Г.И. Баренблатт - Анализ размерностей. Учебное пособие, страница 14

Поэтому вместо формул (5.9) и (5.Н) имеем соответственно р 4'(и~ Ф а' ~) (,)' ф~У ~ ~ ~ (5.17) Поскольку нас интересует диапазон расстояний от острия каина ь ~сЬ, в котором новый безразмерный параметр 6/Ъ велик, ыы просто полоиилн его равньв бесконечности и стали отыскивать предельное течение, отовдествив вго с ранением за дачи обтекания бесконечного клина поток~ м со скоростьв У Им молчаливо предполагали при этом, что такое реиенне - предел ревений (5.17) при .Ес/к т хьс> - существует, конечно,и отлично от нуля.

Именно зто последнев кредполокение оказалось неверньм. - 104 3. Автомодельные решения первого я второго рода Рассмотрим теперь болев подробно вырвяенив для потанциала (5.15). В предцдуией глазе мы в~с(ели, что азтомодельное решение типа мгнозенногс сосредоточенного источника тепла в бесконечном стеране приблииенно представляет н некотором промекуточном ин- тврвале времени неавтомодельное решение задача твплопрозодности для распространения тепла в конечном старане. Аналогично етому, вырзявнив (5.85) прибликенно представляет потенциал скорости при обтекании конечного клина з промвяуточном диапазоне рас- стояний от острия клана.

Распределение потенциала (5.15), как нетрудно убедкться, автомодельно: распредела..ля на разных ресстоянияк от острия клина получаются одно нз другого преобразованием подобия. Да- ' лее, как уие упоминалось, зырзяенив (5.15) представляет собой решение уравнения Лапяаса, удовлетзоряюцев граничным условияи (5.т) на гранях клина.

Однако решение (5.15) зыраиается в азтоыодельной форме (5.18) отличающейся, поскольку д не равно цулю, от форин (5.П ), которую мм оиндалк из сообраквняй размерности для задачи обтекания бесконечного клина. Заметны, что, задавюись формой евтомодвльного' решения (5.18 мояно найти показатель Ъ , решая задачу на собственные значения. Именно, подставив вервкение (5. 18) в уравнение Лапласа (5.

5), получаем для функции ф , вполне аналогично уравнению 1' (5.12), обыкновенное дифференциальное уразнение ,.~~,) ф-о, г'(ф Ю'й откуда находим ф ~6 каэ~~дт'Е)- 3".7, где ~6 и (5.19) - произвольные постоянные. Но поперечная окорость тл ю 7 Ф ю ~у/и) ~ рэ долина обращаться в нуль на линии симметрии и гранях клина. Потребуем поэтому, чтобы ауй ~а~~ обращалось в нуль на лучах (у хх, У лГ и У ',Рх- бу и тольно на этих линиях внутри области дзиивния, Получаем тг а .ф- мету, ~7- «х (5.20) где 'и — произвольное целое число, полокительное, отрицатель- ное или нуль.

Подставляя эти выражения в выраиение для авто- модельного реиения (5.18), мы енола приходим к решению (5.15), раосмотренного в предыдущай глазе. Этих отличий несколько, и они показательны. Во-первых, показаталь степени % сообрзие- пнями анализа размерности нв определяется; для его определения приилось реиать эвдачу на ооботвенные значения. Собственно го- коря, вое, что мо~ дать анализ размерности, исчерпыэаетоя соотноиением (5. 19); иэ анализа размерностей не оледует, что безразмерный параметр .Ъ/т.

войдет в выракение для решения полученному нами раньше предельным переходом из реиения более слоиной задачи обтакания клина конечной высоты. Полученное автомодельное реиение, описывающее поток вблизи острия клина, принципиально отличается, таким образ м, от автомодвльного ранения задачи о мгновенном твплозом источнике, в виде степенного ыножитеяя. Далее, размерный параметр .Е продольный размер клина — из решения (5.18) не исчез в отличив от размера Х области начального тепловыделения и расстояний от краев стержня х и г- шсв , исчезнувших из решения,.задачи о мгновенном теп эвоы источнике.

Наконец, постоянная (8 осталась в полученном решении неопределенной; какого-то интег- рального закона сохранения, откуда ее можно найти, з задаче обтакания клина в отличие от задачи теплопроводности нет. Авт юдельные решения такого типа появлялись в разных задачек Физики и механики уже давно, начинял с работы К.Гудерлея (1942). Их выделание в специальный класс было предложено Я.Б. Зельдовичем ( 195б). В отличие от автомодельных решений того типа, с которыя ыы встретились прн решении задачи о игновенноы тепловом источнике, в которых анализа размерностей оказалось достаточно для полного построения решения, решения типа,рассыо- Р 1 ы иа Р второго рода.

Название автоыодельных решений пазового пор резервируется эа автоыодельньве решениями, для построения которых достаточно анализа размерностей. Желательно твперь пролить свет на природу этого различия и понять, почему в одних случаях все получается просто иэ одного анализа раэиерностей, а в других случаях анализа разыерностей для определения показателей степе- нине хватает, н трабуется решать задачу на собственные значения. Это будет сделано в следующем разделе.

