Г.И. Баренблатт - Анализ размерностей. Учебное пособие, страница 4

Системой единиц измерения называется совокупность основных """"".".'.Ж.йб - """" " """ ~*ч "" **-"""" Ж: ипсатлп * ь. т,, р *р* механических явлений до сих пор употребительна система СГС 1сан- тиметр-грэям-секунда), э которой за основные единицы приняты единицы измерения длани, массы и времени, причем за единицу мас- -26 сы принимается один грамм (г), эа единицу длины - один сан- 1) тиметр (см), за единицу времени - одна секунда (с).

~~иницей скорости в системе СГС служит скорость равномер- ного движения, в котором за одну секунду проходится путь, равный одному сантиметру; зта единица обозначается так: см/с, Единицей плотности в системе СГС служит плотность однородноге те- ла, один кубический сантиметр которого содержит массу, равную одному грамму. Зта единица обозна~веток так: гlсм .

Зги обозна- 3 чения сы/с, г/см и т.д. представляют собой некоторую условность: негьзл, например, рассматривать отношение см/с как частное от деления эталона длины - сантиметра — на этэ. он времени — секунду. Такое деление вообще бессмысленно: можно разделить число на число, но нельзя делить отрезок пути на промежуток времени' Грамм представляет собой одну тысячную массы специаль- но лзготовленного и тщательно сохраняемого в Палате мер и весов эталона массы - килограмма. Сантиметр представляет собой одну сотую длины некоторо- го специально изготовленного и тщательно хранимого эталона длины — метра.

Имеется другое, более точное определение этого эталона, основанное на природном процессе: 1 650 736,73 длин волн в вакууме излучения. соответствующего перекору между уровнями ~ь~о атома криптона — 86. Секунда представляет собой согласно определенкю 1/66400 долю средних солнечных суток.

Велев точное определение секунды: 9,192,621,770 перкодов излучения, соответствующего пере- ходу мещэу двумя сверхтанкими уровнями основного состоянкя ато- ма цезия - 133. -27- Для измерения характеристик кинематических явлений доста- точно систеыы единиц измерения, состоящей из двух единиц: еди- ницы измерения длины и единицы измерения времени, например, сан- тиметра и секунды. Для измерения характеристик геометрических обьектов достаточно системы единиц измерения, состоящей вообще из одной единицы длины, например, сантиметра.

С другой стороны, для измерения характеристик явления тецлообмена в потоке жидкостл или газа удобно дополнить систему единиц измерения механических величин кезввисшчым эталоном темпе, ратуры,в качестве которого можно взять один градус Кельвина (кельвин).Для измерения электромагнитных явлежй необходим допынктельныи эталон, например, единица измерения силы тока (ампер) и т.д. Заметим, с другой стороны, что скстема единиц измерения не обязана быть " минимальной". Например, можно пользоваться системой единиц измерения, в которой единицей длины служит 1 см, единицей времени - 1 с, а единицей скорости - один узел: пример- но 0,5 м/с. В этом случае скорость уие не будет численно равна отношению расстояния к величине промежутка времени, эа который зто расстояние пройдено.

Ыы подробнее остановимся на этом важном пункте ниже. 2. Классы систем единиц измерения Возьмем теперь наряду с системой СГС другую скстему, в ко- торой за единицу длины принят. эталон длиной в один километр 5 = 1О см, за единицу массы — эталон с массой в одну тонну *чЧ 05 г. за единицу времени — эталон продолжительностью в один час ~ ~ 3600 с. Система СГС и эта система единиц измерения объединяются тем, что в них за.основные единицы приняты этзлонм величин одной физической природы: длины, массы, времени.

Мы говорим по- два этому, что обе системы принадлежат к одному классу систем еди- ниц измерения. Классом систем единиц измерения называется сово- купность систем единиц измерения, отличавшихся между собой то- лько величиной (но не природой) основных единиц измерения. упоь мянутая только что система и система СГС принадлежат к классу систем единиц измерения, в котором за основные единицы измере- ния пркняты эталоны длины, массы и времени. Для произвольной си- стены этого класса соответствуюцие единицы составляют: единица длины = см/ л.~, единица массы = г/ 2~~ (1.1) единица времени = с/ глт . Здесь Х.~ , .Я , Т - отвлеченные положительные чисяа, которые показывают, во сколько раз уиеньшаются основные единицы массы, длины, времени прк переходе от исходной системы, в дан- ном случае СГС, к другой системе рассматриваемого класса.

Этот класс обозначается .Х.~ И. Х . К классу .Ег М Г при- 1) надлежит внедряемая в последнее время в употребление система СИ, в которой единицей массы считается один килограмм (кг) = = 1000 г — полная масса упомянутого выше эталона массы; эа еди- ницу длины пГчнимается один метр (м) = 100 см - полная длина упомянутого выше эталона длины; за единицу времени - одна сенунда. Таким образом, при переходе от исходной системм СГС к сис- Обозначение класса систем единиц измерения получается последовательным выписыванием символов величин, единицы измерения которых приняты эа основные.

