных элементов. Здесь и в гл. 3 встречаются определения„обозначения и операции, которые более детально обсуждаются в курсе матричного анализа фермовых конструкций.

Предполагается, что читатель знаком с этим предметом. (Имеется в виду, что читатель знаком с обозначениями и основными операциями матричной алгебры.) Тем не менее в этой и следующей главах излагаются все основополагающие аспекты анализа поведения конструкций с помощью матричных методов, имеющих отношение к развиваемому здесь методу конечных элементов. Изложение этих же вопросов читатель найдет в !2Д вЂ” 2,41, однако в этих работах он встретит мало численных примеров. Символы и операции матричной алгебры будут определяться там, где они встречаются впервые. В начале главы определим применяемые в книге основную координатную систему и правило знаков.

Далее изучим взаимосвязь между аналитическим конечно-элементным представлением и поведением соответствующего объема реальной конструкции. Вслед за этим определим коэффициенты влияния для элементов конструкции в случае, когда перемещения в зависимости от прикладываемых нагрузок подсчитываются в отдельных точках элемента. Это, естественно, приводит к определению понятий работы и энергии в терминах коэффициентов влияния, а также к доказательству свойства симметрии, которым обладают указанные коэффициенты при рассмотрении линейно-упругого поведения материала.

Довольно большой по объему раздел этой главы посвящен изложению вопросов, связанных с переходом от одного типа коэффициентов влияния, например от коэффициентов влияния, отвечающих методу перемещений, к другому типу, который в указанном случае соответствует методу сил. Данный переход, который не играет существенной роли при расчете стержневых систем, является основным в методе конечных элементов.

В двух последующих разделах 2. Определения и основные оперении с злементвми изучаются матрицы преобразования, при этом рассмотрение несколько выходит за рамки обычного применения преобразований при замене систем координат. Это позволит определить операции по уменьшению числа параметров в получаемых решениях.

В заключение описываются операции, выполняемые с матрицей жесткости элемента для выделения форм движения как твердого целого. 2.1. Система координат Ниже наиболее часто будет использоваться ортогональная система координат, оси которой, изображенные на рис. 2.1, обозначены символами х, у и г. (в) мч в,. з' з В(т ° еи. у .т, и Рнс.

2л, Обозначения вля сил и перемещений (в) Перемещение из точки е в точку а; (Ь1 силы, моменты и соответствующие им перемещения. Действие нагрузок на упругую конструкцию вызывает перемещение точек тела, включая смешение точек относительно друг друга. В настоящей главе рассматривается поведение элементов конструкций в целом, определяемое смещением точек тела под 2.Ь Система иоордииат зт действием приложенных к этим точкам систем нагрузок. Детальное изучение относительных смещений точек внутри тела (деформаций) и распределения усилий, отнесенных к единице площади, для внутренних точек (напряжений) будет проведено в последующих главах, особенно в гл. 4 — 6, где рассматриваются такие факторы, как распределенные нагрузки и начальные деформации, обусловленные тепловым расширением.

Совокупность осей координат для конструкции в недеформированном состоянии вводится согласно рис. 2.1. Эти оси остаются неподвижными в процессе деформации конструкции, и смещения точек тела определяются относительно указанных осей. Рассмотрим для свободного от нагрузок недеформированного тела малый элемент объема с центром в точке й' (см. рис, 2.1 (а)). На этот элемент действует вектор усилий с компонентами Р„х, Р„х, Р, . Под действием этой силы малый элемент объема сместится в точку, обозначенную на рис, 2.! символом И.

Трансляционное смещение элемента задается ввиде и =ха — х„ов=уа — у, а>к — — га — г, Согласно обозначениям для компонент вектора сил, указанные величины изображаются так же, как компоненты вектора, отнесенного к соответствующей точке недеформированного тела. Положительные значения сил и компонент смещений отвечают положительному направлению осей координат, В книге, за исключением последней главы, описание поведения гела ограничено линейным случаем. Применительно к рассмотренным выше силам и трансляционным смещениям это означает, что компоненты вектора силы остаются неизменными при перемещении элементарного объема из я в й. Кроме того, такая механическая характеристика, как работа, производимая силами Р„х, Рах, Р, на перемещениях и„, о,, гв,, не зависит от вида пути в точку й.