4, Полная и неполная автоиодельчость Рассмотрев с точки зрения анализа раэыарности задачу расПространенил тепла в стержне конечной длины 8 от подогрева - 107- в области конечной протяженности ~ . Это решение — распределение температуры д - зависит от следующих размерных параметров: величины Я , пропорциональной суммарному количеству тепла, сосредоточенному в начальный момент в области подогрева, коэффициента температуропроводности Х , времени расстояния рассматриваемого сечения стержня от центра области подогрева сс- ж , длины стержня с , координаты центра- У льного сечения области начального тепловыделения сс и ее пров тшхенности (5.21) Дополнительно к решению задачи о сосрадоточенном мгновен» ном тепловом источнике в бесконечном стержне здесь входят три (последние по списку) размерных параметра, имеющих размерность длины. Применение анализа размерностей дает в этом случае ~к+~ ~4 ГыЮ (бй Гы'Е~ 'и ~' Здесь ~ по-прежнему равно (:.м-хв )/( г Е ) .

Та» ~/г ким образом, в решение задач. вошли три нових безразмерных параметра ~/ЙЮ,:х~/~х~) и Х/ Ф - 1 Поэтому решение задачи уже не обладает свойством автоыодельности. Однако нас интересовал промежуток времени, в котором разЧш мер прогретой области, имеющий порядок величины (вшу был, с одной стороны,уже иного большим размера области нвчвль фут ного тепловыделения ~, так что Л /(Хш) (б у и, с другой стороны, еще много меньшим расстояний до краев сте- ~Ф иф раня, так что Мг~) >~~ и зс /й~) .=.

~ . Т- ким образом, второй и третий аргументы функции ф в соотношении (5.22) оказались очень большими, а последний - очень ма- лым 1по сравнению с единицей). Мы молчаливо сделалн предполоке- ние о том, что существует конечный, отличный от нуля предел Д.)(ф сиэ,шо, О.У функции ф в соотношении 15.22) при втором и третьем аргументах,стремящихся к бесконечности, а последнем - стремящемся к нулш, Такое предельное распределение соответствует решении задачи о мгновенном сосредоточенном теп- ловам источнике в бесконечном стершие, которое оказалось авто- моделыем и было мике построено. Сделанные предполокения в дан- ном случае справедливы; мо строго доказывается в математической теории теплопроводности.

Мы попробовали поступить точно танке и в задаче обтекания клина. Оказалось, однако, что соответствующего предельного ре- шения, - решения задачи обтекания бесконечного клина не сущест- вует. Обратившись к решению полной задачи обтекания клина ко- печных размеров, которое в данном случае существует и хорошо известно, мы выяснили в чем здесь дело: предел решения прн увеличении размера клина к постоянной скорости, т.е. при ,Ь-" смэ и Г' Сеюш Е оказался равньээ нулю. Однако нас как и в прошлом случае интересовало на самом деле не предельное равенне задачи обтекания бесконечного клкна, а представление решения задачи обтекания конечного клина в диапазоне расстояний от острия клина, много меньших размера клина.

Оказалось Г и зто было частным свойством рассматриваемой задачи ), что при больших значениях аргумента .Ъ/с Функция ф Я сг' Б/В ) в безразмерном представлении решения 15.17) зависит от .~~ГФ - 109- по отененному закону, т.е. выраяаетоя в вире причем чем больше величина .Е Гт- , тем точнее это предотавлзнк". Подставляя представление (5.23) в общее безразмерное выражение решения ( 5. 17), ыы пришли к автомодельному предельному решению (5.18), однако ясна, что нн сама воэможность степенного предотавленкя (5.23) прк больших Е~,Г~с , ни численное значение параметра л из одного анализа размерноотей не могут быть получены.

Но тем не менее автомодельнооть предельного , решения имеет место, я построение решения, если задаться его автомодельной формой (5.18), снова свелось к решению обыкновенно- го дифференциального уравнения, Проведенное выше на примерах расомотрение ясно показывает, что здесь может произойти вообще. Автомодельные решения, как уже говорилось выше, всегда представляют побой решения вырожденных, предельных задач, в кото- рых все постоянные парзметрм размерности длины, времени н дру- гих независимых переменных равны нулю клн бесконечности (оооре- доточенный, мгновенный источник тепла в бесконечном отержне и т.д.): читатель уже понимает, что волк бы это было не тан, ре- пение бы не было автомодельным, Стало быть, при перехода к ав- томодельному предельному решению от решения исходной, неавтомодельной задачи один (нлн несколько) иэ определяющих параметров (размерных и безразмерных) етремятся к нулю илк бесконечноотк.

Раоомотрим основное соотношение - ПП- определяющее решение исходной, неавтомодельной задачи и его бвзраэмернув форыу (5.25) Здеоь а , ..., оз - неэависииые переменные и постоянные т параметры, входящие в уравнения, граничные, начальные и т.п условия. Будем вчитать, что к нулю или бесконечности прм пе1 ходе к предельноыу автомодельному решении стремится пареывт Л» , а параметры .П~) , ..., л ? остается конечным При этом возникавт оледуощке возмоинооти. Первая из ннх сог в тоы, что при стремлении парометра,/к к нули или баско чности функция ф стремится к конечному пределу, отлична от нуля. В этом случае, полагая, что значения параметра Л достаточно малы (велики), моино заменить функции ф в беэ; мерном представлении решения (5.25) функцией меньшего на е) ницу числа аргументов ф(~~ у 'у ~~~) ф ~д гу ) ( Подставляя выраиение (",26) в безразмернуш форму реев~ и возвращаясь к размерной форме, мы получаем, что в автомо, льном решении аргумент а.

у функции т' просто исчезае" и Именно.за очет этого наступает автомодельность, причем все томодельные переменные лл ....П , л Л могут быть пг ны иэ одного анализа размерностей. В таких случаях говорят и ° ° - ° ~~~~ Л„. ь*...д ° . """".жЮГР шм ь~гз" ' Вже " и яыв хпе нмяез нише~3 'яямт льн..й задачи. Именно так обстояло дело в задаче теплопровс - 111- <,ф тн.