Одновременно этими символами обозначают число раэ, во сколько уменьшается соответствующая основная единица измзреняя при переходе от исходной системы к другой системе данного класса. - 29- теме СИ М 0,001, 1г = 0,01, Г 1. Часто употребляютоя такие системы класса Я.ф Р Т , в котором за основные при- мяты единицы измерения длины, силы и времени, так что основные единлцы измерения в этом классе составляют: единица длины = см/ 3.>, единица силы = кгс/ Р ~ единица времени = с/ Т . (1.2) Здесь единица силы в исходной системе кгс - килограмм-сила представляет собой силу, сообщаюпрю массе, равной массе эталона килограмма, ускорение, равное 9,80665 и/с , Ясно, что изме- 2 нонне величины основных единиц измерения в исходной системе еди- ниц измерения не меняет класса систем едлнкц измерения в целом.

Например, класс, в котором единицы длины, массы и времени выра- иаются в виде 4" 'л гиэнъх'"'ть единицу длины и Х~ рвз, ь единицу времени ечь 4 раз, о.хак (ит гоэооклооь. новак едикица скорости г-е ( ухеньмтзл пь сравнеьик с исходной з .1~,1. рзз. Следоза.елькэ. чг чэньое знак з;ке зьтз ькс оотей возрастет з .г ' раэ. ка вас ~л 2'Х 'Г э представляет собой тот яе класс Х,~Я Х , определенный осотноыением ( 1.1).

Отличие состоит только в том, что для данной конкретной окотемм эдкнвв измерения, например, системы СИ, чис- .1 > , 2 а ~ ''Д будт з этих двух представлениях класса '~.~К о разлнчньж: ло втором предстазгении, очевидно, Г - йбчОС, уменьшая единицу массы в.М. раз, а единицу длины в,1.г раэ, получиы, что новая единица плотности уменьшится по сравнению с ают-З ИСХОдНОй В А Ь т > раз. СЛЕдОВатЕЛЬНО, ЧяСЛЕННОЕ ЗНаЧЕНИЕ "$ всех плотностей возрастет в А"А Д.л раз.

Аналогично и для других величин. Изменение численных значений физических величин при переходе от одной системы единиц к другой в данном классе у "Р""" Р% " "*й " " х" ь "язвят - "" -- *- мьчм '.кш'"пь:- сколько ~аз зиэменяется численное значение этой вслкчкны ппи пе- рехоле от исходной системы единия измерения к др~ггой внутри двн.

ного класса. Размерность величины Чл прин го по предложению Максвелла обозначать через ~~Р ~ . Специально подчеркнем, что размерность определяется классоы систем единиц измерения, и в разных классах систем измерения размерность одной и той же физической величины различна. Твк, например, размерность плотности в классе 3 М '2 составляет ~ ю,7м Я„~ ~ , а а в классе „Г, 7'" 'Т она составляет ~~> 7 ~' +Ят ~~~ . Не- личины, численн з значение которых одинаково во всех системах единиц чзмерения внутри данного класса, называются без азмерньв,щ ясно, что размерность безразмерной величины равна единице. Всг '" Р '"'2' В литературе можно встретить такое определение: размерно- стью называется выражение производной единицы измерения через основные единицы измерения. Ьведенное здесь выше определение ра эмерности уточняет это определение и снимает возникающие при его применении определенные педагогические трудности.

Например„ согласно этому определению, размерность работы в системе кгс, м, с, составляет кгс.ы. При изучении возникает естествен- ный вопрос, а что, ооботвенно, означает произведение эталона вилы килогрвыиа на эталон длины метр? В отличие от этого ыы говорим„ что размерность работы И в классе „>~г Т 7 представляет собой Функцию ~У~ ~ ~- , где .Е~ и Т вЂ” аргументы Функции размерностей - отвлеченные положительные числа- возможность перемножения или деления которых не вызывает сомне- ний. Именно для такого определения размерности понадобилось предварительно определить понятие класса систем единиц измерения. Далее, если бы укаэанные выражения производных единиц из- ыерения дейотвительно имели бы оиыол произведений или частных от деления ооновных единиц, они не должны были бы зависеть от того, что ыы подразумевали, выполняя умножение или деление.

На- пример, согласно упоыянутоыу выше определению,кгс.ы представляет собой производную единицу не только работы, но и иомента вилы; ыЬс представляет собой производнуш единицу не только кине- иатической вязкооти, но и Функции тока и т.д. Но ведь никто не луыает, что функция тона измеряетоя единицами кинеыатичеокой вязкости ~ стохсвми ), а момент сила - единицаии работы! В от- личие от этого при нашем определении размерности равенотво разиерноотей двух физических величин разной пркроды не представля- ется неестеотвенныы. Приведем еще несколько приыеров. Если в классе .Е~.хь;л '2 уиеньшить единицу длины в .Е~ раз, единипу маосы в М раз, а единяцу вреиени в 7 раз, то численное значение любой вилы -.Р возрастает в МЬ 2 Раз. г Действительно, ооглвоно второму закону Ньютона,сила -ф Равна произведению иасоы шт на ускорение а.

При укаэанном уменьшенки ооновных единиц чиоленные вначеч рте ~ф ния всех масо увеличиваются в л-л раз. а уокорений в Лы А рав. Ию уже говорили, что раэмернооть обеих чвотвй любого равенства, имемдего бмзкчеокоэ оодериание,долина быть одной и той ие: в противном олучве равенотво з одной оиотеме единкц измерения перешло бы в неравенство в другой, а зто для 4мзичеоки осмыслен ных соотношений невоэмокно.