Задание трансляциойных смещений само по себе недостаточно для полного описания смещений конструкции. В задачах, где рассматриваются балки и конструкции рам, тонкие пластины и оболочки, исследователь, как правило, делает упрощающее предположение, согласно которому отрезок, проведенный перпендикулярно нейтральной линии (для балок и рам) или срединной поверхности (для пластин и оболочек) в недеформированном состоянии, остается нормальным к нейтральной линии или срединной поверхности и после деформации. Мерой смещения точек указанных конструкций служит угол О поворота нормали, отмеряемый от недеформированного состояния.

Часто предполагается, что значение этого угла равно тангенсу угла наклона нейтральной линии или срединной поверхности. Если ввести систему координат, изображенную на рис. 2.1(Ь), то угловые сиешения точки я призматического элемента, расположенного вдоль оси х, определяются величинами зв 2. Определения и основные оперении с влемен1вми е(,имеем моменты в точк Гяз М„ М„ М, со, йя о„ й9 (Здесь для простоты исключены из рассмотрения силы, задающие трансляционное смещение в точке /.) Заметим, что положительные углы определяются согласно правилу правой руки: если расположить правую руку так, чтобы большой палец указывал на положительное направление оси, то остальные пальцы охватывают ось в положительном направлении вращения. В соответствии с этим правилом Ов имеет отрицательный знак, так как вращение в положительном направлении приводит к отрицательным смещениям ш.

Силовыми величинами, соответствующими угловым смещениям, являются векторы моментов с компонентами М,, М, и М, . Следует отметить, что производные от перемещенйй можно рассматривать как характеристики поведения конструкции в заданных точках, не приписывая физический смысл этим производным. Действительно, при расчетах методом конечных элементов могут быть использованы и используются производные от перемещений второго и более высокого порядков (напрнмер, дчоУдхс, двпздх').

Физическая интерпретация этих величин часто не очень наглядна. Это же относится и к отвечающим им силовым величинам, Однако указанные трудности окупаются повышением эффективности при расчетах. Как уже указывалось, описание поведения детали конструкции в целом — в нашем случае описание поведения отдельного конечного элемента — осуществляется с помощью компонент сил и смещений, заданных в определенных точках тела. Такие точки обычно называются узловыми точками.

Они также назгяваются точками соединения, потому что в большинстве случаев применения метода конечных элементов онн соответствуют действительным точкам соединения элементов, образующих полную, или глобальную, аналитическую модель конструкции в целом. Существует много случаев, когда эти точки не имеют столь очевидного физического смысла, Тем не менее в книге понятия узловая точка и точка соединения не будут различаться. Рассмотрения этой главы требуют краткой и четкой формы записи сил и перемещений в узловых точках заданного элемента конструкции. Силам и перемещениям соответствуют вектор-столбцы (Р) и (Ь).

(Скобки ( ) означают вектор-столбец.) Для изображенного на рис. 2.! (о) элемента, на который действуют силы в точке д и ХП Систама координат 39 Очевидно, что перечисление компонент вектора в виде столбца невыгодно с типографской точки зрения, поэтому мы будем записывать этп компоненты в виде вектор-строки, обозначаемой символом ~ ~. Транспонированную матрицу определим как матрицу, получаемую заменой ее строк на столбцы.

Согласно этому определению, при транспонировании вектор-столбца получается вектор-строка и наоборот, Так, обозначая транспонирование латинским верхним индексом Т, можем записать рассматриваемые векторы в следующем виде: (р) ( р р сейл М М ~т Отдельная компонента произвольного вектора, задающего л перемещений в узле (А)= ~ Лт...йь..й„~ т, например Лн называется (-й степенью свободы. Первым шагом на пути определения векторов сил и перемещений является задание узловых точек и их расположения относительно координатных осей. В методе конечных элементов следует различать глобальные и локальные системы координат, а также системы координат с началом в узловых точках.