Г.И. Баренблатт - Анализ размерностей. Учебное пособие

Мкнкогарсгво внокаго к сРОднОГО Опюпиального ОбрВЗОВВВнн РСФСР Мооковоквй ордона Трудового Красного Энаненк фквкко гсккккосккй кксгкгук Р.И.Варанбккк» Мооква ТСВТ УИК 538 17 ° 551 81 Анализ оазмерностей: уывб.пособие/ Бареиблатт Г.И./ МФТИ.- М„1987, - 168 о. Излокены основные предотанления аыалнза размерностей и теории подобия. На многочисленных дряыерах поквзвыо иопользоиание анализа размерностей лля обработки данных зкспврмевнтвльных иоследоианий и построения аитомодельных решеьий раз- ' личных зедач математичвокой физики.

учебное пособие предназначено для отудентоз факультета азрофззики и космаческих иоследоианий. Рм1внзентн: А.Ф.Заневский КефВдра нефтегазовой и подземной гидромехвникя Москоисксг'о кисти тута нефти и газа зм. И.М.Губкина ф Москозскнй ордена Трудового Красного Знамени фиэикогехнический институт, 1967 ПРКДИСЛО ПИК Подобно неочаотливым сеньям квждая нвочастная научная идея несчаотлива по-овоену. Мыоль о неочвстливой оудьбе анализа раэмерноотей возникала у многих, преподававших его нли просто задумывавшихся нап его преподаванием. Действительно, идея. леявшдя з основе анализа размерностей,понятна кзкдому и очень проста: физические законы не за- виоят от произвола в выборе основных единиц измерения.

Из этой проотой идеи простыми рассундениями выводится венное следствие: функции, вырэквищке физические законы, долины облапать некоторым фундаментальным .свойотвом, кетовое в математике называется обобщенной однородностьн или симметрией, Это свой- отво позволяет уменьшить чиоло аргументов ооответотвувщих функций и,.тем евно,упроотить их нахондение (внчиоление, определение из опыта). По оуществу зсе оодеркэние анализа раз- мерностей этим исчерпывается: больше в нем ничего нет. И тем не ивнев, исследователям удавалось, опираясь на анализ размерностей, получать поразительно глубокие результаты, иногда изменявшие целые области науки. Математический ап- парат при этом токе окезывалоя проотнм и доступным какдому.

С; ноок великих имен простираетоя здесь от Ньютона и Фурье до Кэконзллз, Палея н Колмогорова. Из ообыткй недавнего времени доотаточно напомнить триумф теории Колмогорова-Обухова в турбулектноотх. Клаэоиком хочетоя быть всякому. Поэтому многие бросалиеь о теи ке просттв.

подходом анализа размерноотей ка, казалось лн, ооэовн похспиэ ээдачи. увн,они почти эоегда терпели фиаско. Анализу рээнзрноотьк доотаэзлиоь прокляти», упреки в не- -4- Причина не- надеинооти м необоснованности. удач заключалась в том, что, как зто ни парадоксально, оодериание и действительные возмоиности анализа размерностей понимали немногие. Получалось как з старом фильме с участием дины дербин: девушка с маленьким чемоданом приезкает в Нью-Иорк и быстро очаровывает сына миллионера. Такие фильмы приятно посмотреть. Корда ке эти фильмы рассматривают как руководство к действию для провинциальных девушек, возникают разочарования. Предлегаемэя работа предназначена объяснить читателю, не опираясь на сколько-нибудь серьезную матема:лку, которая здесь не нукна, что такое анализ размерностей, как его применять, и что мокко окидать от его применения в конкретных задачах.

Анализ размерностей прост, более того - он тривиален. На, как говорил по другому поводу замечательный физик"и учитель фи- зиков Л,И.Мандельштам, - то, что он тривиален — нетривиально, Поэтому учебное пособие надо читать внимательно илн не читать вовсе. Главная мысль, которую автор стремился передать чктателю, состоит в следующем. При применении анализа размерностей труд- ".ость лекит совсем не в использовании простой рецептурм, вытекающей иэ его основной ндек, Трудность - в отыскании такой поотановки, такой идеализации рассматриваемой задачи, которая делает применение этой идеи к рецептуры эффективным. К сокалению, очень часто оказывается, что такой постановки не существует вообще.

Это токе надо уметь увидеть. В то ке время надо не пропустить таку» постановку, воли она в рассматриваемой проблеме имеется. Автору гредотазляется, что недостаточность многих предше- стзрчмкх аопмток иалокення емалкза разме1яоотей обэяонютоя, кек ю странно, отоутотзнем в ннх югнчеокн празнльного одределенэя ооюзного понятия - равмерностк ймэнюской валнчнаю. Определенна резмерноотк тРебует нэ самом деле некоторэх размюкленнй н предэарнтельюго Взеденкя зспомогательнмх понлткй Пдзмко, волк адесь пенного потрудкться, то на основе такого определения кэлокенне упрсцаетоя н уточнается, И~еоркя капкоання этого учзбкого поообня таком.

