Галлагер - Метод конечных элементов. Основы, страница 5

4.3. Некоторые приложения метода конечных элементов Чтобы проиллюстрировать, каким образом используются описанные выше элементы в вычислительных задачах, возннкаю:цнх прн проектировании конструкций, а также объем н сложность указанных проблем, приведем ряд прнмеров численного анализа прикладных задач проектирования. Развитие метода конечных элементов многим обязано работам исследователей, занятых проектированием аэрокосмической техники, поэтому не удивительно, что именно эта область исследований остается ведущей по количеству приложений метода конечных элементов. Рисунок 1,2 отражает много аспектов нспользовання метода конечных элементов прн расчете конструкции самолета «Боыыг-?47» (!.161.

Фюзеляж самолета состоит нз тонких листов металла (обшивка), охватывающих несущую коыструкцню, набранную нз элементов, называемых шпангоутами н стрингерами. Силовые элементы крыла называются лонжеронами н нервюрами. Опыт показал, что при расчете полей напряжений во всей конструкцнн можно не учитывать локальное выпучнванне обшивки летательного аппарата. Поэтому обшивку можно представить состоящей нз плоско-напряженных элементов, таких, как изображенные на рыс.

1.1(Ь) н (с) треугольные н четырехсторонние элементы, а несущую конструкцию можно смоделировать набором элементов типа изображенных на рнс. !.! (а). Расчет методом конечных элементов участка соединения крыла с фюзеляжем самолета «Боннг- 747», изображенного на рнс. 1.2(Ь), потребовал около 7000 неыз- ээ 1.3.

Некоторые приложения метода конечных элементов Рнс. 1.2. Конечно-элементный анализ самолета «Боинг-747« (из (1.16)) (а) Самолет «Боинг-747» (заштрихованные области отвечают исследованным с помощью метода конечных элементов участкам конструкции самолета). (Ь) Подконструкции, используемые в конечно-элементном анализе заштрихованных областей. вестных переменных. Наличие столь большого количества неизвестных неудобно с точки зрения обработки начальных данных н выявления возникающих при счете ошибок, Поэтому на практике конструкцию обычно разбивают на части или, иными словами, па подконструкг(ии (супарэлементы) и каждая из подконструкций рассчитывается методом конечных элементов. На конечном этапе расчетов суперэлементы объединяются с помощью обычной конечно- элементной схемы. Вид разбиения на подконструкиии при расчете 24 !.

Введение Таблица 1.1. Параметры конечно-элементного представления центральной части самолета «Боинг-747» (из [1.16]) Чиано ') нзгружсн- иык сек- ций Связанные степени 1) свободы Общее чнсао степеней свободы Подкон- струкция Плас- Балки тины Описание Крыло Корневой крыла Фюзеляж Стенка Ф)озеляж Стенка Фюзеляж 363 104 796 295 198 880 262 отсек 267 14 8 355 414 223 9! !026 !85 !45 820 241 200 936 103 126 686 249 233 909 93 148 503 227 92 1038 502 377 4!5 221 392 201 497 291 213 292 170 285 129 286 7 5 7 1О 6 10 7 2)95 63 3374 1979 555 7594 Всего з) Некоторые нагруженные секции вклюязют более еем одну подконструкцию.

1) Некоторые степени свободы при взаимодействии подконструкций образуют одну с вязанную степень свободы методом конечных элементов «Боинга-747» изображен на рис. 1.1 (Ь), а подробности счета приведены в табл. !.1. Как обычно, при проектировании самолета проводятся натурные испытания сБоинга-747».

На рис. 1.3 приведено сравнение экспериментальных данных с результатами расчета методом конечных элементов. Следует отметить, что ни одно из численных решений, полученных другими методами на основе упрощающих предположений, при проектировании конструкций не привело бы к столь точному совпадению, чем это было достигнуто с помощью метода конечных элементов. Следует также добавить, что анализ динамического поведения летательного аппарата важен как для осуществления компоновки аппарата, так и для оценки несущей способности и упругой неустойчивости, являющейся существенной формой разрушения самолета. Ни одно из перечисленных явлений нельзя адекватно исследовать численно на базе упрощающих предположений, кроме как методом конечных элементов.

Прикладные задачи подобного вида возникают и в судостроении. На рис. 1.4 изображена центральная часть конструкции корабля 11.171. Стремление увеличить размеры танкеров привело к возникновению многочисленных проблем, связанных с компоновкой судна и эффективностью его проектирования. Вообще говоря, супертанкеры при эксплуатации подвержены многочисленным повреждениям. 25 1 3.

Некоторые приложения метода конечных элементов Представление конструкции судна конечно-элементной моделью имеет много общего с моделированием аэрокосмических конструкций. Плоские элементы конструкции заменяются пластинчатыми конечными элементами. Фермовые конечные элементы используются при моделировании внутреннего силового набора судна. Общее число неизвестных, возникающих при моделировании наиболее ответственных участков конструкции судна, может достигать 50 000, Сеееое нпоряженое О рюоеяяже 1 норморИпнное1 -4 -2 В 2 ртеямяь|оемее «и-о ОбмоееЯемпе сеченое ~о"' — чоь «ва Сечение Рис.

1.3. Сравнение результатов натурных испытаний с реэультатамн расчетов методом конечных элементов (нз [1.!611. Д значения осевых напряжений, иолученные при испытаниях; П значения напряжений в обшивке, полученные прн испытаниях. 1 — вычисленные напряжения с помощью четырех конечных элементов для «Боинга-747»; 2 — вычисленные напряженна с помощью пяти конечных элементов аля «Боинга-747». поэтому обычно разбивают исследуемую конструкцию на части с меньшим числом неизвестных, т.

е. на подконструкции. Требования надежности, предъявляемые при проектировании к конструкции ядерных реакторов, привели к повсеместному использованию при расчетах указанных конструкций метода конечных элементов. На рис. !.5(а) изображен бетонный предварительно напряженный корпус реактора (!.!8!.

Благодаря симметрии корпуса можно рассчитывать только восьмую его часть (см. рис. 1.5(Ь)). Зтот объем представляется как объединение изображенных на рис. 1.5(с) четырехгранных и шестигранных конечных элементов. В задачах подобного типа число неизвестных достигает 26 1 Введение ~Ю~) 0 0 й ~ % ~ 0ьбоооооообоооо ф боя боообоо оаоаа ~ ф пооббооо оббоо С1. lроо Рнс ! 4 Конечно злементный аналнз кснструкцнн судна (нз )1 !7!).

х- „1 СФ $ ах 2 — х х х .Д а х о ха БВ а о х х х х Ф оД о о х х -х о хх й х ох 33, ~ ~6 х х аэ хх х О х х о о х Д х" х х х хо х 1 хо ИД з Ф х х х Ф И о д х х х О 4 х о м.а гв 1. Введение 20 000 н обычно при расчетах учитывают неупругое деформироваиие материала. Не все задачи, для получения численного решения которых используется метод конечных элементов, столь громоздки. Рисунки 1.6 и !.7 иллюстрируют использование метода конечных элементов для двух основных задач механики конструкций. Одной йулясав  — ~ -~)сМ5- (Ы (а) их (б) (с) Рис.

1.6. Конечно-элементный анализ перфорированной балки (нз 11.19!). (а) Исходная балка; (Ы перфорированная балка зубчатой формы; (с) конечно-элементное представление области В; 60 напряжения в сечении А — А, вызванные прикладываемым моментом. 1 — решение, полученное с помощью двумерной теории упругости; 2 — решение, полученное метолом конечных элементов; 8 — решение на основе балочной теории. из возможностей увеличения эффективности проектов прокатанных стальных профилей является прием, ко~да полка профиля пилообразно разрезается, как указано на рис. !.6(а), а затем верхняи половина приваривается к нижней согласно рис.

1.6()з). В результате получается балка зубчатой формы, поведение которой можно исследовать с помощью приближенных методов. Для проверки результатов, полученных с помощью приближенной теории [!.191. применяется изображенная на рнс. 1.6(с) конечно-элементная модель указанной конструкции, использующая треугольные и прямоугольные элементы. Графики, приведенные на рис. 1.6(г)), показывают, что для определения максимального напряжения в конструкции вполне достаточно использовать балочную теорию, а требующий больших вычислительных затрат метод конечных элементов или более сложные методы численного анализа не нужны при стандартных проектировочных разработках данного конструктивного элемента. Еще чаще встречающаяся на практике задача состоит в расчете армированной железобетонной балки, изображенной на рис. 1.7.

Здесь мало известно относительно характера связей между бетоном 1.3. Некоторыэ приложения метода конечных элементов 1000 фуэтлай 1000 фаэатэй элененэт ~опат 1000 фээаээд Рнс. 1.7. Конечно-элементный анализ армированной железобетонной балки (иэ [1201). (а] Конечно-элементио» представление железобетонной балки; (Ь) вычисленные распределения напряжений. и армирующими стержнями, а также относительно характера развития и вида трещин в бетоне при нагружении. Эта проблема является одной нз самых важных в строительной механике. На рис. 1.7(а) изображены конечно-элементная модель и аналитически описываемые траектории трещин в конструкции, приведенные в работе Нго и Скорделиса!!.20!.

Распределение напряжений изображено иа рис. 1.7(Ь), Представленные выше немногочисленные примеры в совокупности подчеркивают то обстоятельство, что метод конечных элемен- 1. Введение 30 тов можно с успехом использовать в задачах, требующих определения внутренних деформаций и напряжений, перемещений, мод колебаний и потери устойчивости и целого ряда других параметров. Это положение имеет место для многих областей, которые обычно считаются не связанными друг с другом техническими дисциплинами, например в строительной механике, машиностроении, судостроении и аэрокосмической технике.

Метод конечных элементов обеспечивает получение решений в этих и других областях на основе единой методики. Задачей книги является изложение фундаментальных теоретических положений метода, поэтому далее в ней не будут затрагиваться специфические аспекты использования метода в прикладных задачах. Перечисление таких проблем потребовало бы многих томов. Читателю предлагается обратиться к трудам конференций по методу конечных элементов, в которых излагается большое количество решений разнообразных прикладных задач.