Иесколько лет назад итиле ноя кнкга об азтоюдельноотлх н промекуточюк аокмптотнках~?. Кнкга бмла предназначена дзя орамззтельно узкого круга опецназнотов. Тзм понадобклся зюлнэ размерностей. Изобходкного э кснтекотв кннгк нзлоквнна анализа размер-.. ностей в литературе не бмяо, так что отослать чктаталя было некуда. Поэтому э первой главе прккюоь дать кзяокенке аназкаа раэмерноотей к представить его так, как его бмю необходимо для целей кннги. Естественно, такое юзокеюэ энелнза раа- мерностей оказалось очень снатмз, дане лепэщэрнмм. Поолв змхода книги С.А.Хрнотнзнозкч н Я.В.Зельдознч настоятельно посоэетоэали мне напноатв на сснозе етой глазы карет кую книгу об анализе размерноотвй, рассчнтаннув нэ зарокого чктателя.

Совет подцвркзлн А.Ю.Иклкнскнй н А.С,Монны. Я глубоко благодарен им за этот совет а критическкв замечания. В последние годн я преподавал анзлнз реэмернсстей в монк 1) Г.И.Бареиблатт. Подобие, аэтомодельность, промекуточная асинптатнка. Изд. 1, 1У?8; Изд. 2, 1982, Лвнянгред, Гндронетеоиздат; с.1.загеиыазз, мэАХзг1зу, ее1г-взэзхзгьтуе зэа М~звгнеИ.вьв веунрзоЗЬое, 1979~ НУ ээа Ьоэоов, РХвиив -6- курсах в Московском $изико-техническом институте так, как зто излокено в настоящей работе. Я благодарен ректору Московского Физико-технического института О.М.Белоцерковскому ы С.С.Войту за постоянное внимание к моей работе.

Появкению этого учебного пособия опособствовало предлокение К.С.Басниева прочесть курс лекций об анализе размерностеЛ на возглавляемой им ка4едре гидромеханики Московского института неФгн и газа. Я благодарен К.С.Баснкеву за проявленную ини- циативу и внимание. Е.В.Пастернак, О.Н.Баронову, Т.О.Абрамян и О,И.Катькову я благодарен за немощь при подготовке рукописи учебного поообия к печати. 1. Мы объясним сперва на нескольких простмх пркмерах, о чем пойдет речь в этом учебном поообии, Пример первый. Читатель знает из элементарного курсафизики, что период Ю малых колебаний маятника-груэа на подвесе длиной ь' (рис. 1) составляет В этой формуле у - ускорение свободного падения.

Соотноюение (1) обычно получают, составляя и реюак дифференци- альное уравнение колебаний маятника. Мы получим его сейчас из совсем других соображений. Зададимся прежде всего вопросом, от чего мокет зависеть псе иод колебаний маятника? Ясно, что в принципе он может зависеть только от (а) длины подвеса, (б) массы груза, а также от (в) ускорения свободного падения— если бы не было силы тяжести, — в условиях невесомости, — ма- ятник бм не колебался.

Длина подвеса, масса груза, период колебаний и ускорение свободного падения выражаются некоторыыи числами 8 , лтт , ьл и я , которые получаются слелующкм образом. Берутся определенные единицы дл,.ны, массы и времени -это некоторые эталоны, о которых договариваются и тщательно их хранят или умеют воспроизвести. Тогда число получается в результате измерения длины подвеси: сравнения длины подвеса с единицей длины. Число гтт получается сравнением массы груза с единицей массы, число д — сравнением периода колебаний с единицей времеки. С ускорением дело обста- нт чуть сложнее.

Напомним сперва, что скорость представляет ообой отнощеняе величины путя,пройденного эа некоторый пронежуток времени,к величине этого промежутка времени. Поэтому эа единицу скорости можно принять скорость равномерного движения, в котором за едкнкцу времени проходятся еднницв длины. Аналогично ускоренче - изменение величины скорости эа неко- терни промежуток времени, отнесенное к величине этого проме- хутка времени.

Поэтому эа единицу ускорения можно принять ускорские такого равноускоренного движения, э котором эа едк- нкцу времени скорость увеличивается на одну единицу скорости. Уменьщим теперь единицу длины з пехот рое число Лг раэ, единицу массы в лллл раэ, а единицу эрвменн — в '2 раэ, кы епрззз это сделать к выбрать отвлеченные положительные числе , Я , 7 ках угодно: выбор единиц измерения длкнм., массы и времени - основных единиц - произволен, Прк этом, по- скольку едннкцы нзмерення уменьщавтся, то чнслзнныв значеннл всех длкн возраотут в ь.